韓兆君 徐玉國

【摘要】本文結(jié)合具體例題就二維隨機(jī)變量的和的概率密度求解中的難點(diǎn)問題給出詳細(xì)分析.

【關(guān)鍵詞】二維隨機(jī)變量;概率密度;分段區(qū)間

教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度為分段函數(shù)時(shí)，其和Z=X+Y的密度也為分段函數(shù)，在概率密度求解過程中，存在三方面的問題：（1）Z的分段區(qū)間的確定;（2）被積函數(shù)表示式的確定;（3）積分上下限的確定.本文結(jié)合一題二維隨機(jī)變量的和的密度求解，就以下三種方法給出易于理解的解題思路.

1.重要公式

設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量， 具有概率密度f（x，y），則Z=X+Y仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，且概率密度為：

fZ（z）=∫+∞-∞f（x，z-x）dx或fZ（z）=∫+∞-∞f（z-y，y）dy.公式（1）

又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為fX（x），fY（y），則得：

fZ（z）=∫+∞-∞fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=∫+∞-∞fX（z-y）fY（y）dy.卷積公式

2.例題分析

例 設(shè)X的概率密度fX（x）=x2，0

0，其他一，Y的概率密度fY（y）=4-y8，0

0其他，

且X和Y相互獨(dú)立，試求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度fZ（z）.

方法1：圖像分析法——利用公式（1）：fZ（z）=∫+∞-∞f（x，z-x）dx求解.

解題過程分析：①寫出被積函數(shù)f（x，z-x）的表示式（注意：f（x，z-x）表示式為分段函數(shù)，在積分過程中，僅有非零表示式為有效積分部分）;②建立xOz軸，根據(jù)表示式中x，z的取值范圍，在xOz面內(nèi)畫出被積函數(shù)的非零區(qū)域;③將z看作參數(shù)，在xOz面內(nèi)作平行x軸的直線，根據(jù)從-∞到+∞沿x積分過程中，被積函數(shù)表示式非零的區(qū)間上下限的不同，將z分段，逐段進(jìn)行求解.

具體求解： f（x，z-x）=fX（x）·fY（z-x）=x2·4-（z-x）8，0

0，其他，

結(jié)合圖形不難看出，z的取值不同，從-∞到+∞沿x積分過程中，被積函數(shù)表示式非零的區(qū)間上下限的不同，從而將z分段討論，具體求解如下：

當(dāng)z≤0或z>6時(shí)，fZ（z）=∫+∞-∞0dx=0

當(dāng)0

當(dāng)2

當(dāng)4

由上可得，z的概率密度為：

fZ（z）=18z2-196z3， 0

23-18z，2

23-18z+196（z-4）3，4

0，其他.

方法2：區(qū)間分析法——利用卷積公式：fZ（z）=∫+∞-∞fX（x）fY（z-x）dx求解.

解題過程分析：利用卷積公式計(jì)算時(shí)，僅需在被積函數(shù)fX（x）·fY（z-x）表示式非零的區(qū)間內(nèi)積分即可.而fX（x）·fY（z-x）表示式非零，需在fX（x）與fY（z-x）均非零的公共區(qū)間內(nèi)，由此可確定z的分段，并相應(yīng)得到計(jì)算時(shí)的積分區(qū)間.

具體求解： fX（x）=x2，0

0，其他，

fY（z-x）=4-（z-x）8，0

0，其他，

因此，為使被積函數(shù)表示式非零，應(yīng)滿足不等式組：0

0

z-4

下面借助數(shù)軸討論x的取值范圍.區(qū)間（0，2）和區(qū)間（z-4，z）無非可能以下六種關(guān)系：

a.z≤0 b.0

d.無解 e.46

后面的求解步驟與方法1相同，且在數(shù)軸中的陰影區(qū)間即為非零概率密度的積分區(qū)間.

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，1983.