王瑩玉
在高中,我們經(jīng)常研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性以及零點(diǎn)等問題.課本上僅介紹了基本的初等函數(shù),由它們構(gòu)造出紛繁復(fù)雜的函數(shù),這里面很多都是復(fù)合函數(shù),什么是復(fù)合函數(shù)?復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)如何判別?又如何應(yīng)用?
一、概念
復(fù)合函數(shù)的描述性定義是:如果y是u的函數(shù),而u又是x的函數(shù),即y=f(u),u=g(x),那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f[g(x)]叫做函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù),u叫做中間變量.例如y=sin2x與y=sinx不同,它不是基本初等函數(shù),而是由三角函數(shù)y=sinu和一次函數(shù)u=2x經(jīng)過“復(fù)合”而成的一個(gè)函數(shù).
在復(fù)合函數(shù)的定義中,對復(fù)合的步驟和方式有特殊的約定.把幾個(gè)簡單函數(shù)隨意地結(jié)合在一起,例如用四則運(yùn)算把它們結(jié)合起來得到的形如a·f(x)+b·g(x)或a·f(x)·g(x)的函數(shù)不是復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)是指把幾個(gè)映射依先后順序合在一起,對同一自變量逐次映射,構(gòu)造一個(gè)復(fù)合映射所確定的函數(shù).自變量像被加工的零件依次通過第一個(gè)映射、第二個(gè)映射,直到通過全部映射.例如,復(fù)合函數(shù)y=sin2x是自變量x先“乘以2”(第一次映射),再“取正弦”(第二次映射),最后得到y(tǒng)關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)y=sin2x.
為了敘述和應(yīng)用的方便,我們通常用“層”來描述上述不同的映射所對應(yīng)的函數(shù).從外向內(nèi)看函數(shù)y=f[g(x)],稱函數(shù)y=f(u)為外層函數(shù)(外函數(shù)),稱函數(shù)u=g(x)為內(nèi)層函數(shù)(內(nèi)函數(shù)),且稱函數(shù)y=f[g(x)]為函數(shù)f和g復(fù)合一次得到.
二、定義域
1.已知f(x)的定義域,求f[g(x)]的定義域
思路:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,即x∈D,所以f的作用范圍為D,又f對g(x)的作用范圍不變,所以g(x)∈D,解得x∈E,E為y=f[g(x)]的定義域.
例1設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?,1),則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)?
解:函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?,1)即u∈(0,1),所以f的作用范圍為(0,1).又f對lnx的作用范圍不變,所以0 2.已知f[g(x)]的定義域,求f(x)的定義域 思路:設(shè)f[g(x)]的定義域?yàn)镈,即x∈D,由此得g(x)∈E,所以f的作用范圍為E;在f(x)中f對x的作用范圍不變,所以x∈E,E為f(x)的定義域. 例2已知f(3-2x)的定義域?yàn)閤∈[-1,2],則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 解:f(3-2x)的定義域?yàn)閇-1,2],即x∈[-1,2],由此得3-2x∈[-1,5].所以f的作用范圍為[-1,5];在f(x)中f對x的作用范圍不變,所以x∈[-1,5],即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5]. 3.已知f[g(x)]的定義域,求f[h(x)]的定義域 思路:設(shè)f[g(x)]的定義域?yàn)镈,即x∈D,由此得g(x)∈E,f的作用范圍為E;在f[h(x)]中f對h(x)的作用范圍不變,所以h(x)∈E,解得x∈F,F(xiàn)為f[h(x)]的定義域. 例3若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],則f(log2x)的定義域?yàn)? 解:f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],即x∈[-1,1],由此得2x∈[12,2],所以f的作用范圍為[12,2].在f(log2x)中f對log2x的作用范圍不變,所以log2x∈[12,2],解得x∈[2,4],即f(log2x)的定義域?yàn)閇2,4]. 評注:函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍(用集合或區(qū)間表示).f對誰作用,則誰的范圍是f的作用范圍,f作用對象可以變,但f的作用范圍不會變. 三、值域 1.可以化歸為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域 例4求函數(shù)y=2x+41-x的值域. 分析:含根式的函數(shù)關(guān)鍵是去根號,可以利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求值域問題. 解:令t=1-x(x≤1),則x=1-t2,其中t≥0,原函數(shù)可以看成由y=-2t2+4t+2與t=1-x復(fù)合而成,∵x≤1,∴t≥0,∴y=-2(t-1)2+4(t≥0)∈(-∞,4],即原函數(shù)的值域是(-∞,4]. 2.可以化歸為一次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域 例5求函數(shù)y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域. 解:令sinx+cosx=t,則sinxcosx=t2-12,原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=t2-12(1+t)=12(t-1)(t≠-1)與t=sinx+cosx復(fù)合而成. 因?yàn)閠=sinx+cosx=2sin(x+π4), 所以t∈[-2,-1)∪(-1,2]. 結(jié)合一次函數(shù)圖像可知函數(shù)值域?yàn)?/p> [-2-12,-1)∪(-1,2-12]. 評注:求函數(shù)值域要注意函數(shù)定義域,本題很容易遺漏t≠-1的限制,導(dǎo)致求值域出錯(cuò),產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是忽視了轉(zhuǎn)化的等價(jià)性,所以解題過程中必須緊扣定義域. 3.可以化歸為反比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域 例6求函數(shù)y=2x2+2x+3x2+x+1的值域. 解:函數(shù)y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1,令t=x2+x+1,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=2+1t和t=x2+x+1復(fù)合而成. 因?yàn)閤∈R,所以t=x2+x+1=(x+12)2+34≥34,結(jié)合反比例函數(shù)圖像可知y=2+1t∈(2,103],所以原函數(shù)的值域?yàn)椋?,103]. 4.可以化歸為y=ax+bx(a,b∈R*)型函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域
例7求函數(shù)y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.
解:令t=2-sinx,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=-(t+4t)+2和t=2-sinx復(fù)合而成.
∵sinx∈[-1,1],∴t=2-sinx∈[1,3],由u=t+4t的圖像可知u∈[4,5],故y=-(t+4t)+2∈[-3,-2],所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-3,-2].
評注:求復(fù)合函數(shù)值域的關(guān)鍵是把復(fù)雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為由簡單函數(shù)y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成,其中t是中間變量,具有雙重身份:在函數(shù)y=f(t)中,t是自變量;在函數(shù)t=g(x)中,t是函數(shù)值.要求原函數(shù)的值域,必先求出中間變量t的取值范圍,而求t的范圍,就是求函數(shù)t=g(x)的值域,從而將求原函數(shù)的值域化歸為求兩個(gè)簡單函數(shù)的值域,使得問題得到解決.
四、單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定,我們把其規(guī)律歸納如下表:
y=f(u)增↗減↘
u=g(x)增↗減↘增↗減↘
y=f(g(x))增↗減↘減↘增↗
以上規(guī)律還可描述為:“同向得增,異向得減”或“同增異減”.
例8已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.
解:∵a>0且a≠1,
(1)若a>1,
內(nèi)函數(shù)t=2-ax是減函數(shù),外函數(shù)y=logat是增函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;
又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a1>0,解得a<2,
∴1 (2)若0 內(nèi)函數(shù)t=2-ax是增函數(shù),外函數(shù)y=logat是減函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意; 又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a0>0,恒成立,
例7求函數(shù)y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.
解:令t=2-sinx,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=-(t+4t)+2和t=2-sinx復(fù)合而成.
∵sinx∈[-1,1],∴t=2-sinx∈[1,3],由u=t+4t的圖像可知u∈[4,5],故y=-(t+4t)+2∈[-3,-2],所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-3,-2].
評注:求復(fù)合函數(shù)值域的關(guān)鍵是把復(fù)雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為由簡單函數(shù)y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成,其中t是中間變量,具有雙重身份:在函數(shù)y=f(t)中,t是自變量;在函數(shù)t=g(x)中,t是函數(shù)值.要求原函數(shù)的值域,必先求出中間變量t的取值范圍,而求t的范圍,就是求函數(shù)t=g(x)的值域,從而將求原函數(shù)的值域化歸為求兩個(gè)簡單函數(shù)的值域,使得問題得到解決.
四、單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定,我們把其規(guī)律歸納如下表:
y=f(u)增↗減↘
u=g(x)增↗減↘增↗減↘
y=f(g(x))增↗減↘減↘增↗
以上規(guī)律還可描述為:“同向得增,異向得減”或“同增異減”.
例8已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.
解:∵a>0且a≠1,
(1)若a>1,
內(nèi)函數(shù)t=2-ax是減函數(shù),外函數(shù)y=logat是增函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;
又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a1>0,解得a<2,
∴1 (2)若0 內(nèi)函數(shù)t=2-ax是增函數(shù),外函數(shù)y=logat是減函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意; 又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a0>0,恒成立,
例7求函數(shù)y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.
解:令t=2-sinx,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=-(t+4t)+2和t=2-sinx復(fù)合而成.
∵sinx∈[-1,1],∴t=2-sinx∈[1,3],由u=t+4t的圖像可知u∈[4,5],故y=-(t+4t)+2∈[-3,-2],所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-3,-2].
評注:求復(fù)合函數(shù)值域的關(guān)鍵是把復(fù)雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為由簡單函數(shù)y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成,其中t是中間變量,具有雙重身份:在函數(shù)y=f(t)中,t是自變量;在函數(shù)t=g(x)中,t是函數(shù)值.要求原函數(shù)的值域,必先求出中間變量t的取值范圍,而求t的范圍,就是求函數(shù)t=g(x)的值域,從而將求原函數(shù)的值域化歸為求兩個(gè)簡單函數(shù)的值域,使得問題得到解決.
四、單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定,我們把其規(guī)律歸納如下表:
y=f(u)增↗減↘
u=g(x)增↗減↘增↗減↘
y=f(g(x))增↗減↘減↘增↗
以上規(guī)律還可描述為:“同向得增,異向得減”或“同增異減”.
例8已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.
解:∵a>0且a≠1,
(1)若a>1,
內(nèi)函數(shù)t=2-ax是減函數(shù),外函數(shù)y=logat是增函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;
又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a1>0,解得a<2,
∴1 (2)若0 內(nèi)函數(shù)t=2-ax是增函數(shù),外函數(shù)y=logat是減函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意; 又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a0>0,恒成立,