劉大瑾

[摘 要]高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育中的一門最具有決定性作用和最基礎(chǔ)的學(xué)科，其對(duì)應(yīng)用型工科學(xué)生影響之大，是其他課程所無法相比的。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，多列舉一些實(shí)際應(yīng)用的范例，優(yōu)化組合教材內(nèi)容，不斷改進(jìn)教學(xué)方法是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

[關(guān)鍵詞]應(yīng)用型 重要性 興趣 內(nèi)容 教學(xué)方法

[中圖分類號(hào)] O13 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2014）15-0087-02

從某種意義上來說，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史就是人類數(shù)學(xué)思維的進(jìn)化史，應(yīng)用型本科院校教育的努力方向是培養(yǎng)“寬基礎(chǔ)、重實(shí)踐、強(qiáng)能力、高素質(zhì)” 的復(fù)合應(yīng)用型專門人才。高等數(shù)學(xué)作為應(yīng)用型本科院校理工科學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)課，無論是教學(xué)內(nèi)容還是教學(xué)方法都需要進(jìn)行相應(yīng)的改革，以更好地適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型人才的需要。

一、高等數(shù)學(xué)的重要性

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育中的一門最具有決定性作用和最基礎(chǔ)的學(xué)科，其對(duì)應(yīng)用型工科學(xué)生影響之大，是其他課程所無法相比的。高等數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的重要工具，在教學(xué)中要有效地使學(xué)生掌握和運(yùn)用好這個(gè)工具，為其將來的學(xué)習(xí)與工作打好基礎(chǔ)，但是不能對(duì)“工具性”的理解過窄，把高等數(shù)學(xué)看成只為專業(yè)課程服務(wù)的工具。

高等數(shù)學(xué)研究的是各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結(jié)構(gòu)，運(yùn)用的主要是邏輯、思辨和推演等理性思維方法；它是源于實(shí)際，又指導(dǎo)實(shí)際的一種思維創(chuàng)造。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，一方面能增長(zhǎng)學(xué)生的知識(shí)水平；另一方面能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)理性思維的培養(yǎng)，這是其他學(xué)科難以替代的；應(yīng)用型層次的大學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不十分扎實(shí)，他們更需要感受數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的邏輯以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)密，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)用型層次的大學(xué)生全面素質(zhì)的提高，分析能力的加強(qiáng)，創(chuàng)新意識(shí)的啟迪同樣是至關(guān)重要的。

二、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

高等數(shù)學(xué)所研究的問題，無論是在對(duì)象上還是在方法上都比初等數(shù)學(xué)有了質(zhì)的飛躍。學(xué)生從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)最不能適應(yīng)的就是高等數(shù)學(xué)的思想，這是因?yàn)樗麄冮L(zhǎng)期以來受到初等數(shù)學(xué)思想的束縛；在高三整個(gè)一年中，他們都是不斷復(fù)習(xí)同樣的問題，高中的學(xué)習(xí)方法在他們的頭腦中留下了極深刻的痕跡，遇到新問題，常常是條件反射似的用中學(xué)里的方法去解決；進(jìn)入大學(xué)后，每一次高等數(shù)學(xué)課都會(huì)出現(xiàn)新概念、新問題，特別是一開始就遇到極限的“ε-δ”定義，這讓學(xué)生很不適應(yīng)，上了幾次課下來就積累了許多問題（而不像中學(xué)階段那樣，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)要重復(fù)講多次），時(shí)間一長(zhǎng)，就會(huì)失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這種現(xiàn)象在應(yīng)用型工科院校的學(xué)生中尤其明顯。

面對(duì)應(yīng)用型工科院校的學(xué)生，在教學(xué)過程中盡量用通俗的語言講清數(shù)學(xué)思想之真諦，盡量避免那種“定義—定理—證明—例題—應(yīng)用”的枯燥無味的模式和過多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。每個(gè)新概念都盡可能由實(shí)際問題引出，注意對(duì)基本概念、基本理論和重要公式的產(chǎn)生背景、幾何背景和應(yīng)用背景的介紹，努力改變高等數(shù)學(xué)教學(xué)中過分重視運(yùn)算技巧而輕視邏輯思維的傾向，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，多列舉一些實(shí)際應(yīng)用的范例，特別是增加一些來自專業(yè)實(shí)際問題如工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等方面的問題的解決方法介紹，以有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。[1]這樣，既使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的用途，提高學(xué)習(xí)興趣，又使學(xué)生接受知識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

由于數(shù)學(xué)思維及其發(fā)展以互相結(jié)合成有機(jī)整體的方式出現(xiàn)在今天的著作和教科書里邊，數(shù)學(xué)的教育就有必要介紹數(shù)學(xué)思維及其動(dòng)機(jī)的來龍去脈，以突出數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的歷史背景，讓學(xué)生深切理解前人如此思考的原因和內(nèi)在的目的。假如一個(gè)數(shù)學(xué)教師僅僅是準(zhǔn)確無誤、清晰明了地講授整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，而對(duì)思維的發(fā)展和動(dòng)機(jī)不予理睬的話，那么就可能造成一個(gè)后果，即只有少數(shù)真正有興趣并有志于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生能跟上他的教學(xué)步伐，其余的就可能因?yàn)樽枇χ刂囟艞墧?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并產(chǎn)生厭學(xué)情緒。這樣的方式，顯然不適合高等數(shù)學(xué)類的公共基礎(chǔ)課教學(xué)。將數(shù)學(xué)史和自然辯證法融入教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的趣味性，也深深地理解了數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的相互關(guān)系，明白了數(shù)學(xué)的重要性。比如，在講“數(shù)列極限”時(shí)，筆者介紹了裴波那契數(shù)列以及0.618的來歷；在講“微積分基本公式”時(shí)，引用了恩格斯的形象語言“一杯水中的水分子，一層一層地蒸發(fā)出去，是一個(gè)連續(xù)不斷的微分，而水蒸氣在壓力和溫度的影響下又在杯中凝成水，一層一層地積累起來，直到杯滿為止，就是一個(gè)真正意義下的積分”，讓學(xué)生領(lǐng)悟微分與積分之間的辯證關(guān)系。

三、優(yōu)化組合教學(xué)內(nèi)容

我校使用的是同濟(jì)五版高等數(shù)學(xué)教材，這是我國(guó)高校中使用量最大的一部經(jīng)典教材，教材有比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)系統(tǒng)，從最抽象、最難掌握的極限“ε-δ”定義講起，然后連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、不定積分……講下去，這部教材很符合學(xué)科內(nèi)容和邏輯順序，很有條理，知識(shí)系統(tǒng)也比較嚴(yán)謹(jǐn)，但是不符合人們的認(rèn)知規(guī)律。[2]人們認(rèn)識(shí)事物，總是從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象、從抽象度低的到抽象度高的，因此在微積分的發(fā)展史上極限概念也是發(fā)展得最晚的，在牛頓-萊布尼茲使微積分成形后大約兩百年，極限概念才得以嚴(yán)密地建立起來，可見極限的抽象度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于求變化率（導(dǎo)數(shù)）及求和（定積分）的抽象度。[3]為此，我們對(duì)教學(xué)內(nèi)容的次序進(jìn)行了調(diào)整。

在教學(xué)中對(duì)極限概念的闡述，遵循由具體到一般，由直觀到抽象，由淺入深，循序漸進(jìn)的教學(xué)原則進(jìn)行，先講極限的描述性定義和極限的計(jì)算，在講完函數(shù)的連續(xù)性后對(duì)函數(shù)極限概念逐步嚴(yán)謹(jǐn)化，再用“ε-δ”語言來定義函數(shù)的極限，這樣做使學(xué)生更易于掌握。

在“一元函數(shù)積分學(xué)”部分，我們并未按教材的順序先講不定積分再講定積分，而是由不規(guī)則圖形的面積先引出定積分的概念，再介紹定積分的計(jì)算法，由原函數(shù)概念給出牛頓-萊布尼茲公式后，作為定積分的需要而介紹不定積分，最后再回到定積分的應(yīng)用，這樣做對(duì)積分換元法和分部積分法不必在不定積分和定積分兩處作重復(fù)的討論，使內(nèi)容緊湊。在教學(xué)實(shí)踐中我們認(rèn)識(shí)到只有優(yōu)化組合教材內(nèi)容，才能獲得好的教學(xué)效果。

四、改進(jìn)教學(xué)方法

高等數(shù)學(xué)是一門理論基礎(chǔ)課，課堂講授是主要的教學(xué)環(huán)節(jié)，且都是百人以上的大班上課，教學(xué)的質(zhì)量和效果取決于授課教師的教學(xué)和學(xué)術(shù)水平以及表述能力。

教學(xué)是一個(gè)教師與學(xué)生共同學(xué)習(xí)與研究的過程，教師應(yīng)根據(jù)不同層次的教育對(duì)象采取不同的教學(xué)方法。筆者在備課時(shí)吃透教材，找出主要方法與學(xué)生思維活動(dòng)相連接的結(jié)合點(diǎn)，找出學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在課堂教學(xué)中實(shí)施精講與多練相結(jié)合的方法，避免照本宣科、平鋪平敘、面面俱到的教學(xué)模式，做到直觀、應(yīng)用、靈活，達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)自覺學(xué)習(xí)的目的。[4]

對(duì)直觀、簡(jiǎn)單的結(jié)果可以不證，讓學(xué)生課后自己證明，若堅(jiān)持樣樣證明，就顯得枯燥，不管什么問題和應(yīng)用聯(lián)系上才顯示出意義。靈活的教學(xué)能使課堂生動(dòng)起來，如介紹函數(shù)定義時(shí)可這樣處理：函數(shù)是一種運(yùn)算，它對(duì)于一個(gè)已給的數(shù)-“輸入”數(shù)x，確定了一個(gè)唯一的“輸出”數(shù)y，使得這種運(yùn)算可以進(jìn)行的全體“輸入”數(shù)構(gòu)成了它的定義域。對(duì)于多元函數(shù)也可采取上述定義，這個(gè)定義既簡(jiǎn)單又易接受，同時(shí)也滲透著近代的科學(xué)思想。

對(duì)應(yīng)用型工科院校的學(xué)生來說，有些復(fù)雜的證明可以通過對(duì)較低階或較簡(jiǎn)單的特殊情況進(jìn)行證明，然后用類似的思想方法對(duì)高階或較復(fù)雜情況進(jìn)行相應(yīng)的推廣。例如在“泰勒公式”一節(jié)，教師可叫學(xué)生先復(fù)習(xí)拉格朗日中值定理（零階泰勒公式），然后利用羅爾定理導(dǎo)出帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式，最后說明用類似的方法可得出帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒展開式。這樣不僅避免了對(duì)n階泰勒公式的繁瑣的證明，而且學(xué)生對(duì)證明的思想方法又有所了解。

對(duì)定積分、重積分等概念的引入，在利用幾何圖形以求極限的方式給出平面圖形的面積或空間圖形的體積后，抽掉f（x）≥0或f（x，y） ≥0的限制，就直接作為定積分或重積分的定義，省去了另作定義時(shí)的重復(fù)性敘述。另外在討論重積分時(shí)，將重積分在直角坐標(biāo)系下化為累次積分后，立即介紹一般性的變量代換法，然后將極坐標(biāo)下的計(jì)算方法作為其特例給出。

重視幾何直觀形象，為了讓學(xué)生理解概念，我們?cè)谥v解一個(gè)新概念前，要多從幾何或?qū)嶋H問題直觀入手，逐步上升到抽象描述和推理證明，以達(dá)到激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和使教學(xué)過程循序漸進(jìn)的目的。另外，學(xué)生學(xué)習(xí)和了解數(shù)學(xué)的過程不單純是一個(gè)認(rèn)識(shí)過程，這里也有意志的錘煉、情感的陶冶等非智力品德的培養(yǎng)。因此我們應(yīng)通過具體教學(xué)內(nèi)容的傳授，對(duì)學(xué)生言傳身教，引導(dǎo)他們?nèi)シ治龊吞岢鰡栴}，平等地與學(xué)生討論問題，細(xì)心地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的點(diǎn)滴創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 蘇洪雨，江雪萍.高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)的實(shí)踐與探究[J].高等理科教育，2009.

[2] 錢方明.改進(jìn)案例教學(xué)，提高案例教學(xué)質(zhì)量[J].嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)，2002.

[3] 王佳秋，孫秀娟，杜廣環(huán).案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2011.

[4] 張娟，陳冬，尚學(xué)海等.應(yīng)用型大學(xué)提高高等數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的幾點(diǎn)思考[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008.

[責(zé)任編輯：覃侶冰]