李玉龍

【摘要】在本科數(shù)學(xué)的教學(xué)中，高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析是最基本最重要的內(nèi)容，其中矩陣和微積分的思想是十分絢麗且深刻的思想，能夠深刻地掌握其思想精髓，靈活地運(yùn)用才是目的.

【關(guān)鍵詞】矩陣的秩定理;有限開覆蓋定理;歐拉定理;可數(shù)集;隱函數(shù)組定理

然而在教學(xué)中不是一件容易的事，在本科教學(xué)中有好多學(xué)生對(duì)一些基本定理的理解顯然不足，沒有自己的看法和思路，甚至勉強(qiáng)承認(rèn)書本中的邏輯式的證明，對(duì)定理的本質(zhì)沒有一點(diǎn)“感覺”，很難轉(zhuǎn)化為自己的東西.為此在比較了中西方許多教科書之后，針對(duì)其中的一些基本定理，擯棄一些傳統(tǒng)的固定模式的證明，從新角度給予闡釋，目的在于把命題的本質(zhì)“自然”“看得見的”呈現(xiàn)在讀者面前，弄清楚是什么，是怎么回事，一旦明白了本質(zhì)，證明只是一件簡單嚴(yán)格敘述的事情罷了，從而幫助本科生更好地理解學(xué)習(xí).

1.矩陣的秩定理

矩陣的行秩和列秩相等.

這是高等代數(shù)里非常基本的性質(zhì)定理之一，大部分教材是通過客觀的證明行秩小于等于列秩，列秩小于等于行秩來證明行秩與列秩相等.我們通過矩陣本身最基本的初等變換，給出一種自然的看法.

讓我們先看看最簡單的一般形式的梯形矩陣吧.

A=0100000000

0001000000

0000001000

0000000100

0000000000（1）

這顯然行秩等于列秩，實(shí)際上就是1的個(gè)數(shù).那讓我們再看看普通的矩陣：

B=a11……a1n

ami……amn（2）

和梯形矩陣（1）的關(guān)系.

很顯然，任何一個(gè)矩陣（2）都可以通過有限次初等變換變成（1）.

那反過來呢？因?yàn)槌醯茸儞Q的過程是可逆的，所以由相對(duì)應(yīng)的（1）反過來可以經(jīng)過有限次初等變換成原來的（2）.

因?yàn)樘菪尉仃嚕?）的行秩與列秩是相等的，故我們只需驗(yàn)證初等變換不改變行秩與列秩就可以了.下面給出簡單的證明.

2.有限開覆蓋定理

若為閉區(qū)間上的一個(gè)開覆蓋，則存在有限開覆蓋.

這是數(shù)學(xué)分析教材里最基本的定理之一，也是實(shí)數(shù)完備性定理之一.實(shí)數(shù)的完備性可以說是數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)的基礎(chǔ).正確地理解實(shí)數(shù)的完備性無疑是本科生的重點(diǎn)和難點(diǎn).但是一般的教材里的證明都讓學(xué)生感覺很生澀，如果理解不到位還會(huì)讓學(xué)生感覺只是邏輯的堆砌，完全看不出生活中實(shí)數(shù)的自然性，也不理解這樣做的原因.大部分教材如《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)出版社）里的證明一般都是用分割的方法，我們考慮另一種形象的看法，然后給出一個(gè)自然的證明.

實(shí)際上我們搞清楚定理在說什么就可以了.什么是一個(gè)開覆蓋？條件說存在一個(gè)開覆蓋，承認(rèn)存在開覆蓋的同時(shí)實(shí)際上也承認(rèn)了什么？

既然閉區(qū)間存在開覆蓋，那當(dāng)然區(qū)間里任一點(diǎn)都存在相應(yīng)的開區(qū)間覆蓋它，從而這個(gè)點(diǎn)和覆蓋它的開區(qū)間的右邊端點(diǎn)有個(gè)距離，比如，從點(diǎn)a開始，任取一個(gè)覆蓋它的開區(qū)間，有個(gè)距離. 我們?nèi)∷羞@些距離里最大的，也就上確界，記為，如果點(diǎn)仍落在閉區(qū)間內(nèi)，可以接著進(jìn)行下去取最長的距離，依次類推.這時(shí)候只需注意到條件說存在開覆蓋，也就意味著這些不斷取到的點(diǎn)總可以超過點(diǎn)b（想想為什么？如果永遠(yuǎn)都到達(dá)不了點(diǎn)b，又怎么會(huì)有開覆蓋呢？因?yàn)檫@已經(jīng)是按照最大方式接近點(diǎn)b了），從而當(dāng)然一定有限！也就是說實(shí)際上這些暗含的信息是等價(jià)的，搞清楚這些剩下的就是嚴(yán)格敘述的事了.

3.可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并是可數(shù)集

設(shè)一組集合，若每個(gè)為可數(shù)集，則為可數(shù)集.

這個(gè)命題是實(shí)變函數(shù)教材里最基本的命題之一，關(guān)乎學(xué)生以后對(duì)分析的理解和運(yùn)用.雖然很簡單，但是事實(shí)是仍然有好多學(xué)生對(duì)集合論感覺很玄乎，比如選擇公理之類的，以至于對(duì)這個(gè)命題也感覺可對(duì)可錯(cuò).這種想法實(shí)際上是不對(duì)的.此命題是嚴(yán)格正確的，證明方法有很多，比如Rudin的數(shù)分析原理里的證明就是用下標(biāo)標(biāo)號(hào)法，實(shí)際上還可以更直接的去看待這個(gè)問題，可以“看得見的”去證明.

可數(shù)集的概念我們是用自然數(shù)集N來定義的，那就直接考慮是否和N對(duì)等就行了.下面有個(gè)很自然的看法.

4.歐拉定理

V+F-E=X（P），V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X（P）是多面體P的歐拉示性數(shù).如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個(gè)球面），那么X（P）=2.特別的，P為凸多面體時(shí)，X（P）=2.

一般的教材中有很多證明，比如《整體微分幾何初步》（沈一兵），用到微積分、微分形式等.針對(duì)凸多面體，下面給出一種自然的初等的看法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程.第三版.高等教育出版社.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù).第三版.高等代數(shù)出版社.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)組.數(shù)學(xué)分析.第三版.華東師范大學(xué)出版社.

[4]Walter Rudin.The Principles Of Mathematics.Third Edition.機(jī)械工業(yè)出版社.

[5] 沈一兵.整體微分幾何初步.第一版.高等教育出版社.

[6]Artin.algebra.

[7]Vladimir A.Zorich.Mathematical AnalysisI.Springer，2010（3）.

[8]Zberhard Zeidler.Applied Functional Analysis：Applications to Mathematical Physics.Spriner Third Edition.

[9]張恭慶，林源渠.泛函分析講義.北京大學(xué)出版社，2010.