王濤

摘 要：數(shù)學(xué)普遍被認(rèn)為是一門枯燥且難以學(xué)懂的學(xué)科，多數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣也不是太高。根據(jù)組合數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐談一下這門課在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣上的一些作用。

關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)興趣；教材

從小學(xué)的算術(shù)到大學(xué)的高等數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是我們各學(xué)習(xí)階段的一個基礎(chǔ)課程。大學(xué)以前的數(shù)學(xué)教育多數(shù)在于應(yīng)付各種考試，學(xué)習(xí)的內(nèi)容及講授方法比較古板，使學(xué)生逐漸失去了對數(shù)學(xué)的興趣。在高等教育階段，我們有更多的精力、更多的能力去接觸數(shù)學(xué)的各個方面，應(yīng)該了解數(shù)學(xué)的多樣性，增加學(xué)生對學(xué)習(xí)的興趣。在此，我們談一下本科階段數(shù)學(xué)專業(yè)的組合數(shù)學(xué)課。

一、開設(shè)組合數(shù)學(xué)課程的必要性

組合數(shù)學(xué)是離散數(shù)學(xué)的一個重要分支，一直是計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)的一門必修課程。在本科階段，針對數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)開設(shè)這門課的學(xué)校比較少。從全國來看，即使開設(shè)了這門課的學(xué)校，也都各自采用不同的教材，各自制訂相應(yīng)的教學(xué)大綱，總體呈無序化。

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)系本科生的課程設(shè)置一直比較穩(wěn)定，雖然歷經(jīng)多次改革，但變動甚微。老師對課程的設(shè)置及教學(xué)的認(rèn)識都形成了固定的模式，較難改變。學(xué)生在本科階段學(xué)習(xí)的大多數(shù)課程是基于連續(xù)系統(tǒng)的，對于離散系統(tǒng)的介紹則少之又少。本科新生從入校開始就函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微開始，都是研究連續(xù)系統(tǒng)。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)需要邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)用的定理和公式較多，計(jì)算量也較大，而且晦澀難懂。對于初入大學(xué)的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)起來枯燥無味，甚至影響到學(xué)習(xí)的情緒，對數(shù)學(xué)失去耐心和信心。從另外一方面講，這些基礎(chǔ)課程是高等數(shù)學(xué)教育的基石，又是不可或缺的。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生正確地認(rèn)識數(shù)學(xué)，如何讓學(xué)生保持對數(shù)學(xué)的興趣就至關(guān)重要。組合數(shù)學(xué)作為離散系統(tǒng)的重要分支，具有自身獨(dú)特的特點(diǎn)，可以讓學(xué)生認(rèn)識到一個完全不同的數(shù)學(xué)世界。

二、組合數(shù)學(xué)簡介

由于組合數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的獨(dú)特關(guān)系，隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，組合數(shù)學(xué)發(fā)展迅速。我國信息產(chǎn)業(yè)發(fā)展則相對滯后，在我國，組合數(shù)學(xué)的發(fā)展相對緩慢。但是組合數(shù)學(xué)的起源可以追溯到我國的河圖洛書，歷史悠久。此后，歐拉解決了著名的七橋問題則開啟了組合數(shù)學(xué)的一個分支——圖論的發(fā)展。近代，美國伊利諾伊大學(xué)的數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)70年代借助于計(jì)算機(jī)的幫助證明了著名的四色定理①。

其實(shí)，在高中時(shí)代我們已經(jīng)接觸到了一部分組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容，即排列與組合。作為一個學(xué)生，當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)，就感覺其與其他部分的內(nèi)容有很不一樣的感覺，有趣而又有點(diǎn)“難”。排列組合是組合數(shù)學(xué)課內(nèi)不可或缺的一塊，在現(xiàn)行的普通教材中都要占一到二個章節(jié)，這也是后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。就其基本內(nèi)容來說，主要有排列組合、鴿巢原理、生成函數(shù)、圖論、組合設(shè)計(jì)等內(nèi)容。

三、如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，及教學(xué)中的一些嘗試

縱觀組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，它都與游戲不可分割，本身就具有趣味性，較容易引起學(xué)生的興趣。

河南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在2011年秋季開始開設(shè)組合數(shù)學(xué)課程，安排在本科三年級的第一個學(xué)期。作為此課的第一個主講教師，心里有些忐忑。這門課可以把自己的主要研究內(nèi)容和基礎(chǔ)教學(xué)緊密地結(jié)合起來，也很有興趣和新鮮感。在教材的選用環(huán)節(jié)，我們堅(jiān)決采用由美國布魯?shù)辖淌诰帉懙挠⑽慕滩腎ntroductory Combinatorics 的中文版。此教材歷經(jīng)多次修改，當(dāng)時(shí)已經(jīng)出版到第5版（當(dāng)時(shí)國內(nèi)只有第4版的翻譯版），在北非被普遍采用為教材，非常受歡迎。從材料的選取、章節(jié)安排的順序到習(xí)題的選配都較為合理，在我們一個學(xué)期的使用中，效果也很好，稍有不足的是翻譯的質(zhì)量稍微差一點(diǎn)點(diǎn)。

在講授的環(huán)節(jié)，從學(xué)習(xí)背景的介紹到抽象為數(shù)學(xué)理論都注重“故事性”。本身有很多內(nèi)容都是從現(xiàn)實(shí)中來，它具有其真實(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，這些材料本身就很有趣味。如，36軍官問題：“有一次，普魯士腓特烈大王決定舉行一次盛大的閱兵典禮，打算從6支部隊(duì)里面，各選出6名不同軍銜（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的軍官各一人，合計(jì)36人，排成一個每邊正好6人的方陣，要求每行每列都必須有各個部隊(duì)和各種軍銜的代表，既不準(zhǔn)重復(fù)，也不能遺漏。這件事情看來很好辦，不料命令傳達(dá)下去之后，卻根本無法執(zhí)行。閱兵司令接二連三地吹哨子，喊口令，排來排去，始終不符合國王的要求，他急得像只熱鍋上的螞蟻。執(zhí)事官員和國王的侍從們一見事情不妙，只好臨時(shí)找個借口，支吾過去。但這已使腓特烈大王在眾多外國貴賓面前窘態(tài)畢露，出足洋相。事后，腓特烈大王對這件事情始終耿耿于懷，認(rèn)為閱兵司令竟連這點(diǎn)小事也辦不好，真是個草包。他就自己動手試試，在紙上編排一下，可是試來試去，竟無法成功。于是他去向許多有學(xué)問的人請教，可是他們也都束手無策。最后，他不得不去請教當(dāng)時(shí)歐洲第一流的大數(shù)學(xué)家歐拉，希望能找出一個解決方案。那時(shí)歐拉已經(jīng)很老了，在此之前，不知有多少個令人望而生畏的數(shù)學(xué)難題在他手里迎刃而解。但是這樣一個小孩子也明白其意義的，看上去非常簡單的‘36軍官問題，竟然也把他難住了。經(jīng)過長期苦心研究，他終于認(rèn)為國王的要求是無法滿足的，也就是說，那樣的6階方陣是排不出來的”。

這個有趣的“36軍官問題”引申出來的數(shù)學(xué)問題就是正交拉丁方，而更有趣的是根據(jù)現(xiàn)在已知的數(shù)學(xué)理論，只有6階的正交拉丁方是不存在的。這個腓特烈大王的運(yùn)氣確實(shí)差了一點(diǎn)，給屬下恰好就安排了一個不可能完成的任務(wù)。如果他選擇從任何不等于6的k個部隊(duì)里挑出k個不同的軍銜排成他需要的方陣都是可解的。在我們講授時(shí)盡可能用通俗的語言把這個故事講給學(xué)生，學(xué)生可能最后會哄堂大笑，但就是因此學(xué)生會有興趣去聽這個課，會愿意去學(xué)習(xí)由此引申出來的數(shù)學(xué)理論。這樣的故事也有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論。

教學(xué)實(shí)踐中，我注意和學(xué)生的溝通，期末讓學(xué)生寫出對這門課的想法和感受及任何想對老師說的話。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，幾乎所有學(xué)生都認(rèn)真地完成了作業(yè)。甚至一部分學(xué)生用四五頁的紙寫了他們的感悟。從這些反饋來看，學(xué)生的第一感覺是驚喜，他們很多人沒有想到數(shù)學(xué)不只是枯燥的，還有這么有趣的東西，數(shù)學(xué)還有它活潑的一面，如果早認(rèn)識到這些就好了。第二個感受是輕松。不少學(xué)生認(rèn)為這門課是他們學(xué)過的課程里最簡單的一門課，在輕松活潑中學(xué)到了相關(guān)的知識。第三個感受是學(xué)生和老師的距離拉近了，學(xué)生更多的想和老師交流他們的想法，和老師探討學(xué)習(xí)中的一些問題。

四、進(jìn)一步的思考

這門課在提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面確有很大的積極作用，這不僅僅由于這門課本身的特點(diǎn)，更多的是讓學(xué)生從思想上改變對數(shù)學(xué)的看法，讓他們愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?；谶@門課的作用及它本身需要的基礎(chǔ)知識較少，建議把這門課安排在本科學(xué)習(xí)的最初階段，甚至是大學(xué)一年級。

在講授的過程中，要重視它的科普性。數(shù)學(xué)不都是高深難懂的理論，它也有通俗的一面，可以為廣大普通群眾接受的一面。目前，數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)知識的普及工作比較缺乏。普通大眾，哪怕是受過高等教育的學(xué)生提到數(shù)學(xué)都認(rèn)為非常難，無法理解高深的理論。我們可以利用這門課的特點(diǎn)，作一些科普工作，甚至嘗試在學(xué)校開設(shè)面向全校的選修課。

參考文獻(xiàn)：

布魯?shù)希≧ichard A.Brualdi）.組合數(shù)學(xué)（原書5版）[M].馮速，譯.機(jī)械工業(yè)出版社，2012-05.

Effect of the Combination of Mathematics Inimproving the Students Interest in Learning

Wang Tao

Abstract：Mathematics is generally considered a boring and difficult to understand the subject，The majority of students interest in learning of mathematics is not too high.According to the practice of combined in mathematics teaching about the course in improving students learning some mathematics of interest.

Key words：combinatorial mathematics；learning interest；teaching materials

編輯 薄躍華