張 杰，李 晗，胡 鼎

（東北電力大學 理學院，吉林 吉林132012）

多目標博弈也稱為具有向量支付的博弈［1］.現(xiàn)實生活中大部分多目標決策問題都存在相互取舍的關(guān)系，因此，多目標博弈的研究已成為解決現(xiàn)實博弈問題的主要方法，而均衡解［2］的存在性是多目標博弈研究的熱點問題之一［3－5］，目前已受到人們廣泛關(guān)注.文獻［6］討論了相互沖突的多目標決策和非合作博弈問題；文獻［7］應用集值理論討論了以兩個局中人對抗為主體、多個局中人間接參與的一類特殊微分對策，給出了其極小極大控制的存在性定理；李金澤等［8］將求解單目標博弈平衡點的Fan－Glicksberg不動點定理應用到對多目標博弈平衡點存在性的研究中；文獻［9］對博弈實例進行了均衡解的求解；文獻［10－11］分別討論了支付函數(shù)為向量形式的n人非合作多目標博弈及不確定參數(shù)變化范圍假設下的弱Pareto－Nash平衡點的存在性問題，其中后者減弱了多目標博弈平衡點存在性定理中策略空間的緊性和支付函數(shù)的凸性等條件.本文通過建立多目標博弈模型，給出相應的博弈均衡解概念，并對完全信息下多目標博弈均衡解的存在性及其性質(zhì)進行了研究.

1 完全信息下的多目標博弈模型及均衡解

1.1 完全信息下的多目標博弈模型

本文基于字典序?qū)δＰ停∕P）進行研究.為此，需要對每個支付目標函數(shù)確定期望值.

下面不妨將K個支付目標函數(shù)劃分為K個優(yōu)先等級，其中第k個支付函數(shù)fik（x）為第k個優(yōu)先級.

1.1.3 基于字典序的整個博弈系統(tǒng)多目標博弈模型 對于整個博弈系統(tǒng)，包含n個局中人以及n×K個支付函數(shù)，其字典序極小化的多目標博弈模型（P0）如下：求x∈X，使得

1.1.4 每個局中人的多目標博弈模型 對于局中人i，有K個支付函數(shù)，則描述其決策過程的字典序極小化多目標博弈模型（Pi）（i＝1，2，…，n）為：求x∈X，使得

1.1.5 n個局中人合作的多目標博弈模型 若n個局中人合作，則表明風險共擔，資源、利益共享.此時，相當于整個博弈系統(tǒng)只有一個局中人，其字典序極小化的多目標博弈模型（P）為：求x∈X，使得

1.2 完全信息下多目標博弈均衡解的概念

定義1［12］設有K 維有序非負向量a（1），a（2）和a，其中：模型（Pi）和（P）可知，

定義3 模型（P0）的最優(yōu)解稱為完全信息下n個局中人多目標博弈系統(tǒng)的偏好均衡解，偏好均衡集記為A（P0）.

定義4 模型（P）的最優(yōu)解稱為完全信息下n個局中人多目標博弈系統(tǒng)的合作均衡解，合作均衡集記為A（P）.

2 完全信息下n人多目標博弈系統(tǒng)字典序均衡解存在的充分條件

引理1 AL（Pi）＝A（Pi）.

由定義2易證引理1的結(jié)論，故略.

引理2表明，如果每個局中人的多目標博弈最優(yōu)策略集的交集非空，則交集中的解即為n個局中人多目標博弈模型的偏好均衡解.

定理1表明，如果每個局中人多目標博弈最優(yōu)策略集的交集非空，則偏好均衡解即為完全信息下多目標博弈系統(tǒng)的字典序均衡解.

3 完全信息下n個局中人多目標博弈系統(tǒng)偏好均衡解的性質(zhì)

若ai（xi′）＝ai（x0），則有

因此xi′∈A（P0），所以A（Pi′）∩A（P0）≠?，與已知矛盾.若ai（xi′）＜Lai（x0），則有

定理2表明，如果模型（P0）中的偏好均衡解不是任意局中人i的字典序均衡解，則對每個局中人i，必存在局中人i0（i0≠i），i0更傾向于選擇系統(tǒng)的偏好均衡解，而不愿選擇局中人i的字典序均衡解.

4 偏好均衡解與合作均衡解的關(guān)系

引理3表明字典序具有傳遞性.

由模型（P）可知

由模型（P0）可知

從而由式（11）有

且

由式（10），（12），得

從而由式（13），（14），（16），有

又由式（13），（14），（18），得

定理3表明，若從n個局中人總體利益出發(fā)，選擇合作多目標模型（P）所得到的合作均衡解將不劣于選擇n個局中人多目標博弈模型（P0）所得到的偏好均衡解.

定理4表明，若偏好均衡解集與合作均衡解集不交，則存在局中人i0，他選擇模型（P0）得到的偏好均衡解將不劣于選擇模型（P）中的合作均衡解，即i0更傾向于選擇偏好均衡解.

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