李 煒，王衛(wèi)英，劉福順，陳文文，彭春涪，盧洪超

（1.中國(guó)水電顧問(wèn)集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，浙江 杭州310014；2.青島理工大學(xué)工程質(zhì)量檢測(cè)鑒定中心，山東 青島266033；3.中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島266100）

常規(guī)海上風(fēng)電振動(dòng)監(jiān)測(cè)時(shí)，傳感器通常安裝在風(fēng)力發(fā)電機(jī)附近，并且就目前的安裝情況來(lái)看，數(shù)量非常少，少則1個(gè)，多則2～3個(gè)。雖然監(jiān)測(cè)信號(hào)在一定程度上能夠反映風(fēng)機(jī)的運(yùn)行情況，但對(duì)于海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)而言，因傳感器距離支撐結(jié)構(gòu)較遠(yuǎn)，并且支撐結(jié)構(gòu)基本位于水面以下，利用現(xiàn)有的傳感器數(shù)據(jù)無(wú)法得知支撐結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況，包括支撐結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息，尤其是模態(tài)振型。對(duì)于海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)而言，水下安裝傳感器的難度與成本可想而知。

Guyan［1］與Irons［2］最早提出了模型縮階方法。該方法將質(zhì)量、剛度矩陣分別對(duì)應(yīng)于主自由度、從自由度進(jìn)行分解，借助分解后的剛度矩陣計(jì)算并獲取傳遞矩陣以達(dá)到模型縮階的目的。雖然該方法是目前最簡(jiǎn)單的方法，但該方法在很大程度上依賴于主自由度的數(shù)量與類型。更重要的是該方法只能在低階動(dòng)力特性上具有較好的精度，而對(duì)于高階模態(tài)誤差較大。為此，許多學(xué)者試圖進(jìn)一步提高Guyan方法的精度。Kidder［3］、Miller［4］在一定程度上考慮了慣性力項(xiàng)的影響。Papadopoulos和Garcia［5］提出了2個(gè)策略以提高縮減模型的精度。但是，這些改進(jìn)只有在主自由度選取非常合適的時(shí)候才成立。O’Callahan亦在靜態(tài)縮階法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了改進(jìn)的縮階系統(tǒng)（Improved Reduced System）［6］。該方法實(shí)際上是通過(guò)加入假設(shè)的靜荷載作為慣性項(xiàng)，在由靜態(tài)縮階法得到的轉(zhuǎn)換矩陣中加入了1個(gè)修正項(xiàng)。系統(tǒng)等效縮階擴(kuò)展（SEREP）方法［7］，利用計(jì)算的特征向量構(gòu)造主自由度與從自由度之間的傳遞矩陣。同靜態(tài)縮階方法類似，特征向量也分解為與主自由度和從自由度相對(duì)應(yīng)的兩部分，當(dāng)主自由度數(shù)目大于振型階數(shù)時(shí)，SEREP的傳遞矩陣可應(yīng)用偽逆技術(shù)計(jì)算獲得。值得注意的是，SEREP是1種精確的模型縮階技術(shù)。也就是說(shuō)，在主自由度測(cè)試信息精確的前提下，可獲得結(jié)構(gòu)的所有自由度的振型信息。但是，如果實(shí)測(cè)模態(tài)與有限元模態(tài)的相關(guān)性欠佳，SEREP方法將無(wú)法應(yīng)用。罰函數(shù)法［8］借助權(quán)重變量作為實(shí)測(cè)模態(tài)的相對(duì)可信判別指標(biāo)，通過(guò)使模態(tài)應(yīng)變能最小實(shí)現(xiàn)模態(tài)擴(kuò)階。最近，Chen［9］提出了1種可以考慮有限元模型誤差并且允許實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)具有一定程度測(cè)試誤差的振型擴(kuò)階新方法。該方法利用了質(zhì)量歸一化條件將實(shí)測(cè)振型表述為各有限元振型的線性組合。

上述方法是通過(guò)求解傳遞矩陣實(shí)現(xiàn)模態(tài)振型擴(kuò)階或模型縮階的。Liu［10］提出了1種考慮模型誤差的振型直接擴(kuò)階方法。該方法通過(guò)一系列模型修正系數(shù)以考慮模型誤差，借助振型修正系數(shù)實(shí)現(xiàn)未測(cè)試自由度的估算。但文中算例未討論三維結(jié)構(gòu)的振型擴(kuò)階問(wèn)題。本文將引入一復(fù)合向量，通過(guò)對(duì)其未測(cè)試自由度的振型值進(jìn)行修正而實(shí)現(xiàn)模態(tài)振型的直接擴(kuò)階，無(wú)需求解傳遞矩陣。文中采用三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)驗(yàn)證提出方法的正確性以及在低階模態(tài)振型擴(kuò)階上的優(yōu)越性。

1 傳統(tǒng)方法

Guyan最早提出了模型縮階方法。該方法的推導(dǎo)過(guò)程起始于無(wú)阻尼體系的振動(dòng)方程，即

式中：f為施加于系統(tǒng)的外力矩陣；M、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度矩陣。

首先將體系的自由度分解為主自由度和從自由度，然后狀態(tài)向量x，外力矩陣f以及質(zhì)量矩陣M ，剛度矩陣K均分解為與主自由度和從自由度相對(duì)應(yīng)的形式，并且在從自由度上無(wú)外力，則式（1）可寫為

其中：下標(biāo)m與s分別表示主自由度和從自由度。忽略式（2）中慣性力項(xiàng)，可得以下2個(gè)方程

該方法因其原理相對(duì)簡(jiǎn)單，現(xiàn)已成為最常用的模型縮階方法之一。

Paz［15］對(duì)靜態(tài)縮階法進(jìn)行了改進(jìn)，引入了慣性項(xiàng)。他采用了迭代方法來(lái)節(jié)省結(jié)構(gòu)特征計(jì)算時(shí)花費(fèi)的機(jī)時(shí)。式（3）進(jìn)行了改進(jìn)，加入了初始設(shè)定的ω0的慣性項(xiàng)?？梢缘玫?/p>

式中

TD為動(dòng)力縮階法的轉(zhuǎn)換矩陣。注意到當(dāng)ω0為0時(shí)，這種方法與靜態(tài)縮階法是相同的。

SEREP方法利用計(jì)算的特征向量構(gòu)造主自由度與從自由度之間的傳遞矩陣。同靜態(tài)縮階方法類似，特征向量也分解為與主自由度和從自由度相對(duì)應(yīng)的兩部分Φm、Φs，并且SEREP的傳遞矩陣TS定義為

當(dāng)主自由度數(shù)目大于振型階數(shù)時(shí)，SEREP的傳遞矩陣TS可應(yīng)用偽逆技術(shù)計(jì)算獲得：

值得注意的是，SEREP是1種精確的模型縮階技術(shù)。也就是說(shuō)，在主自由度測(cè)試信息精確的前提下，可獲得結(jié)構(gòu)的所有自由度的振型信息。

2 模態(tài)振型的直接擴(kuò)階方法

對(duì)于第j階模態(tài)，定義一復(fù)合向量Φ′j，該向量由對(duì)應(yīng)于主自由度的實(shí)測(cè)數(shù)值及對(duì)應(yīng)于從自由度的待估算數(shù)值組成，即：

式中下標(biāo)m與s分別表示主自由度和從自由度。

假定第j階空間完備的真實(shí)振型Φ＊j是對(duì)復(fù)合向量Φ′j在從自由度上修正的結(jié)果：

式中：Φ′s，j為在第s個(gè)自由度上為非零值而其他自由度上均為零值的與Φ′j同維的向量，N為待修正項(xiàng)（從自由度）的個(gè)數(shù)，δs為對(duì)應(yīng)的修正系數(shù)。

將真實(shí)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度矩陣分別用K＊與M＊表示，則該結(jié)構(gòu)第j階特征值與特征向量的關(guān)系可表示為：

實(shí)際上，真實(shí)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K＊、M＊是未知的，并且該矩陣不同于借助有限元手段獲取的剛度矩陣K、M。故在提出的方法中，當(dāng)允許二者存在模型誤差時(shí)，研究本文方法的可行性，即

假如通過(guò)動(dòng)力測(cè)試可獲得實(shí)測(cè)模型的第j階特征值與特征向量分別為左乘方程（11）的兩邊，得

將式（10）、（12）及（13）代入上式，可得

其中

將式（15）整理后，得

其中

當(dāng)有Nj階實(shí)測(cè)模態(tài)，并且從有限元模型中取Ni階時(shí)，依據(jù)式（20）可構(gòu)造Nm＝Ni×Nj方程，記

式（20）可進(jìn)一步寫成矩陣的形式，即

理論上，如果G為非奇異的方陣，則式（25）可依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的求逆算法得到Δ，即

當(dāng)G非方陣時(shí)，即方程數(shù)量與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不等時(shí)，1個(gè)等效的算法就是偽逆技術(shù)（Pseudo－Inverse）。若矩陣G*的行數(shù)多于列數(shù)，則該問(wèn)題為超靜定問(wèn)題，偽逆算法關(guān)于超靜定問(wèn)題的定義為Gelb［16］。

3 三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)

為驗(yàn)證方法的有效性，建立三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)見(jiàn)如圖1。該模型共有25個(gè)單元組成，其中節(jié)點(diǎn)19以下均位于水中。所用材料的楊氏模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7 860kg／m3。

圖1 三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)Fig.1 Tripod jacket－type support structure for offshore wind turbine

因有限元建模必然與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間存在誤差，故而實(shí)際結(jié)構(gòu)假定單元7、單元14分別具有35%、55%的剛度降低，其他單元?jiǎng)偠染松暇禐榱?、方差?.15的服從高斯分布的剛度變化系數(shù)。有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的前10階頻率對(duì)比見(jiàn)表1。

表1 三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的前10階頻率Table 1 Comparison of the first ten frequencies between finite element model and actual structure ／Hz

首先，檢驗(yàn)所提出方法的正確性，即假定K＊已知，空間不完備情況考慮為所有節(jié)點(diǎn)只有平動(dòng)自由度可以測(cè)得，即從自由度數(shù)目為60。從有限元模型中取所有階次模態(tài)，圖2為實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)第10階振型真實(shí)值與應(yīng)用本文方法的估算值對(duì)比圖。從圖中可以看出，如果K＊已知，所發(fā)展方法可對(duì)海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)振型中未測(cè)試位置給出準(zhǔn)確的估算。

圖2 實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)剛度已知時(shí)第10階振型估算對(duì)比圖Fig.2 Comparison of the 10th order male shape whenstiffness of real structure is assumeci be known

當(dāng)然，對(duì)于實(shí)際海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)，其剛度矩陣K＊無(wú)法準(zhǔn)確得知。作為近似手段，取K＊＝K，采用與獲得圖2一致的計(jì)算條件可獲得當(dāng)K＊＝K時(shí)實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)第10階振型真實(shí)值與應(yīng)用本文方法的估算值對(duì)比圖，見(jiàn)圖3。圖3表明，當(dāng)忽略有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的剛度建模誤差時(shí)，本方法可以得到較高的振型擴(kuò)階精度。

圖3 當(dāng)K＊＝K時(shí)第10階振型估算對(duì)比圖Fig.3 Comparison of the 10th order mode shape when K＊ ＝K

實(shí)際安裝傳感器時(shí)，水深越深，安裝難度越大，成本越高，故而假定圖1中只有15～23節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)自由度可以測(cè)得，并且假定實(shí)際結(jié)構(gòu)剛度未知而近似取K＊＝K，得到應(yīng)用本文方法及Guyan方法獲得的前10階振型與實(shí)際結(jié)構(gòu)前10階振型MAC值（見(jiàn)表2）。計(jì)算結(jié)果表明，利用傳統(tǒng)的Guyan方法雖然在低階模態(tài)上具有較好的精度，但是該技術(shù)將損失高階模態(tài)的擴(kuò)階精度，如第8、9階模態(tài) MAC值僅為0.757 3、0.763 3，而本文的方法依然可以保持較好的精度。

表2 采用本文方法與Guyan方法分別獲得的前10階振型與實(shí)際結(jié)構(gòu)前10階振型MAC值Table 2 MAC values of the first ten mode shapes using the approach and Guyan method ／Hz

4 結(jié)語(yǔ)

合理有效的實(shí)測(cè)振型的空間不完備處理技術(shù)是模型修正與損傷檢測(cè)領(lǐng)域中的難題之一，尤其對(duì)于絕大部分支撐結(jié)構(gòu)位于水中的海上風(fēng)力發(fā)電結(jié)構(gòu)而言，用數(shù)量最少的傳感器放在最易于安裝的位置上以獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型具有更為重要的意義。本文的方法在一定程度上可以忽略有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)在剛度特性上的建模誤差，通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)直接估算未測(cè)試自由度的對(duì)應(yīng)振型值，整個(gè)過(guò)程無(wú)需迭代求解，計(jì)算效率較高。三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，在傳感器數(shù)量、位置受到限制時(shí)，僅在風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)的淺水部分節(jié)點(diǎn)處布置少數(shù)傳感器即可比較精確的獲得其空間完備模態(tài)振型，具有良好的工程應(yīng)用前景。

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