尹伯亞

【摘要】大多數(shù)書本在待定系數(shù)法這個很重要很好用的方法上沒有給出非常嚴格的證明，以特殊情況達到更容易理解的目的，本人這里給出一個嚴格的證明.以一個簡單的問題引出滿足一定條件的線性非齊次常系數(shù)微分方程有界性的證明.本文為純數(shù)學推導，無任何參考文獻，旨在解決在學習過程中出現(xiàn)的問題和對遇到的有趣問題進行延伸.

【關鍵詞】待定系數(shù)法;引例;有界性

1.

待定系數(shù)法的嚴格證明

考慮方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=（b0+b1t+b2t2+…+bmtm）est.

L[x]=dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx.

將x=yest代入，可得

dixdti=∑ik=0Ckiyi-kestsk（i=1，2，…，n）.

兩邊eat約掉，以下這里不再考慮est，

作和∑ni=0aidixdti.

我們考慮y（i）（i=0，1，2，…，n）的系數(shù)，

至少dkxdtk（k≥i）才有可能產(chǎn)生y（i）.可得系數(shù)

Ji=∑nk=iCikan-isk-i=1i！∑nk=ik！（k-i）！an-ksk-i（a0=1，0！=1）.

Jndnydtn+Jn-1dn-1ydtn-1+Jn-2dn-2ydtn-2+…+J1dydt+J0y=b0+b1t+b2t2+…+bmtm.

考慮dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…an-1dxdt+anx的特征多項式：

λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+a.

通過求導可以發(fā)現(xiàn)特征多項式的i階導就是i！Ji其中將λ換成指數(shù)系數(shù)s.

i重根滿足f（k）=0（k=1，2，…，i-1），f（i）≠0.

若s是特征方程的i重根，則Jk=0（i=0，1，…，i-1），Ji≠0.

y=φ（t）=tl（d0+d1t+d2t2+……+dmtm）.

顯然只有滿足l=i，才能使等式兩邊可能相等

而又由x=yest，

則可假設x=ti（d0+d1t+d2t2+…+dmtm）est.

x代入初始方程兩邊相等便可列出等價方程，此方程一定可解出di（i=0，1，…，m），這樣我們便完整地證明了線性非齊次常系數(shù)方程待定系數(shù)法求特解的方法.

2.滿足一定條件的微分方程有界性引例

給定方程x″+8x+7=q（t），已知q（t）在0≤x≤+∞連續(xù)，

（1）若q（t）在0≤x≤+∞上有界，則此方程的每一個解在0≤x<+∞上有界.

（2）若limt→+∞q（t）=0，則此方程每一個解x（t）都有l(wèi)imt→+∞x（t）=0.

（1）解：可列出特征方程λ2+8λ+7=0，

得λ1=-1，λ2=-7.

∴相應的線性齊次方程的解為C1e-t+C2e-7t（C1，C2為任意常數(shù)）.

由常數(shù)變異法取x=C1（t）e-t+C2（t）e-7t（*）.

C′1（t）e-t+C′2（t）e-7t=0，

-C′1（t）e-t-7C′2（t）e-7t=q（t）.

其系數(shù)行列式為e-te-7t

-e-t-7e-7t

將e-t和e-7t提出，則行列式為e-8t11

-1-7=-6e-8t

由cramer法則

C′1（t）=0e-7t

p（t）-7e-7t/（-6e-8t）=e-7tp（t）6e-8t=etp（t）6.

先只考慮C1（t），

可取C′1（t）的特殊積分∫t0etp（t）6dt作為C1（t）.

代回（*）中，

考慮I=e-t∫t0etp（t）6dt的有界性，

由于p（t）有界，不妨設p（t）<6M，

則

I

則I有界.

同理可證C2（t）e-7t有界.

由常數(shù)變異法可知（*）為一特解，則這一特解有界

可得方程任一解均可表示為

x=（*）+C1e-t+C2e-7t.

顯然x在（0，+∞）有界.

（2）解：同題（1）中可以得到方程的解為（*）+C1e-t+C2e-7t.

顯然對任一C1，C2，C1e-t+C2e-7t均是趨于無窮極限為零的.

那么就只需討論（*）的極限.

同樣我們先考慮可取C′1（t）的特殊積分∫t0etp（t）6dt作為C1（t），

I=e-t∫t0etp（t）6dt的極限.

∵limt→+∞q（t）=0，

∴對6ε>0，總N>0，t>N時，q（t）<6ε

由于t總會趨于無窮，不妨取t>N.

I=∫N0etp（t）6dtet+∫tNetp（t）6dtet=I1+I2.

顯然定積分是常數(shù)對I1取t→+∞極限為0.

I2<ε∫tNetdtet=ε1-eNet<ε.

這樣就證明了I取t→+∞時極限為0.

同理可證C2（t）e-7t極限為0.

x=（*）+C1e-t+C2e-7t，任一確定的C1，C2，limt→∞x（t）=0.

3.滿足一定條件的微分方程有界性說明分析證明

經(jīng)過引例的證明，可以發(fā)現(xiàn)引例的方程的特征多項式的解均為負實值.

不妨設一微分方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=p（t）的特征多項式的解為b1，b2，…，bn均為負實值且互不相同，p（t）在（0，+∞）上有界來討論其解的有界性.

證：顯然方程對應的齊次方程的解為：

C1eb1t+C2eb2t+…+Cnebnt.

與引例同樣，根據(jù)常數(shù)變異法：

C′1（t）eb1t+C′2（t）eb2t+…+Cn′（t）ebnt（*）.

可列出方程：

C′1（t）eb1t+C′2（t）eb2t+…+Cn′（t）ebnt=0

b1C′1（t）eb1t+b2C′2（t）eb2t+…+bnCn′（t）ebnt=0

……

b1n-1C′1（t）eb1t+b2n-1C′2（t）eb2t+…+

bnn-1Cn′（t）ebnt=p（t）

可得系數(shù)行列式

J=eb1teb2t…ebnt

b1eb1tb2eb2t…bnebnt

b1n-1eb1tb2n-1eb2t……bnn-1ebnt

=e（b1+b2+…+bn）t11…1

b1b2…bn

bn-11bn-12…bn-1n

=e（b1+b2+……+bn）t∏1≤i

這里也先只考慮C1（t），

通過cramer法則，可以解得：

C′1（t）=0eb2t…ebnt

0b2eb2t…bnebnt

p（t）b2n-1eb2t……bnn-1ebnt/J

=（-1）np（t）e（b2+b3+…+bn）t∏2≤i

=（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）

同樣取C1（t）=∫t0（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）dt.

p（t）有界，則取p（t）

這樣就得到C1（t）eb1t≤eb1t∫t0（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）dt

同理可證Ci（t）ebit（i=2，3，…，n）有界.

又方程的解x=*+C1eb1t+C2eb2t+…+Cnebnt，

顯然Ciebit（i=1，2，3，…，n）在（0，+∞）有界.

∴方程的任一解x均在（0，+∞）有界.

這樣就證得了滿足一定條件的微分方程的有界性.

當limt→+∞p（t）=0時，方程解x的極限limt→+∞x（t）=0也可仿照引例的方法證明，這里不再贅述.

【參考文獻】

[1]周義倉，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應用.科學出版社.