許華存

高中數(shù)學教學到了高三階段基本都是復習課，常規(guī)模式的復習課對于老師來說已經(jīng)有了教學“疲勞”，學生也有了聽課“疲勞”。怎么樣讓高三的復習課活起來，讓老師和學生都有新鮮感？筆者在高三二輪復習時做了一些嘗試，主要把背景差不多的題目做成小專題的形式，收到了不錯的效果。以下是《立體幾何中的軌跡問題》的課堂實錄。

師：同學們，這幾次作業(yè)中我們經(jīng)常會遇到涉及到空間的點的軌跡問題，今天我們一起來探究一下這類問題，希望能幫大家解決一些困惑。

例1、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點P是平面ABCD內的動點，若點P到直線A1D1的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是（）

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D. 直線

師：請同學們先在草稿本上畫個圖吧！

生甲：這道題不是做過了嗎？

師：那好！請你說一下怎么做。要不你上來？（學生笑）

生1：還是下面說吧！在平面ABCD上隨便取一點P，過P作PM⊥AD于M，過M作MN⊥A1D1于N，連接PN，再過P作PG⊥CD于G，則PN=PG。而PN2=PM2+MN2=PM2+1，∴PG2-PM2=1。這樣就可以得到軌跡是雙曲線了。

師：這么快？

生1：那就坐標系好了。分別以DA，DC為x軸，y軸建立平面直角坐標系，設P（x，y），則有x2-y2=1，所以軌跡是雙曲線。（老師在黑板上畫圖）

生2：那還不如直接建立坐標系。

師：同學們以為呢？

生3：我認為直接建系的話，P到A1D1的距離比較麻煩。還是先轉化，建立平面直角坐標系好一點。

師：大家都說得有道理。這個題目表面上看涉及空間點的軌跡問題，其實點在面ABCD上運動，所以我認為先轉化為平面點的軌跡問題，然后再建系，也就是用解析幾何的方法解決了。主要體現(xiàn)從空間問題到平面問題的轉化。

例2、如圖2，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個點，C、D在平面β內，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，P是平面α上的一個動點，且有∠APD=∠BPC，則四棱錐P-ABCD體積的最大值是（）

A.48B.16C.243D.144

師：這道題上次也做過，但做得不好。先找個同學問一下。生3，你上次怎么考慮這個問題的？

生3：我是做了點，做到后來是猜的。（不好意思了）

師：那你把自己的想法說一下吧！能說多少是多少。（老師黑板上畫圖）

生3：這兩個平面是互相垂直的。四棱錐的底面是一個直角梯形，面積是36，所以主要是求高?！螦PD=∠BPC，可以得到PB=2PA。（老師打斷：為什么啊？）

生3：ΔADP和ΔBCP都是直角三角形，這兩個三角相似，BC=2AD，所以PB=2PA。感覺最大值是4。

師：誰能接下去嗎？

生4：因為這兩個平面互相垂直，所以P到平面β的距離就是P到l的距離。以AB的中點O為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A（-3，0），B（3，0），設P（x，y），則有（x-3）2+y2=2（x+3）2+y2，（老師黑板上板書）化簡得，x2+y2+10x+9=0，（x+5）2+y2=16，這表示圓心為（-5，0），半徑等于4的圓，所以有-4≤y≤4，所以P到x軸的最大距離是4，所以體積為48。

師：回答的非常好！看樣子我這個老師是多余的了。（學生笑了）其實這道題也可以理解為一個空間軌跡問題，P在面α上運動，求出P到直線l距離的最大值。先把兩個角相等轉化為兩條邊之間的數(shù)量關系，再把數(shù)量關系轉化為軌跡，再根據(jù)曲線方程求變量的取值范圍。

例3、如圖3，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得ΔABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.一條直線D.兩條平行直線

師：這是2008年浙江省的高考理科卷第10題。大家熟悉吧！說實話，剛拿到題時我也沒思路啊！只能建系，但這道題建系也很麻煩?。‖F(xiàn)在我們都知道用什么方法了？

學生一起：交軌法！

師：再解釋一下吧！有些同學還不是很清楚。我們先求出P的軌跡。線段AB的長是定值，ΔABP的面積也是定值，所以什么也是定值??？

生：P到AB的距離。

師：在平面內到定直線的距離等于定值定長的點的軌跡是兩條平行直線。（黑板上畫圖）

那么在空間這樣的點的軌跡就是把這兩條直線繞已知直線旋轉了，所以軌跡就是以定直線AB為軸的圓柱，又P在平面α上，所以P的軌跡就是平面與圓柱的交線了。題目還有一個條件說AB是斜線段，所以是用平面斜的去截圓柱，軌跡就是橢圓了。所以如果將本題看成空間兩個軌跡的交線，這個問題就簡單多了，這叫居高臨下。

師：時間過得很快，今天我們一起學習了求空間軌跡的幾種常用方法，如轉化，建系，模型，交軌等，其實還有其他想法，如類比。

本文是筆者在高三二輪復習中的一節(jié)課的課堂實錄。教學內容來自于平時做的綜合卷中的一些作業(yè)，以及同類型的題目。這個專題主要涉及空間點的軌跡問題，這堂課主要歸納了這類問題的幾種常見做法，有轉化法、坐標法、交軌法、類比法和幾何模型等方法；由于這類題目都以小題形式出現(xiàn)，課堂上也滲透了特殊值法和端值思想。從教學效果上看，這堂課給枯燥的二輪復習課帶來了生氣，引發(fā)了學生的思考，激發(fā)了學生的興趣；從課后與部分同學的交流來看，有的同學反映這堂課的內容與方法有的知道，但沒有歸類；有的知識點模糊，有些題目感到比較迷茫，只會特殊值法，通過這樣的小專題讓他們說出困惑，從而幫助他們解決問題，他們表示這種課可以多嘗試。