陳雪峰

“21世紀的文盲是不會學習的人”.因此，改善學生的學習方式是數(shù)學課程標準強調(diào)的根本任務之一.而自主學習是我校著力打造的改善學生學習方式的重大課題.在這一課題中，其實最重要的一點，就是前課的設計與處理問題.實踐研究發(fā)現(xiàn)，在前，精心設置開放性問題，對于學生自主學習的深度有重大影響，而且效果很好.

一、典型案例

例如，在講“分式的基本概念”時，我給出如下式子：A=x2-4x+2；B=1x2+1；C=x-33-x.請每個學習小組寫出有價值的5句話.學生熱烈討論后，每組推薦一個學生上講臺寫出答案.以下是學生寫的（重復的忽略）：（1）當x=±2時，分式A的值為0；有的學生不同意，修訂為當x=2時，分式A的值為0.（此處不僅是考點，也是易錯點.學生有爭論便達到目的.這樣，學生自然得到分式值為0，必須在有意義的前提下.知識點自然生成）（2）當x=-2時分式A無意義. （顯然，分母為0時，分式是無意義的）（3）分式A可以化簡約分為x-2.（這是后面的內(nèi)容，或者說以前分數(shù)約分的性質(zhì)，被遷移到分式里面來了，也是老師沒有想到的）（4）無論x取何實數(shù)，分式B總有意義.（顯然，學生已經(jīng)看出，無論x取何值，x2+1都不能等于0）（5）無論x取何實數(shù)，分式B都不能為0，而且分式B總是正數(shù).（看出這一點相對來說又高明了一些，是值得表揚的）（6）在有意義的前提下，分式C的值為-1.（7）無論x取何實數(shù)，分式C的值都不能為0.（這其實是下一堂課的內(nèi)容，屬于分式的性質(zhì)及約分這一范疇） （8）對于x=0時，可以求出A、B、C分式的值分別為-2、1、-1.（這屬于分式的求值問題.在講評時，我故意選取-2，代入對分式A化簡后的式子x-2中，讓學生求值.自然地，結(jié)果是-4.看我在狡黠笑時，學生忽然明白，對于分式A，是不能取x=-2的.）事實上，教科書在此處只有“分式有無意義、分式的值為0”這兩個相關知識點.我特地讓學生多寫幾句，其目的不言而喻，就是讓他們開動腦筋，積極思考，拓寬視野.

又如，在講“平面直角坐標系”時，我在黑板上寫下這樣一個問題：（1）請你在坐標平面內(nèi)畫出下列各點：A（2，0），B（4，0），C（-2，0），D（3，4），E（4，5），F(xiàn)（4，-5），G（-4，5），H（0，-4），P（-3，-4）.看誰畫的漂亮.（2）就以上所描畫的點，允許任意操作與聯(lián)想，請寫出你們的發(fā)現(xiàn)，每個小組的2號同學上來展示，不少于3個.看哪個小組寫出的結(jié)論有水平.學生興奮的勁頭，讓我很感動.下面是他們在黑板上寫出的結(jié)論（圖形略）：“銳不可當”組：點D、E在第一象限；點G在第二象限；點P在第三象限；點F在第四象限.“虞美人”組：點A、B在x軸的正半軸上；點C在x軸的負半軸上；點H在y軸的負半軸上；點G、D、E都在x軸的下方.“似水榴蓮”組：點E與G關于y軸對稱；點E、F關于x軸對稱；點A與點C關于y軸對稱.“謀殺白日夢”組：AB=2，AC=4，BC=6；OD=5；PD=10；OE=OG=OF.“四維空間”組：△HAC是等腰三角形；四邊形ACGE是等腰梯形；添加點Q（2，-5），則四邊形ABFQ是矩形.“蘿卜白菜”組：線段EG⊥y軸，EG∥x軸；EF⊥x軸，EF∥y軸；EG⊥EF.當學生興奮地等待點評與表揚時，我在黑板上寫下英語單詞：you hear，you forget！好多學生立即翻譯：你聽了，會忘的.我指出，誰能夠?qū)⑺M行另一種翻譯？（意譯：好記性不如爛筆頭?。W生感到疑惑.我問：還記得我曾經(jīng)講過的，對于開放型問題，要遵循什么樣的解答原則嗎？有個學生貌似遲疑不定地說了一句：不同類原則！好，現(xiàn)在我們就仔細看看，只讓你們寫三句話，根據(jù)不同類原則，你認為自己的那個組寫得好嗎？允許你們上來調(diào)整修改.學生修訂的有模有樣.

學生是從以下幾條來修訂的：（1）點的位置所在的象限，并說明坐標軸上的點不屬于任何象限，并指出每個象限的點的橫（縱）坐標的符號特征；（2）根據(jù)對稱性，不僅考慮關于兩個坐標軸對稱，還指出了關于原點對稱的，并總結(jié)出對稱點的坐標特征；（3）關于點的平移問題（左右、上下）；（4）關于兩點所在直線與坐標軸的特殊位置關系，平行或垂直時相關坐標的特征；（5）幾個點所構成的特殊的三角形和四邊形問題.有不少學生計算出相關圖形的周長和面積，甚至還有學生總結(jié)出平面內(nèi)兩點間的距離的算法.

最后，今天的作業(yè)，就是把這節(jié)課的內(nèi)容好好整理到筆記本上.另外，你還可以把其他想法寫出來交給我，看看還有哪些新的發(fā)現(xiàn).交來的同學，只要有與他人不一樣的結(jié)論，平時成績就給加分.

學生展示的東西，確實超乎我的想象.交上來的作業(yè)里面，真的還有一些是你所想不到的.比如，點（2，2）、（5，5）、（-3，-3），只要橫縱坐標一樣，它們就在一三象限的角平分線上；反之，只要橫縱坐標相反，則在二四象限的角平分線上……

二、教學反思

第一，學生學習過程是一個把教材知識結(jié)構轉(zhuǎn)化為自己認知結(jié)構的過程.學習，歸根結(jié)底是學生自己的事.學習的效果最終取決于學生是否真正參與到學習活動中，是否積極主動地思考.而教師的責任更多是為學生提供思考的機會，為學生留有思考的時間和空間.這兩堂前課的處理之

初，我只是拋出了一個開放性的問題，主要是想讓孩子們打開聯(lián)想的翅膀.鄭毓信教授指出“開放題在數(shù)學教學中的應用還具有另一些優(yōu)越性，如有利于調(diào)動學生（特別是居于中流或?qū)W習上后進的學生）的學習積極性，有利于培養(yǎng)學生的表述能力和 批判、評價能力.

教師出示題目之后，如果不等學生進行思考，或當學生的思路剛剛“起步”之時，便急于提示或直接給出思路和方法，以教師的思路取代學生的思考，這些都是不仁道的.在教學中，教師要給學生足夠的時間審題、思考、嘗試、探索，當學生學習遇到困難時，再進行適時、適度、適量的點撥.靜待花開也是一種修養(yǎng).

第二，教學上有個名詞叫“預設與生成”，在自主學習的課堂上，是很容易出現(xiàn)情況的.如果出現(xiàn)了意外，教師不妨調(diào)整預設，給生成騰出空間.比如，這兩節(jié)課我就沒有想到學生會寫出那么多不一樣的東西，特別是一些具有特征性、規(guī)律性的總結(jié)，是我原本沒有準備的.事實上，通過自主學習，利用一堂課就能搞定兩課時的內(nèi)容.可見，還是自主學習效率高.同時，課堂是允許學生犯錯的地方.只要是學生自己獨立思考所得，即使是一些不完美、不合理，甚至錯誤的想法，也要加以鼓勵.畢竟這是學生思考探究所獲.分析和解決問題固然重要，而發(fā)現(xiàn)和提出問題更是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識所需要的.因此，“提出問題比解決問題更重要”.

第三，數(shù)學課堂最需要做的是“引發(fā)數(shù)學思考”.激發(fā)興趣無疑是重要的，而且不少教師在課堂上也特別注意這一點.我想說的是，“引發(fā)數(shù)學思考”是數(shù)學教學中最有價值的行為. 在教學中，固然需要去做題型模仿、類型強化、技能操練，但如果這些措施離開了數(shù)學思考，也只能是無效行為.有思考才會有問題，才會有反思，才會有思想，才能真正感悟到數(shù)學的本質(zhì)和價值，也才能在創(chuàng)新意識上得到發(fā)展.

設計開放性問題，讓學生不受已有知識和經(jīng)驗的局限、不受現(xiàn)有答案的局限，設計可以從不同的角度、不受時間和空間的局限去思考的問題.這類問題敞開了對學生思維的限制，有助于學生形成擴大思維認真積極進行數(shù)學思考的機會，鼓勵學生突破傳統(tǒng)和權威，進行創(chuàng)新，發(fā)揮自己的新見解，進行思維的移植和重新組合.

事實上，課本上的習題大都是有標準答案的、封閉的，而學生遇到的一些問題包括生活里的實際問題，往往是開放的.即使學生想不了那么多，只要他們積極思考，也就達到目的了.哈佛大學有一個絕妙的隱喻：“到哈佛學習，就像是很快幫助我找到了高速公路的入口處.”其實這句話揭示了幾個基本要義：學生的學習就好比在路上行走，如果在高速上會走得更為順暢，也能更快到達目的地；要走上高速公路，必須先找到入口，教者的前課預設，課堂上的引導、追問或點評就是為了促使其找到入口；教師的任務是幫助學生快速找到入口處，這個過程就是奠定“基礎”的過程.所以，教師精心設計前課，也是為了讓學生找到突破口，以便快速進入學習的“高速路”，提高自主學習的效率.