呼和滿都拉，冀文慧，楊洪濤，胡曉穎

(集寧師范學(xué)院)

0 引言

熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究對(duì)象從少量個(gè)體變?yōu)橛纱罅總€(gè)體組成的群體，導(dǎo)致規(guī)律性質(zhì)和研究方法的根本變化，大量粒子系統(tǒng)所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是不能歸結(jié)為力學(xué)規(guī)律的.統(tǒng)計(jì)物理是由微觀到宏觀的橋梁，它為各種宏觀理論提供依據(jù)，已經(jīng)成為氣體、液體、固體和等離子體理論的基礎(chǔ)，并在化學(xué)和生物學(xué)的研究中發(fā)揮作用.氣體動(dòng)理論(曾稱氣體分子運(yùn)動(dòng)論)是早期的統(tǒng)計(jì)理論.它揭示了氣體的壓強(qiáng)、溫度、內(nèi)能等宏觀量的微觀本質(zhì)，并給出了它們與相應(yīng)的微觀量平均值之間的關(guān)系.平均自由程公式的推導(dǎo)，氣體分子速率或速度分布律的建立，能量均分定理的給出，以及有關(guān)數(shù)據(jù)的得出，使人們對(duì)平衡態(tài)下理想氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)、碰撞、能量分配等等有了清晰的物理圖像和定量的了解，同時(shí)也顯示了概率、統(tǒng)計(jì)分布等對(duì)統(tǒng)計(jì)理論的特殊重要性.而在統(tǒng)計(jì)物理中對(duì)系綜的研究尤為重要.

統(tǒng)計(jì)理論系綜是平衡態(tài)的普遍理論，它適用于任何多粒子系統(tǒng)，包括粒子之間的相互作用尤其重要作用的情形，例如稠密氣體、液體、相變和臨界現(xiàn)象等.最早是由波爾茲曼提出的.以后，Gibbs建立了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)系綜的完整的理論表述.在量子力學(xué)建立后，經(jīng)過泡利、馮·諾依曼、狄拉克、克拉莫茲和朗道等人的努力，建立起以量子力學(xué)為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)系綜理論.

1 統(tǒng)計(jì)系綜理論的討論

當(dāng)我們的研究對(duì)象從單個(gè)或少數(shù)粒子變成由大量粒子和準(zhǔn)粒子組成的，具有大量隨機(jī)變化自由度的宏觀系統(tǒng)的.由于大量隨機(jī)自由度的存在，用純粹的力學(xué)方法已不能解決問題了，應(yīng)運(yùn)產(chǎn)生了新的研究方法——系綜理論.系綜是大量系統(tǒng)(N個(gè))的集合.系統(tǒng)中的每個(gè)系統(tǒng)和被研究系統(tǒng)具有完全相同的結(jié)構(gòu)，受到完全相同的宏觀約束，但可能處于不同的微觀態(tài).系綜是統(tǒng)計(jì)物理中假想的工具，而不是實(shí)際的客體，實(shí)際的客體是組成系綜的單元——系統(tǒng).根據(jù)不同的宏觀條件，我們將常見的穩(wěn)定系統(tǒng)分為三種系統(tǒng):由孤立系統(tǒng)組成的微正則系統(tǒng);由恒溫封閉系統(tǒng)組成的正則系綜和由開放系統(tǒng)組成的巨正則系綜.在統(tǒng)計(jì)系綜中，三種系綜分布存在緊密的關(guān)系，微正則分布是作為基本假設(shè)提出的，正則分布和巨正則分布是在這一假設(shè)基礎(chǔ)上導(dǎo)出的.這三種分布所對(duì)應(yīng)的系綜宏觀條件各不相同，但在確定系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)時(shí)，這三種分布完全等效.在原理上，我們是以微正則系綜為出發(fā)點(diǎn).據(jù)此推導(dǎo)出正則系綜和巨正則系綜.雖然這三種系綜所描述的系統(tǒng)，其宏觀條件有所不同，但在處理實(shí)際問題時(shí)，這種差異并不會(huì)表現(xiàn)出來.其結(jié)論都是相同的.或者說，三種統(tǒng)計(jì)系綜在處理問題上具有等效性.這種等效性源于實(shí)際系統(tǒng)都含有大量粒子，由系綜平均值求出的宏觀量相對(duì)漲落非常小，因此系綜分布函數(shù)存在一個(gè)很大的峰，這個(gè)峰值處幾乎包括了全部的概率.

1.1 微正則分布

微正則系綜是指系綜里的每個(gè)體系具有相同的能量(通常每個(gè)體系的粒子數(shù)和體積也是相同的).

其物理意義是:經(jīng)典微正則系綜中所有系統(tǒng)的微觀態(tài)代表點(diǎn)，穩(wěn)定而均勻地分布在空間的能量殼層內(nèi).

1.2 正則分布

正則分布對(duì)應(yīng)的是正則系綜，它說明系綜里的每個(gè)體系都可以和其他體系交換能量(每個(gè)體系的粒子數(shù)和體積仍然是固定且相同的)，但是系綜里所有體系的能量總和是固定的.系綜內(nèi)各體系有相同的溫度.系統(tǒng)與大熱源接觸且處于平衡，具有確定的粒子數(shù)N，溫度T，體積V.若系統(tǒng)有Nr個(gè)自由度.

從物理意義上講，配分函數(shù)是系統(tǒng)的有效狀態(tài)和;從數(shù)學(xué)上講，它是為了方便而引入的一個(gè)生成函數(shù).通過系統(tǒng)的能量函數(shù)來得到系統(tǒng)的配分函數(shù)是利用系綜理論處理實(shí)際問題的關(guān)鍵.因?yàn)橛辛伺浞趾瘮?shù)就可以通過熱力學(xué)公式得到該系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì).

1.3 巨正則分布

正則系綜的推廣，每個(gè)體系都可以和其他體系交換能量和粒子，但系綜內(nèi)各體系的能量總和以及粒子數(shù)總和都是固定的.(系綜內(nèi)各體系的體積相同.)系綜內(nèi)各個(gè)體系有相同的溫度和化學(xué)勢.當(dāng)系統(tǒng)與熱源，粒子源相接觸，其體積V，溫度T以及化學(xué)勢具有確定值時(shí).

這三種分布所對(duì)應(yīng)的系綜宏觀條件各不相同，但在確定系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)時(shí)，這三種分布是完全等效的.

2 三種系綜的漲落

在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的漲落有很多，但是上面三種系綜的漲落主要有兩個(gè)方面，下面分別從能量漲落，粒子數(shù)漲落分析討論三個(gè)系綜的關(guān)系:

2.1 能量漲落

漲落是大量微觀粒子的一種統(tǒng)計(jì)平均行為，是大量微觀粒子如分子、原子、電子等無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的結(jié)果.下面就具體介紹能量的漲落.能量張落的定義式是:

正則分布

所以

能量的相對(duì)漲落為:

由此，說明正則系統(tǒng)與微正則系統(tǒng)是等價(jià)的，微正則系綜處于孤立系中，能量E有確定值，因此能量漲落為0，所以微正則分布是正則分布忽略能量E的漲落的結(jié)果.

通過以上兩例說明:正則分布能量的相對(duì)漲落與N－1成正比，對(duì)于宏觀系統(tǒng)來說，能量的相對(duì)漲落是完全可忽略的.能量E與ˉE有較大的偏

圖1

2.2 粒子數(shù)漲落

巨正則分布中的粒子數(shù)的絕對(duì)漲落:

粒子數(shù)的相對(duì)漲落為:

還可用另一種形式表示:

下面分別以單、雙原子為例討論:

(1)單原子分子理想氣體

系統(tǒng)的粒子數(shù)為:

粒子數(shù)的相對(duì)漲落:

(2)以雙原子分子為例:

將此式代入(7)并將pV=ˉNKT代入(7)得:

通過以上例子說明:粒子數(shù)的相對(duì)漲落與N－1成正比，對(duì)于宏觀系統(tǒng)粒子數(shù)的相對(duì)漲落可忽略.

2.3 正則分布的能量漲落

因?yàn)?/p>

所以

說明:正則系綜的能量漲落是巨正則系綜的能量漲落忽略粒子數(shù)N的能量漲落的結(jié)果.

3 結(jié)束語

綜上所述，三種統(tǒng)計(jì)系綜的關(guān)系是:它們是等價(jià)的，但應(yīng)用的廣泛程度不同，方便應(yīng)用的條件不同.三種系綜等價(jià)的含義為:雖然組成三種系綜的系統(tǒng)所處的宏觀條件有原則上的區(qū)別，但在熱力學(xué)極限下用三種系綜計(jì)算同一個(gè)宏觀系統(tǒng)的熱力學(xué)量時(shí)，會(huì)得到相同的結(jié)果.也就是，我們可以不管系統(tǒng)所處的實(shí)際系統(tǒng)，按照方便，采用任何一種系綜進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果都是相同的.

三種系綜是等價(jià)的是因?yàn)閷?duì)于微觀系統(tǒng)，能量的相對(duì)漲落是極小的，所以正則系綜和微正則系綜是等價(jià)的，用微正則分布和正則分布求得的熱力學(xué)量實(shí)際上相同.用這兩種分布求熱力學(xué)量實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于選取不同的特性函數(shù)，即分別選取自變量為(N，V，E)的內(nèi)能U和自變量為(N，V，T)的自由能F(N，V，T)為特性函數(shù).對(duì)于微觀系統(tǒng)，由于粒子數(shù)的相對(duì)漲落是很小的，因而正則分布和巨正則分布等價(jià)，即使在粒子數(shù)相對(duì)漲落很大的情形，巨正則分布與正則分布仍將給出相同的熱力學(xué)信息.用巨正則分布與用正則分布求熱力學(xué)量相當(dāng)于選取不同的特性函數(shù)，即分別選取巨熱力學(xué)勢Ω(T，μ，V)和自由能F(N，V，T)為特性函數(shù).實(shí)際上，對(duì)粒子數(shù)相對(duì)漲落很大的情形，使用巨正則分布比較方便.

直接應(yīng)用微正則系綜往往比較困難，由于計(jì)算Ω(E，N，V)必須滿足能量守恒和粒子數(shù)守恒兩個(gè)約束條件，而計(jì)算Z(T，V，N)解除了對(duì)能量守恒的約束而變得比較容易.雖然理論上微正則分布與正則分布等價(jià)，但實(shí)際上正則分布比微正則分布應(yīng)用更廣泛，也方便得多.巨正則系綜的巨配分函數(shù)Z(T，V，μ)的計(jì)算因同時(shí)消除了能量守恒和粒子數(shù)守恒的約束而變得更容易.

總之，從理論角度考慮，微正則系綜是系綜理論的基礎(chǔ)，正則分布和巨正則分布是由微正則分布導(dǎo)出的;在應(yīng)用上，三種系綜是等價(jià)的，實(shí)際上，巨正則系綜由于其巨配分函數(shù)計(jì)算最簡單而應(yīng)用最廣.

［1］ 汪志成.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理:第四版［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］ 繆勝清.熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理習(xí)題選解［M］.合肥:安徽大學(xué)出版社，1998.

［3］ 蘇汝鏗.統(tǒng)計(jì)物理學(xué):第二版［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］ 鄭瑞倫.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理學(xué)［M］.重慶:西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003.

［5］ 蘇安.熱學(xué)與熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理［M］.教育與職業(yè)，2008.