国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)探究

2014-10-31 09:04:23王瑩玉
中學(xué)課程輔導(dǎo)高考版·學(xué)生版 2014年9期
關(guān)鍵詞:原函數(shù)實(shí)根增函數(shù)

王瑩玉

在高中,我們經(jīng)常研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性以及零點(diǎn)等問題.課本上僅介紹了基本的初等函數(shù),由它們構(gòu)造出紛繁復(fù)雜的函數(shù),這里面很多都是復(fù)合函數(shù),什么是復(fù)合函數(shù)?復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)如何判別?又如何應(yīng)用?

一、概念

復(fù)合函數(shù)的描述性定義是:如果y是u的函數(shù),而u又是x的函數(shù),即y=f(u),u=g(x),那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f[g(x)]叫做函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù),u叫做中間變量.例如y=sin2x與y=sinx不同,它不是基本初等函數(shù),而是由三角函數(shù)y=sinu和一次函數(shù)u=2x經(jīng)過“復(fù)合”而成的一個(gè)函數(shù).

在復(fù)合函數(shù)的定義中,對復(fù)合的步驟和方式有特殊的約定.把幾個(gè)簡單函數(shù)隨意地結(jié)合在一起,例如用四則運(yùn)算把它們結(jié)合起來得到的形如a·f(x)+b·g(x)或a·f(x)·g(x)的函數(shù)不是復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)是指把幾個(gè)映射依先后順序合在一起,對同一自變量逐次映射,構(gòu)造一個(gè)復(fù)合映射所確定的函數(shù).自變量像被加工的零件依次通過第一個(gè)映射、第二個(gè)映射,直到通過全部映射.例如,復(fù)合函數(shù)y=sin2x是自變量x先“乘以2”(第一次映射),再“取正弦”(第二次映射),最后得到y(tǒng)關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)y=sin2x.

為了敘述和應(yīng)用的方便,我們通常用“層”來描述上述不同的映射所對應(yīng)的函數(shù).從外向內(nèi)看函數(shù)y=f[g(x)],稱函數(shù)y=f(u)為外層函數(shù)(外函數(shù)),稱函數(shù)u=g(x)為內(nèi)層函數(shù)(內(nèi)函數(shù)),且稱函數(shù)y=f[g(x)]為函數(shù)f和g復(fù)合一次得到.

二、定義域

1.已知f(x)的定義域,求f[g(x)]的定義域

思路:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,即x∈D,所以f的作用范圍為D,又f對g(x)的作用范圍不變,所以g(x)∈D,解得x∈E,E為y=f[g(x)]的定義域.

例1設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?,1),則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)?

解:函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?,1)即u∈(0,1),所以f的作用范圍為(0,1).又f對lnx的作用范圍不變,所以0

2.已知f[g(x)]的定義域,求f(x)的定義域

思路:設(shè)f[g(x)]的定義域?yàn)镈,即x∈D,由此得g(x)∈E,所以f的作用范圍為E;在f(x)中f對x的作用范圍不變,所以x∈E,E為f(x)的定義域.

例2已知f(3-2x)的定義域?yàn)閤∈[-1,2],則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

解:f(3-2x)的定義域?yàn)閇-1,2],即x∈[-1,2],由此得3-2x∈[-1,5].所以f的作用范圍為[-1,5];在f(x)中f對x的作用范圍不變,所以x∈[-1,5],即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5].

3.已知f[g(x)]的定義域,求f[h(x)]的定義域

思路:設(shè)f[g(x)]的定義域?yàn)镈,即x∈D,由此得g(x)∈E,f的作用范圍為E;在f[h(x)]中f對h(x)的作用范圍不變,所以h(x)∈E,解得x∈F,F(xiàn)為f[h(x)]的定義域.

例3若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],則f(log2x)的定義域?yàn)?

解:f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],即x∈[-1,1],由此得2x∈[12,2],所以f的作用范圍為[12,2].在f(log2x)中f對log2x的作用范圍不變,所以log2x∈[12,2],解得x∈[2,4],即f(log2x)的定義域?yàn)閇2,4].

評注:函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍(用集合或區(qū)間表示).f對誰作用,則誰的范圍是f的作用范圍,f作用對象可以變,但f的作用范圍不會變.

三、值域

1.可以化歸為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域

例4求函數(shù)y=2x+41-x的值域.

分析:含根式的函數(shù)關(guān)鍵是去根號,可以利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求值域問題.

解:令t=1-x(x≤1),則x=1-t2,其中t≥0,原函數(shù)可以看成由y=-2t2+4t+2與t=1-x復(fù)合而成,∵x≤1,∴t≥0,∴y=-2(t-1)2+4(t≥0)∈(-∞,4],即原函數(shù)的值域是(-∞,4].

2.可以化歸為一次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域

例5求函數(shù)y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.

解:令sinx+cosx=t,則sinxcosx=t2-12,原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=t2-12(1+t)=12(t-1)(t≠-1)與t=sinx+cosx復(fù)合而成.

因?yàn)閠=sinx+cosx=2sin(x+π4),

所以t∈[-2,-1)∪(-1,2].

結(jié)合一次函數(shù)圖像可知函數(shù)值域?yàn)?/p>

[-2-12,-1)∪(-1,2-12].

評注:求函數(shù)值域要注意函數(shù)定義域,本題很容易遺漏t≠-1的限制,導(dǎo)致求值域出錯(cuò),產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是忽視了轉(zhuǎn)化的等價(jià)性,所以解題過程中必須緊扣定義域.

3.可以化歸為反比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域

例6求函數(shù)y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.

解:函數(shù)y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1,令t=x2+x+1,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=2+1t和t=x2+x+1復(fù)合而成.

因?yàn)閤∈R,所以t=x2+x+1=(x+12)2+34≥34,結(jié)合反比例函數(shù)圖像可知y=2+1t∈(2,103],所以原函數(shù)的值域?yàn)椋?,103].

4.可以化歸為y=ax+bx(a,b∈R*)型函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值域

例7求函數(shù)y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.

解:令t=2-sinx,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=-(t+4t)+2和t=2-sinx復(fù)合而成.

∵sinx∈[-1,1],∴t=2-sinx∈[1,3],由u=t+4t的圖像可知u∈[4,5],故y=-(t+4t)+2∈[-3,-2],所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-3,-2].

評注:求復(fù)合函數(shù)值域的關(guān)鍵是把復(fù)雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為由簡單函數(shù)y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成,其中t是中間變量,具有雙重身份:在函數(shù)y=f(t)中,t是自變量;在函數(shù)t=g(x)中,t是函數(shù)值.要求原函數(shù)的值域,必先求出中間變量t的取值范圍,而求t的范圍,就是求函數(shù)t=g(x)的值域,從而將求原函數(shù)的值域化歸為求兩個(gè)簡單函數(shù)的值域,使得問題得到解決.

四、單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定,我們把其規(guī)律歸納如下表:

y=f(u)增↗減↘

u=g(x)增↗減↘增↗減↘

y=f(g(x))增↗減↘減↘增↗

以上規(guī)律還可描述為:“同向得增,異向得減”或“同增異減”.

例8已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.

解:∵a>0且a≠1,

(1)若a>1,

內(nèi)函數(shù)t=2-ax是減函數(shù),外函數(shù)y=logat是增函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;

又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a1>0,解得a<2,

∴1

(2)若0

內(nèi)函數(shù)t=2-ax是增函數(shù),外函數(shù)y=logat是減函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;

又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a0>0,恒成立,

∴0

綜上所述,0

評注:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性判斷步驟:

①確定函數(shù)的定義域;

②將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù):y=f(t)與t=g(x);

③分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性;

④若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同(即都是增函數(shù),或都是減函數(shù)),則復(fù)合后的函數(shù)y=f(g(x))為增函數(shù);若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異(即一個(gè)是增函數(shù),而另一個(gè)是減函數(shù)),則復(fù)合后的函數(shù)y=f(g(x))為減函數(shù).

當(dāng)然復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性還可以用求導(dǎo)的方式來研究,同學(xué)們一定要熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

五、考題回顧

復(fù)合函數(shù)問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn),往往涵蓋函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化化歸等重要數(shù)學(xué)思想,對同學(xué)們的思維能力、運(yùn)算能力、耐心細(xì)致處變不驚的心理品質(zhì)等都有較高的要求.

例9(2013年江蘇?。┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y=1x(x>0)圖像上一動點(diǎn),若點(diǎn)P,A之間最短距離為22,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為.

解:由題意設(shè)P(x0,1x0),(x0>0)

則有PA2=(x0-a)2+(1x0-a)2=x20+1x20-2a(x0+1x0)+2a2=(x0+1x0)2-2a(x0+1x0)+2a2-2.

令x0+1x0=t(t≥2),則PA2=f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t≥2).

當(dāng)a≤2時(shí),PA2min=f(2)=2a2-4a+2,∴2a2-4a+2=8,

∴a=-1,a=3(舍去).

當(dāng)a>2時(shí),PA2min=f(a)=a2-2,∴a2-2=8

∴a=10,a=-10(舍去).

∴綜上所述:a=-1或a=10.

評注:此題的最值若用求導(dǎo)的方法來研究,過程會過于繁瑣,而用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)來研究則相對簡單.

例10(2012年江蘇?。┤艉瘮?shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a和b的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);

(3)設(shè)h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解:(1)a=0,b=-3.

(2)略.

(3)令f(x)=t,則h(x)=f(t)-c.

先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況:d∈[-2,2].

當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=-2的兩個(gè)不同的根為1和-2,注意到f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=2的兩個(gè)不同的根為-1和2.

當(dāng)|d|<2時(shí),∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,

∴-2,-1,1,2都不是f(x)=d的根.

由(1)知f′(x)=3(x+1)(x-1).

①當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù),從而f(x)>f(2)=2,此時(shí)f(x)=d在(2,+∞)無實(shí)根.

②當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù).

又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的圖像不間斷,

∴f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.

同理,f(x)=d在(-2,-1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

③當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f′(x)<0,于是f(x)是單調(diào)減函數(shù).

又∵f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的圖像不間斷,

∴f(x)=d在(-1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

因此,當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=d有兩個(gè)不同的根x1,x2滿足|x1|=1,|x2|=2;

當(dāng)|d|<2時(shí),f(x)=d有三個(gè)不同的根x3,t4,t5,滿足|xi|<2,i=3,4,5.

現(xiàn)在考慮函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn):

(?。┊?dāng)|c|=2時(shí),f(t)=c有兩個(gè)根t1,t2,滿足|t1|=1,|t2|=2.

而f(x)=t1有三個(gè)不同的根,f(x)=t2有兩個(gè)不同的根,故y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn).

(ⅱ)當(dāng)|c|<2時(shí),f(t)=c有三個(gè)不同的根t3,t4,t5,滿足|ti|<2,t=3,4,5.

而f(x)=ti(i=3,4,5)有三個(gè)不同的根,故y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)|c|=2時(shí),函數(shù)y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn);當(dāng)|c|<2時(shí),函數(shù)y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).

評注:解決本題的關(guān)鍵還是通過換元的方法把復(fù)合函數(shù)分解為兩個(gè)簡單函數(shù),而這兩個(gè)簡單函數(shù)是我們熟悉的三次函數(shù).當(dāng)然也可通過研究復(fù)合函數(shù)h(x)=f(f(x))-c的單調(diào)性來解決此題.

復(fù)合函數(shù)往往是由簡單函數(shù)“組合”而成的,解決其有關(guān)問題時(shí),常用“逐步分解術(shù)”,“化整為零”,各個(gè)擊破,最后解決問題.

(作者:王瑩玉,蘇州大學(xué)附屬中學(xué))

例7求函數(shù)y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.

解:令t=2-sinx,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=-(t+4t)+2和t=2-sinx復(fù)合而成.

∵sinx∈[-1,1],∴t=2-sinx∈[1,3],由u=t+4t的圖像可知u∈[4,5],故y=-(t+4t)+2∈[-3,-2],所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-3,-2].

評注:求復(fù)合函數(shù)值域的關(guān)鍵是把復(fù)雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為由簡單函數(shù)y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成,其中t是中間變量,具有雙重身份:在函數(shù)y=f(t)中,t是自變量;在函數(shù)t=g(x)中,t是函數(shù)值.要求原函數(shù)的值域,必先求出中間變量t的取值范圍,而求t的范圍,就是求函數(shù)t=g(x)的值域,從而將求原函數(shù)的值域化歸為求兩個(gè)簡單函數(shù)的值域,使得問題得到解決.

四、單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定,我們把其規(guī)律歸納如下表:

y=f(u)增↗減↘

u=g(x)增↗減↘增↗減↘

y=f(g(x))增↗減↘減↘增↗

以上規(guī)律還可描述為:“同向得增,異向得減”或“同增異減”.

例8已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.

解:∵a>0且a≠1,

(1)若a>1,

內(nèi)函數(shù)t=2-ax是減函數(shù),外函數(shù)y=logat是增函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;

又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a1>0,解得a<2,

∴1

(2)若0

內(nèi)函數(shù)t=2-ax是增函數(shù),外函數(shù)y=logat是減函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;

又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a0>0,恒成立,

∴0

綜上所述,0

評注:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性判斷步驟:

①確定函數(shù)的定義域;

②將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù):y=f(t)與t=g(x);

③分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性;

④若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同(即都是增函數(shù),或都是減函數(shù)),則復(fù)合后的函數(shù)y=f(g(x))為增函數(shù);若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異(即一個(gè)是增函數(shù),而另一個(gè)是減函數(shù)),則復(fù)合后的函數(shù)y=f(g(x))為減函數(shù).

當(dāng)然復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性還可以用求導(dǎo)的方式來研究,同學(xué)們一定要熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

五、考題回顧

復(fù)合函數(shù)問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn),往往涵蓋函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化化歸等重要數(shù)學(xué)思想,對同學(xué)們的思維能力、運(yùn)算能力、耐心細(xì)致處變不驚的心理品質(zhì)等都有較高的要求.

例9(2013年江蘇省)平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y=1x(x>0)圖像上一動點(diǎn),若點(diǎn)P,A之間最短距離為22,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為.

解:由題意設(shè)P(x0,1x0),(x0>0)

則有PA2=(x0-a)2+(1x0-a)2=x20+1x20-2a(x0+1x0)+2a2=(x0+1x0)2-2a(x0+1x0)+2a2-2.

令x0+1x0=t(t≥2),則PA2=f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t≥2).

當(dāng)a≤2時(shí),PA2min=f(2)=2a2-4a+2,∴2a2-4a+2=8,

∴a=-1,a=3(舍去).

當(dāng)a>2時(shí),PA2min=f(a)=a2-2,∴a2-2=8

∴a=10,a=-10(舍去).

∴綜上所述:a=-1或a=10.

評注:此題的最值若用求導(dǎo)的方法來研究,過程會過于繁瑣,而用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)來研究則相對簡單.

例10(2012年江蘇?。┤艉瘮?shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a和b的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);

(3)設(shè)h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解:(1)a=0,b=-3.

(2)略.

(3)令f(x)=t,則h(x)=f(t)-c.

先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況:d∈[-2,2].

當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=-2的兩個(gè)不同的根為1和-2,注意到f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=2的兩個(gè)不同的根為-1和2.

當(dāng)|d|<2時(shí),∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,

∴-2,-1,1,2都不是f(x)=d的根.

由(1)知f′(x)=3(x+1)(x-1).

①當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù),從而f(x)>f(2)=2,此時(shí)f(x)=d在(2,+∞)無實(shí)根.

②當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù).

又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的圖像不間斷,

∴f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.

同理,f(x)=d在(-2,-1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

③當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f′(x)<0,于是f(x)是單調(diào)減函數(shù).

又∵f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的圖像不間斷,

∴f(x)=d在(-1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

因此,當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=d有兩個(gè)不同的根x1,x2滿足|x1|=1,|x2|=2;

當(dāng)|d|<2時(shí),f(x)=d有三個(gè)不同的根x3,t4,t5,滿足|xi|<2,i=3,4,5.

現(xiàn)在考慮函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn):

(?。┊?dāng)|c|=2時(shí),f(t)=c有兩個(gè)根t1,t2,滿足|t1|=1,|t2|=2.

而f(x)=t1有三個(gè)不同的根,f(x)=t2有兩個(gè)不同的根,故y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn).

(ⅱ)當(dāng)|c|<2時(shí),f(t)=c有三個(gè)不同的根t3,t4,t5,滿足|ti|<2,t=3,4,5.

而f(x)=ti(i=3,4,5)有三個(gè)不同的根,故y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)|c|=2時(shí),函數(shù)y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn);當(dāng)|c|<2時(shí),函數(shù)y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).

評注:解決本題的關(guān)鍵還是通過換元的方法把復(fù)合函數(shù)分解為兩個(gè)簡單函數(shù),而這兩個(gè)簡單函數(shù)是我們熟悉的三次函數(shù).當(dāng)然也可通過研究復(fù)合函數(shù)h(x)=f(f(x))-c的單調(diào)性來解決此題.

復(fù)合函數(shù)往往是由簡單函數(shù)“組合”而成的,解決其有關(guān)問題時(shí),常用“逐步分解術(shù)”,“化整為零”,各個(gè)擊破,最后解決問題.

(作者:王瑩玉,蘇州大學(xué)附屬中學(xué))

例7求函數(shù)y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.

解:令t=2-sinx,則原函數(shù)可以看成由函數(shù)y=-(t+4t)+2和t=2-sinx復(fù)合而成.

∵sinx∈[-1,1],∴t=2-sinx∈[1,3],由u=t+4t的圖像可知u∈[4,5],故y=-(t+4t)+2∈[-3,-2],所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-3,-2].

評注:求復(fù)合函數(shù)值域的關(guān)鍵是把復(fù)雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為由簡單函數(shù)y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成,其中t是中間變量,具有雙重身份:在函數(shù)y=f(t)中,t是自變量;在函數(shù)t=g(x)中,t是函數(shù)值.要求原函數(shù)的值域,必先求出中間變量t的取值范圍,而求t的范圍,就是求函數(shù)t=g(x)的值域,從而將求原函數(shù)的值域化歸為求兩個(gè)簡單函數(shù)的值域,使得問題得到解決.

四、單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定,我們把其規(guī)律歸納如下表:

y=f(u)增↗減↘

u=g(x)增↗減↘增↗減↘

y=f(g(x))增↗減↘減↘增↗

以上規(guī)律還可描述為:“同向得增,異向得減”或“同增異減”.

例8已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.

解:∵a>0且a≠1,

(1)若a>1,

內(nèi)函數(shù)t=2-ax是減函數(shù),外函數(shù)y=logat是增函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;

又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a1>0,解得a<2,

∴1

(2)若0

內(nèi)函數(shù)t=2-ax是增函數(shù),外函數(shù)y=logat是減函數(shù),得復(fù)合函數(shù)y=loga(2-ax)是減函數(shù),滿足題意;

又由于x∈[0,1],2-ax>0,即2-ax的最小值2-a0>0,恒成立,

∴0

綜上所述,0

評注:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性判斷步驟:

①確定函數(shù)的定義域;

②將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù):y=f(t)與t=g(x);

③分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性;

④若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同(即都是增函數(shù),或都是減函數(shù)),則復(fù)合后的函數(shù)y=f(g(x))為增函數(shù);若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異(即一個(gè)是增函數(shù),而另一個(gè)是減函數(shù)),則復(fù)合后的函數(shù)y=f(g(x))為減函數(shù).

當(dāng)然復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性還可以用求導(dǎo)的方式來研究,同學(xué)們一定要熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

五、考題回顧

復(fù)合函數(shù)問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn),往往涵蓋函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化化歸等重要數(shù)學(xué)思想,對同學(xué)們的思維能力、運(yùn)算能力、耐心細(xì)致處變不驚的心理品質(zhì)等都有較高的要求.

例9(2013年江蘇?。┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y=1x(x>0)圖像上一動點(diǎn),若點(diǎn)P,A之間最短距離為22,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為.

解:由題意設(shè)P(x0,1x0),(x0>0)

則有PA2=(x0-a)2+(1x0-a)2=x20+1x20-2a(x0+1x0)+2a2=(x0+1x0)2-2a(x0+1x0)+2a2-2.

令x0+1x0=t(t≥2),則PA2=f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t≥2).

當(dāng)a≤2時(shí),PA2min=f(2)=2a2-4a+2,∴2a2-4a+2=8,

∴a=-1,a=3(舍去).

當(dāng)a>2時(shí),PA2min=f(a)=a2-2,∴a2-2=8

∴a=10,a=-10(舍去).

∴綜上所述:a=-1或a=10.

評注:此題的最值若用求導(dǎo)的方法來研究,過程會過于繁瑣,而用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)來研究則相對簡單.

例10(2012年江蘇?。┤艉瘮?shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a和b的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);

(3)設(shè)h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解:(1)a=0,b=-3.

(2)略.

(3)令f(x)=t,則h(x)=f(t)-c.

先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況:d∈[-2,2].

當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=-2的兩個(gè)不同的根為1和-2,注意到f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=2的兩個(gè)不同的根為-1和2.

當(dāng)|d|<2時(shí),∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,

∴-2,-1,1,2都不是f(x)=d的根.

由(1)知f′(x)=3(x+1)(x-1).

①當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù),從而f(x)>f(2)=2,此時(shí)f(x)=d在(2,+∞)無實(shí)根.

②當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù).

又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的圖像不間斷,

∴f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.

同理,f(x)=d在(-2,-1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

③當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f′(x)<0,于是f(x)是單調(diào)減函數(shù).

又∵f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的圖像不間斷,

∴f(x)=d在(-1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

因此,當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=d有兩個(gè)不同的根x1,x2滿足|x1|=1,|x2|=2;

當(dāng)|d|<2時(shí),f(x)=d有三個(gè)不同的根x3,t4,t5,滿足|xi|<2,i=3,4,5.

現(xiàn)在考慮函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn):

(?。┊?dāng)|c|=2時(shí),f(t)=c有兩個(gè)根t1,t2,滿足|t1|=1,|t2|=2.

而f(x)=t1有三個(gè)不同的根,f(x)=t2有兩個(gè)不同的根,故y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn).

(ⅱ)當(dāng)|c|<2時(shí),f(t)=c有三個(gè)不同的根t3,t4,t5,滿足|ti|<2,t=3,4,5.

而f(x)=ti(i=3,4,5)有三個(gè)不同的根,故y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)|c|=2時(shí),函數(shù)y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn);當(dāng)|c|<2時(shí),函數(shù)y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).

評注:解決本題的關(guān)鍵還是通過換元的方法把復(fù)合函數(shù)分解為兩個(gè)簡單函數(shù),而這兩個(gè)簡單函數(shù)是我們熟悉的三次函數(shù).當(dāng)然也可通過研究復(fù)合函數(shù)h(x)=f(f(x))-c的單調(diào)性來解決此題.

復(fù)合函數(shù)往往是由簡單函數(shù)“組合”而成的,解決其有關(guān)問題時(shí),常用“逐步分解術(shù)”,“化整為零”,各個(gè)擊破,最后解決問題.

(作者:王瑩玉,蘇州大學(xué)附屬中學(xué))

猜你喜歡
原函數(shù)實(shí)根增函數(shù)
一個(gè)對數(shù)不等式的改進(jìn)
幾類間斷點(diǎn)與原函數(shù)存在性的關(guān)系辨析
卷宗(2020年34期)2021-01-29 05:36:24
解一元二次方程中的誤點(diǎn)例析
我為高考設(shè)計(jì)題目(2)
三角函數(shù)最值的求解類型及策略
原函數(shù)是非初等函數(shù)的定積分的計(jì)算方法
一個(gè)包含Smarandache原函數(shù)與六邊形數(shù)的方程
2016年山東省20題第(Ⅱ)問的三種解法
二次函數(shù)迭代的一個(gè)問題的探究
書畫家韓實(shí)根
源流(2013年5期)2013-04-29 19:51:20
藁城市| 景谷| 梅河口市| 察隅县| 永昌县| 剑河县| 南召县| 澳门| 平凉市| 澳门| 临夏县| 紫金县| 辽源市| 花垣县| 田东县| 九龙县| 长沙市| 五莲县| 长丰县| 固镇县| 宁蒗| 观塘区| 泾川县| 错那县| 信阳市| 扎兰屯市| 阳原县| 民乐县| 华坪县| 固阳县| 昌宁县| 武夷山市| 合作市| 台州市| 墨竹工卡县| 汤阴县| 岳普湖县| 涟源市| 中方县| 建宁县| 呼玛县|