李世鵬 梁欣欣 榮晶晶 張 艷

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076)

在固體運載器飛行力學研究領域通常會遇到諸如需用推力設計、需用控制力分析、誤差分離、多相繞流場下的運載器受力分析等問題，這些與已知運載器受力求解運動的問題有所不同.以上問題可以歸納為已知運載器的真實運動參數(shù)或運動期望，來確定運載器受力和力矩或狀態(tài)參數(shù)，即所謂飛行動力學逆問題.固體運載器飛行動力學逆問題通常涉及到固體火箭發(fā)動機、空氣動力學、彈道、制導和控制等多個學科，研究的成果多集中在具體問題本身，目前還未有對這些問題系統(tǒng)的開展分類研究的報道.在其他飛行器，如飛機飛行動力學逆問題等研究領域，多以飛行試驗數(shù)據(jù)辨識氣動參數(shù)和求解操縱規(guī)律[1－7]等具體研究內容為多.文獻[8]系統(tǒng)性地對逆問題進行了研究，但內容側重有限自由度動力系統(tǒng)動力學逆問題，對飛行器研究對象內容闡述較少.對固體運載器飛行動力學逆問題進行分類研究，有助于推動逆問題研究領域的發(fā)展，從而更好地開展飛行動力學逆問題研究.文中對固體運載器的飛行動力學逆問題進行了總結歸納，在此基礎上將逆問題劃分為3類，即需用力計算、外力辨識和參數(shù)辨識.針對每類問題建立了統(tǒng)一的數(shù)學描述，探討了基本求解方法并給出了相應的典型應用.本文研究結果對新的復雜動力學逆問題的分析求解具有一定的指導意義.

1 動力學逆問題分類及基本解法

1.1 第一類逆問題——需用力計算

涉及固體運載器需用力計算的飛行動力學逆問題可統(tǒng)一表達為

式中，Em為運載器期望的運動狀態(tài);Cm為施加力和力矩作用前的運動狀態(tài);m為運載器質量;J為運載器的轉動慣量;Jk為運載器的慣性積;Freq和Mreq分別為使運動狀態(tài)由Cm轉換至Em所需的外力和外力矩.

由式(1)表征的固體運載器飛行動力學逆問題常見如下:

1)給定固體運載器的最大射程期望Lmax，求運載器在飛行過程中的需用推力;

2)在規(guī)定的時間t內，要求運載器俯仰姿態(tài)角由φc變化到φr，求所需的調姿力矩等.

1.2 第二類逆問題——外力辨識

涉及固體運載器外力辨識的飛行動力學逆問題可統(tǒng)一表達為

式中，T為試驗測量得到的運載器運動參數(shù)，如過載系數(shù)、速度、加速度、角速度和角加速度等;Fc為對應飛行狀態(tài)下運載器所受外力;Mc為對應飛行狀態(tài)下運載器所受外力矩.

由式(2)表征的固體運載器飛行動力學逆問題常見的如下:

1)固體運載器水下彈射縮比試驗中，基于測量得到的運動參數(shù)，計算固體運載器水下運動過程中受到的合外力和合外力距;

2)遙測飛行試驗中，基于遙測得到的運動參數(shù)計算氣動力或發(fā)動機推力.

1.3 第三類逆問題——參數(shù)辨識

涉及固體運載器參數(shù)辨識的飛行動力學逆問題可統(tǒng)一表達為

式中，F(xiàn)T和M分別為依據(jù)試驗測量信息計算得到的外力和外力矩;Pi(i=1，2，…，n)為待辨識的參數(shù).

由式(3)表征的固體運載器飛行動力學逆問題常見的如風場參數(shù)辨識和誤差系數(shù)分離等.

1.4 基本解法

根據(jù)所研究問題的不同，逆問題求解的方法也有所不同.如果式(1)～式(3)表征的動力學逆問題可以推導得到顯示表達式，則從方程中可直接得到解析解.解析法通常是先通過將固體運載器剛體運動方程變換，再通過多項式變換將待求解參數(shù)轉換到等式的左邊，等式右邊則以一系列已知的參數(shù)表達，則通過求解變換后的方程可解析得到待求解參數(shù).式(4)給出了固體運載器質心加速度求解方程:

式中，ax1，ay1，az1分別為固體運載器在箭體系的加速度;mc為固體運載器質量;Fx1，F(xiàn)y1，F(xiàn)z1分別為固體運載器合外力在箭體系各軸上的投影;在正問題研究中，已知 mc，F(xiàn)x1，F(xiàn)y1，F(xiàn)z1可求解得到加速度值.若在試驗中通過慣性器件測量得到了ax1，ay1，az1，要分析運載器受力情況，則可將式(4)變換，如下:

由式(5)可以得到逆問題的解.在運動方程涉及的參數(shù)較多時，為了能夠解析求解，要假定一些參數(shù)固定，所以解析法通常適用于快速估算求解或計算精度要求不高的情況.

如果式(1)～式(3)表征的動力學逆問題無法通過公式顯示表達，可將待求解參數(shù)作為設計變量，建立目標函數(shù)，同時考慮設計約束，建立優(yōu)化模型，如下:

式中，X為設計變量;J(X)為目標函數(shù);U為約束條件.

運用優(yōu)化算法對式(6)求解，可得到逆問題的解，這一過程中往往伴隨有正問題求解的環(huán)節(jié).

2 典型飛行動力學逆問題舉例

2.1 第一類逆問題——主發(fā)動機需用推力設計

對于多級固體運載器來說，在質量一定的前提下，其運載能力主要取決于各級發(fā)動機的推力曲線，有關的彈道模型見文獻[9－10]，有關的優(yōu)化求解方法參見文獻[11－14].在保持發(fā)動機裝藥量、總沖、工作時間不變的情況下，構造各種基本線型的內彈道推力曲線，如圖1所示.通過確定對運載器運載能力等有利的需用推力曲線，來使得運載能力最大化，屬于典型的第一類逆問題.

圖1 推力基本線型Fig.1 Curves of engine thrust

在運載器運動模型基礎上，假定二級以上采用平均推力曲線，建立一級需用推力曲線優(yōu)化模型，運用自適應差分進化算法優(yōu)化得到的最優(yōu)需用推力曲線見圖2.

優(yōu)化結果表明，與平均推力曲線形式相比，優(yōu)化得到的需用推力曲線可使運載器運載能力增加2%以上.

2.2 第二類逆問題——合外力辨識

圖2 最優(yōu)需用推力曲線Fig.2 Optimal required thrust curve

對于水下發(fā)射的固體運載器來說，由于在出筒、水中和出水運動過程中經(jīng)歷了圍繞本體的空化流動，并且運載器水中繞流具有高動壓、非定常及多相介質的特點，致使運載器的水動力的描述十分困難.不僅如此，在水中運動時，推動運載器出筒的發(fā)射氣體也對運載器在水中的受力狀態(tài)有一定影響.同時，運載器在運動過程中還受到洋流、波浪等隨機因素的干擾.這些復雜的物理現(xiàn)象交織在一起，非常難以綜合分析清楚運載器的受力情況.慣性平臺、過載傳感器等測量設備可以通過測量得到運載器出筒、水中和出水運動過程中的加速度和過載，這些運動參數(shù)都體現(xiàn)了運載器受力情況.應用慣性測量設備測量得到的參數(shù)來計算合外力的問題，即合外力辨識問題屬于典型的第二類飛行動力學逆問題.根據(jù)文獻[9－10]運載器動力學模型，按照1.4節(jié)的基本解法，可得到合外力辨識模型.

圖3給出了某飛行試驗運載器水中和出水運動過程中的法向合外力辨識結果與水動壓力積分結果的對比曲線.圖3可見，兩條曲線變化規(guī)律基本一致，最大最小峰值點基本重合，兩者之間的差異是由于表面壓力傳感器測點有限，積分時采用了假設條件而引入的.

圖3 合外力辨識結果與壓力積分結果對比曲線Fig.3 External force by identification and the integration of pressure

2.3 第三類逆問題——誤差分離

固體運載器飛行過程中存在著方法誤差、慣性器件工具誤差等多種誤差，對運載器落點精度有直接影響.飛行試驗過程中通過遙外測手段可以獲得運載器的遙測和外測運動參數(shù)，依據(jù)這些運動參數(shù)對誤差進行分離，可獲得影響落點精度的各類誤差值，誤差分離有關的模型和方法見文獻[15].誤差分離的結果是對制導系統(tǒng)工作情況進行評價的重要依據(jù)，可用于分析慣性器件工作狀態(tài)，同時也是精度鑒定所需重要數(shù)據(jù)源之一.固體運載器誤差分離問題屬于典型的第三類飛行動力學逆問題.根據(jù)文獻[15]誤差分離有關的模型和方法，按照1.4節(jié)基本解法，可建立對應的優(yōu)化模型，運用優(yōu)化算法可得到誤差分離結果.

圖4給出了利用工具誤差分離結果計算得到的慣性系3方向視速度差與飛行試驗得到的視速度差對比曲線，圖中均對視速度差和時間進行了歸一化處理.可以看出兩者一致性較好.

圖4 發(fā)射慣性系視速度差對比曲線Fig.4 Apparent velocity difference by error separation and the difference by ballistic measurement

3 結論

1)固體運載器飛行動力學逆問題可歸納為需用力計算、外力辨識和參數(shù)辨識3類，基本解法歸納概括為解析求解法和優(yōu)化求解法2種.解析求解法通常要引入簡化假設，在簡化的模型上得到問題的解，因而解的精度不高;優(yōu)化求解法適用于復雜模型，可以得到較高精度的解，但由于需要大量的復雜數(shù)學運算，計算周期較長.

2)對應3類逆問題，給出了主發(fā)動機需用推力設計、水中運動過程中的合外力辨識和誤差分離3個典型工程應用.優(yōu)化后的主發(fā)動機需用推力曲線可以得到更大的運載能力，主要原因是在優(yōu)化的推力曲線下，運載器飛行過程中氣動阻力損失最小;合外力辨識的結果與壓力積分結果變化規(guī)律基本一致，差異主要是測壓點有限，在壓力積分時引入的簡化假設引起;誤差分離結果與試驗測量結果一致性較好，部分差異主要由誤差分離模型的精度和飛行試驗測量精度引起.3個典型工程問題求解過程及結果表明了固體運載器飛行動力學逆問題分類和基本解法的合理性.

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