李 琳 劉 學(xué)

(北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京100191)

20世紀(jì)90 年代初 Hagood 等人[1－2]提出以壓電材料為媒介將振動系統(tǒng)的動能通過電路中的電阻轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉，從而形成一種新的振動阻尼-壓電阻尼的學(xué)術(shù)思想.這一學(xué)術(shù)思想一經(jīng)問世，就受到國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注[3－4].從那時起，人們研究與設(shè)計了各種與壓電材料相連接的電路，以尋求獲得最佳振動控制效果.基于該思想所開發(fā)的振動阻尼被稱為壓電分支電路阻尼;對應(yīng)的方法、技術(shù)被稱為壓電分支電路方法、技術(shù).

壓電分支電路既可用于被動振動控制也可用于主動振動控制和半主動振動控制[5－7].無論何種振動控制，引入壓電材料的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的機(jī)電耦合程度都是影響控制效果的一個重要因素.在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，提高系統(tǒng)機(jī)電耦合程度的研究，主要分為電路設(shè)計和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中壓電材料的分布設(shè)計.電路設(shè)計是通過將不同的電感和“負(fù)電容”[8－9]引入電路中，達(dá)到提高系統(tǒng)機(jī)電耦合程度的目的.壓電材料的分布設(shè)計是指通過設(shè)計壓電材料的粘貼位置，提高系統(tǒng)模態(tài)機(jī)電耦合程度.該種方法的主要手段是通過數(shù)值計算得到最佳粘貼位置:Carlos等人利用拓?fù)鋬?yōu)化算法，計算了平板振動模型中，每一階模態(tài)對應(yīng)的最佳壓電片的粘貼位置和形狀[10];Belloli等人利用有限元方法分析了一個汽車部件上如何改變壓電片的粘貼位置達(dá)到最大機(jī)電耦合系數(shù)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[11];Liao等人以壓電懸臂梁為例，驗(yàn)證當(dāng)一片壓電片粘貼在模態(tài)彎矩變形最大的地方，可以使機(jī)電耦合效果達(dá)到最大[12];與文獻(xiàn)[12]相近，Vasques通過壓電片電極的形狀設(shè)計，提高機(jī)電耦合效果[13].但是這些方法一般只針對某一階模態(tài)振動的控制，固定的壓電片形狀與粘貼位置也限制了多階模態(tài)的振動控制.

作者通過對壓電懸臂梁的理論模型研究發(fā)現(xiàn)，除了壓電材料的材料特性以及幾何尺寸外，改變壓電材料的電極分布形式和電極連入電路方式也可以提高系統(tǒng)的機(jī)電耦合程度.為了使多階振動模態(tài)均具有較高的機(jī)電耦合程度，再將“選通電路”的思想[14－15]引入到電極與分支電路的連接電路中，即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的多階共振抑制.本文給出獲得這一研究結(jié)論的過程及數(shù)值驗(yàn)證.

1 壓電懸臂梁耦合動力學(xué)方程及其解式

本文采用的壓電懸臂梁模型如圖1所示.主結(jié)構(gòu)梁的上下表面貼有壓電片，壓電片將結(jié)構(gòu)梁全部覆蓋，上下兩層壓電片的尺寸完全相同;該梁模型滿足歐拉梁假設(shè).其中下層壓電片(PZT2)外接交流電源作為模型激振源，上層壓電片(PZT1)用于連接阻抗為Z的外接電路對系統(tǒng)進(jìn)行振動控制.

圖1 壓電懸臂梁模型Fig.1 Piezoelectric cantilever beam model

沿梁長方向取微段dx建立動力學(xué)平衡方程，在考慮截面內(nèi)力與變形的關(guān)系時分別應(yīng)用梁主體材料的本構(gòu)關(guān)系和壓電材料的本構(gòu)關(guān)系，可得壓電懸臂梁模型的動力學(xué)方程(忽略結(jié)構(gòu)阻尼):

式中

Kw為壓電梁的抗彎剛度;m為壓電梁的線密度;下標(biāo)s表示與結(jié)構(gòu)相關(guān);下標(biāo)p表示與壓電材料相關(guān);上標(biāo)1或2用于區(qū)分上下層壓電片參數(shù);例如用E表示材料的彈性模量時，Es則為梁本體結(jié)構(gòu)材料的彈性模量;分別為上下層壓電片材料的彈性模量;w為懸臂梁的橫向振動位移;b為梁的截面寬度;h為梁的截面高度;V1為分支電路的電壓;Va為(用于激振的)外接電源的電壓;d31為壓電材料機(jī)電耦合系數(shù).

將壓電材料的本構(gòu)關(guān)系與電路中電流與電量的關(guān)系相結(jié)合，可得電路部分的方程:

式中，ε33為壓電材料的介電常數(shù);Z為電路阻抗.

方程(1)和方程(2)均包含有力學(xué)變量w(x，t)和電學(xué)變量V1(t)，二者聯(lián)立構(gòu)成的耦合方程組即是壓電懸臂梁的機(jī)電耦合動力學(xué)方程.在下面的分析中為了更好地理解該系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，以不考慮耦合效應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和電路參數(shù)作為參考，引入如下無量綱變量:

以無量綱變量表示的方程(1)、方程(2)分別為

為了獲得耦合方程組(4)、方程組(5)的解，設(shè)響應(yīng)μ具有如下形式:

式中φr為梁的振型函數(shù)，方程(4)的齊次解.

對于具有如下形式的激勵υa:

設(shè)

則系統(tǒng)的響應(yīng)為

為了確定 Hr和 ν，分別將表達(dá)式(9)和式(10)代入到方程(4)和方程(5)，并進(jìn)行正交性變換，可得

記

于是壓電系統(tǒng)在模態(tài)空間的方程可以寫為

將式(13)、式(14)聯(lián)立求解可得分支電路中的(無量綱)電壓響應(yīng)幅值:

以及各模態(tài)空間的位移響應(yīng)幅值:

再將上述結(jié)果代入式(9)即得到壓電懸臂梁的無量綱位移響應(yīng):

2 壓電懸臂梁的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)

2.1 模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)的提出

為了有效消減結(jié)構(gòu)的振動，應(yīng)設(shè)法使結(jié)構(gòu)振動位移有較小的值，分支電路中的電壓有較大的值(這意味著有較多的機(jī)械能轉(zhuǎn)變成了電能，從而可通過電路消耗掉).仍以壓電懸臂梁為例，從壓電懸臂梁的電壓響應(yīng)ν的幅值表達(dá)式和振動位移μ的表達(dá)式可以看出，在共振區(qū)(λ→λr)，ν和μ的共振響應(yīng)幅值大小主要由Dr和Δ兩個系數(shù)決定(由式(12)可知fr正比于Dr);Δ已在式(3)中給出:

可以看出，Δ只與壓電材料以及主結(jié)構(gòu)材料和幾何尺寸相關(guān)，這里稱其為材料機(jī)電耦合系數(shù).

Dr的表達(dá)式為:.

仔細(xì)分析式(15)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外接電阻β無窮大且激振頻率接近某一階共振頻率時，壓電片電壓響應(yīng)的大小與正負(fù)(相對激勵電壓)與直接相關(guān).由此想到，如果將電極適當(dāng)離散，使各離散點(diǎn)的位置對應(yīng)不同的模態(tài)時，電壓響應(yīng)為正的電極與電壓響應(yīng)為負(fù)的電極連接方法相反，有可能獲得提高該階模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)值的效果.

2.2 具有離散電極壓電懸臂梁的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)

對圖1所示的壓電懸臂梁，將壓電片1的電極進(jìn)行離散，設(shè)第 i片電極的位置為 xi－1＜x＜xi，每一片電極的電壓表示為Vi，電量為，電極的連接方式分為正接和反接兩種:P代表正接，N代表反接.所有電極都連入分支電路，公共端的電壓為V.

定義連接方式函數(shù)δ(NP):

則存在如下關(guān)系式:

于是電極離散后的系統(tǒng)耦合動力學(xué)方程成為

對應(yīng)的無量綱化方程為

按照與式(4)～式(12)相同的過程對該方程進(jìn)行求解，可以得到

將其用Dr代替時，即取

則得到與式(13)、式(14)相同的表達(dá)式.由此得出如下結(jié)論:離散電極壓電系統(tǒng)的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)等于各離散電極對應(yīng)部分的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)按照該電極連入電路方式進(jìn)行疊加之和.式(28)表明，對于某一確定的振型，Dr的大小與電極的分布位置和電極的連接方式相關(guān).這一結(jié)論給出的提示是，可通過調(diào)整電極的分布位置和連接方式，使該階模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)具有希望值.

綜上所述，壓電結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合程度取決于兩類因素:與材料及幾何尺寸相關(guān)的材料機(jī)電耦合系數(shù)Δ，以及系統(tǒng)的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)Dr，該函數(shù)值由壓電片電極分布位置(離散電極的坐標(biāo)xi)和電極連入電路的方式(δ(NP)(i))決定;壓電片電極分布位置和連接方式一定，對應(yīng)于每一階模態(tài)的機(jī)電耦合函數(shù)值隨之確定.

表1給出對應(yīng)上述結(jié)論的一組數(shù)值結(jié)果:對于材料相同、幾何尺寸相同的懸臂梁，采用3種不同的壓電片電極分布和電極連接方式時，第3階模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)值的變化.

表1 具有不同電極連接方式的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)值Table 1 Value of modal electromechanical function at different connection methods of piezoelectric cantilever beam

表1表明，不同的電極分布形式及連接方式可以使系統(tǒng)的模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)值發(fā)生數(shù)倍的變化.顯然對應(yīng)于每一階模態(tài)，通過對模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)的優(yōu)化，都可找到電極的最佳分布位置和最佳連接方式，使該階的機(jī)電耦合函數(shù)具有最大值.

3 多階共振抑制

如果在減振的頻率范圍內(nèi)每一階模態(tài)的機(jī)電耦合函數(shù)都具有較高的值，則可以有效抑制系統(tǒng)在該頻率范圍內(nèi)的振動.然而Dr的表達(dá)式說明，調(diào)整電極的分布和連接方式只能保證某一階模態(tài)的機(jī)電耦合函數(shù)具有最大值.為了解決這一問題，使系統(tǒng)在各階模態(tài)頻率振動時的機(jī)電耦合函數(shù)均具有較大的值，達(dá)到多階共振抑制的目的，這里引入電學(xué)中的選通電路設(shè)計思想.選通電路是指阻抗為 Zab(ωa，ωb)的電路，在頻帶(ωa，ωb)范圍內(nèi)為通路，而遠(yuǎn)離該頻帶時，該電路為斷路.將該種電路引入壓電系統(tǒng)中，即可以實(shí)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)處在設(shè)計共振的頻段內(nèi)時，每一片電極的連接方式都是最適合的連接方式.含選通電路、具有離散電極的壓電懸臂梁模型如圖2所示.

圖2 含選通電路、具有離散電極的壓電懸臂梁模型Fig.2 Distribute electrode piezoelectric cantilever beam with‘current flowing’electric circuits

電感Lj滿足條件:

式中，ωj為被控共振的頻率，對應(yīng)第i片電極的各模塊的阻抗為ZPi或ZNi.第i片電極的電路如圖3所示.

圖3 第i片電極的電路形式Fig.3 Electric circuit of the ith electrode

含有選通電路的壓電懸臂梁的機(jī)電耦合動力學(xué)方程(該方程的導(dǎo)出用到了選通電路電壓與電流的關(guān)系)如下:

對方程(30)、方程(31)采用與式(4)～式(12)相同過程求解，可以得到

與方程(26)和方程(27)對比，可以發(fā)現(xiàn)，加權(quán)系數(shù) δ1i，δ2i，δ3i取代了 δ(NP)的作用，使連接方式隨激振頻率變化，正是這種變化使電極按設(shè)計狀態(tài)導(dǎo)通外接電路，因而可以通過對模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)同時提高多階模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)值、達(dá)到多階模態(tài)振動控制的效果.

下面給出對于圖2所示壓電懸臂梁進(jìn)行前3階共振位移控制的數(shù)值驗(yàn)證實(shí)例.將電極離散為4段，表1中給出的離散點(diǎn)的位置即是對模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)優(yōu)化的結(jié)果.分支電路中僅包含單值(無量綱)電阻β=0.016 2(這個阻值為第3階共振最佳抑制效果的電阻值).其中各選通電路所控制的共振階次如表2所示.

表2 各選通電路控制的共振階次Table 2 Control modes for each‘current flowing’circuit

求解方程(32)和方程(33)可以得到該壓電懸臂梁端部的位移幅頻響應(yīng)曲線，如圖4所示，圖中橫坐標(biāo)為無量綱頻率，縱坐標(biāo)為響應(yīng)幅值.為了便于比較，圖4中同時給出該壓電懸臂梁短路和連續(xù)電極兩種工況下的端部位移響應(yīng)曲線.表3給出對應(yīng)前3階共振峰值消減的數(shù)值效果.

圖4 壓電懸臂梁端部位移幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 Amplitude-frequency of the displacement of the beam tip for three kinds of circuits

表3 兩種電路狀態(tài)響應(yīng)峰值與短路響應(yīng)峰值之比Table 3 Ratios of the amplitudes in two design methods to the one in short circuit

共振峰值的消減程度反映了模態(tài)阻尼(即模型中的壓電阻尼對該模態(tài)貢獻(xiàn))的大小;從圖4和表3可以看出，帶有選通電路的壓電懸臂梁除了第1階模態(tài)的壓電阻尼與連續(xù)電極模型相同(反映為共振峰值基本相同)，第2、第3階模態(tài)的壓電阻尼效果明顯大于連續(xù)電極模型.這說明這種設(shè)計方法可以同時提高壓電結(jié)構(gòu)的多階模態(tài)振動抑制效果.這一效果的本質(zhì)在于這一方法同時提高了該壓電系統(tǒng)的多階模態(tài)機(jī)電耦合程度.這對于壓電系統(tǒng)的振動控制至關(guān)重要.上述設(shè)計方法通過提高多階模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)值，實(shí)現(xiàn)了壓電分支電路對多階共振的抑制.本節(jié)只以單獨(dú)阻值的分支電路為例，證明了該種設(shè)計方法可以有效地提高多模態(tài)的機(jī)電耦合函數(shù)值.該方法也適用于其他壓電振動控制.

4 結(jié)論

1)將壓電片的電極離散，并進(jìn)行不同方法的連接，可以導(dǎo)致系統(tǒng)不同模態(tài)的機(jī)電耦合程度發(fā)生改變，這一現(xiàn)象可以用模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)來描述;

2)對壓電片電極的分布及連接方式進(jìn)行設(shè)計，并與選通電路的設(shè)計結(jié)合，對多模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可實(shí)現(xiàn)多階共振抑制;

3)電極的分布及連接方式設(shè)計的核心是確定對應(yīng)共振狀態(tài)下的電壓響應(yīng)為正的電極與電壓響應(yīng)為負(fù)的電極進(jìn)行反連或正連.

上述研究結(jié)論與方法雖然是依據(jù)懸臂梁模型得出，但是也可以適用于一般結(jié)構(gòu).對于一般結(jié)構(gòu)，除了仔細(xì)設(shè)計壓電片的位置以外，可按照本文提出的方法，根據(jù)模態(tài)電壓響應(yīng)設(shè)計電極連接方式，再通過共振頻率設(shè)計選通電路，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的多模態(tài)機(jī)電耦合函數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的多階共振抑制.

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