唐 強(qiáng)，胡鐵松

(1.武漢紡織大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北武漢430200;2.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430072)

自20世紀(jì)70年代Mandelbrot提出分形理論以來，分形理論在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)，包括水文水資源領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［1－3］.日徑流序列的變化特征是水文分析的研究重點(diǎn)之一，許多學(xué)者將分形理論應(yīng)用于其中.侯玉等用分形理論對(duì)洪峰散點(diǎn)序列進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)洪峰散點(diǎn)序列在一定尺度范圍內(nèi)表現(xiàn)出了自相似性，初步證明洪峰散點(diǎn)序列是一種分形［4］.劉德平用盒子數(shù)法計(jì)算了日流量過程線的分形維數(shù)，并討論了分維與形狀因子的關(guān)系［5］.丁晶和劉國(guó)東用盒子數(shù)法計(jì)算了汛期日流量過程線的分形維數(shù)［6］.李賢彬用小波分析法計(jì)算了汛期日流量過程的分形維數(shù)［7］.但是對(duì)于徑流這樣的復(fù)雜系統(tǒng)，僅用單一分形維數(shù)來加以描述是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，不能反映徑流序列變化的精細(xì)結(jié)構(gòu).常福宣分析了金沙江屏山站和岷江紫坪鋪站日徑流過程的分形特性，結(jié)果表明，單一的分形維數(shù)不能完全描述日流量在時(shí)間上的分布特性，必須應(yīng)用多重分形法來研究徑流過程特征［8］.本文詳細(xì)討論了長(zhǎng)江宜昌站1950年至1999年日徑流序列的多重分形性質(zhì)，結(jié)果表明，不論是長(zhǎng)期(50年)還是短期(1年)，長(zhǎng)江日徑流序列均具有多重分形性質(zhì)，這將為多重分形在日徑流非線性性質(zhì)方面的研究提供重要的理論基礎(chǔ).

1 多重分形理論

多重分形是定義在分形結(jié)構(gòu)上的由有限幾種或大量具有不同奇異標(biāo)度指數(shù)α的概率子集構(gòu)成的非均勻分布的奇異集合［9］.多重分形通過奇異譜函數(shù)f(α)來定量刻畫分形體由不同局部條件、或在演化過程中不同層次所導(dǎo)致的概率Pi在整個(gè)集合上的分布狀況，是對(duì)分形結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度、不規(guī)則程度以及不均勻程度的度量［10－13］.

設(shè)要研究的日徑流序列為{X(t):t∈［0，T］}.首先用尺度ε將時(shí)間區(qū)間［0，T］分割成一些不相交的子區(qū)間.令Pi(ε)是時(shí)間標(biāo)度為ε時(shí)第i個(gè)區(qū)間徑流量之和的歸一化流量(概率測(cè)度)，即:

其中Ii是時(shí)間標(biāo)度為ε的第i個(gè)區(qū)間的徑流量之和，∑iPi(ε)=1.定義配分函數(shù)χq(ε)為Pi(ε)的q階矩:

這里q為權(quán)重因子，χq(ε)反映了Pi(ε)的不均勻性.當(dāng)q?1時(shí)，大的Pi(ε)對(duì)χq(ε)的貢獻(xiàn)占優(yōu)勢(shì);當(dāng)q? －1時(shí)，小的Pi(ε)對(duì)χq(ε)的貢獻(xiàn)占優(yōu)勢(shì)，因此χq(ε)給出了Pi(ε)的另一種分布形式.對(duì)于滿足多重分形特征的時(shí)間序列而言，配分函數(shù)χq(ε)和ε有如下的冪函數(shù)關(guān)系成立，即:

其中τ(q)為質(zhì)量指數(shù)，定義如下:

實(shí)際計(jì)算中可通過lnχq(ε)～lnε雙對(duì)數(shù)曲線中無標(biāo)度區(qū)(即線性區(qū)間)的點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合來估算.如果時(shí)間序列具有多重分形性質(zhì)，τ(q)應(yīng)為q的非線性函數(shù);如果時(shí)間序列只有單分形性質(zhì)，則τ(q)是q的線性函數(shù).進(jìn)一步，由τ(q)可定義廣義分形維數(shù)Dq:

質(zhì)量指數(shù)τ(q)和廣義分形維數(shù)Dq構(gòu)成了描述多重分形的一套重要的參量.除此之外，若時(shí)間序列滿足多重分形特征，則:

其中α稱為奇異性指數(shù)，是反映各小區(qū)間奇異程度的度量.如果對(duì)所有的小區(qū)間，α取值相同，則時(shí)間序列為單分形;否則為多重分形.記具有相同α值的區(qū)域數(shù)為Nα(ε)，則對(duì)于多重分形，有:

其中f(α)表示具有相同α值的子集的分形維數(shù).一個(gè)復(fù)雜的分形體的內(nèi)部可以分為一系列不同α值所表示的子集，這樣f(α)就給出了這一系列子集的分形特征，稱函數(shù)f(α)為多重分形譜或奇異譜，通常為光滑的單峰函數(shù).f(α)給出了比簡(jiǎn)單分維更豐富的結(jié)構(gòu)信息.例如大的α反映的是小概率測(cè)度區(qū)間的性質(zhì);小的α則反映的是大概率測(cè)度區(qū)間的性質(zhì);多重分形譜的寬度△α=αmax－αmin的大小反映了整個(gè)分形結(jié)構(gòu)上概率測(cè)度分布的不均勻程度.因此f(α)是對(duì)分形結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜程度、不規(guī)則程度以及不均勻程度的一種度量.α和f(α)構(gòu)成了另一套描述多重分形的重要的參量，它們和τ(q)之間滿足如下關(guān)系:

2 長(zhǎng)江屏山站日徑流序列的多重分形研究

本文討論的數(shù)據(jù)為長(zhǎng)江宜昌站1950年至1999年的日徑流時(shí)間序列.對(duì)于這50年共18359個(gè)數(shù)據(jù)，首先計(jì)算其配分函數(shù)χq(ε)和質(zhì)量指數(shù)τ(q).理論上q的取值范圍為(－∞，+∞)，但在實(shí)際計(jì)算中q值不可能是無限大.經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)|q|從60增加到70時(shí)，Dq的變化很小，因此本文|q|的最大值取60.圖1是在q取不同值時(shí)的lnχq(ε)～lnε曲線簇，從圖1中可看出q取不同值時(shí)，lnχq(ε)～lnε均有良好的線性關(guān)系(如q=60時(shí)，相關(guān)系數(shù)為0.9958)，表現(xiàn)出很好的標(biāo)度不變性.對(duì)lnχq(ε)～lnε雙對(duì)數(shù)曲線中的點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合即可求得質(zhì)量指數(shù)τ(q).從圖2可看出，τ(q)是一個(gè)凹向橫軸的非線性函數(shù)，表明該日徑流時(shí)間序列具有多重分形性質(zhì).

得到τ(q)之后，由式(5)、(8)、(9)即可求得廣義分形維數(shù)Dq、奇異性指數(shù)α和多重分形譜f(α).從圖3、4可看出，隨著q的增加，Dq逐漸減小，最后穩(wěn)定在0.7486左右.對(duì)于不同的q值，Dq是不一樣的，說明該日徑流時(shí)間序列具有明顯的多重分形性質(zhì).盒維數(shù)D0、信息維數(shù)D1和關(guān)聯(lián)維數(shù)D2均不相等，滿足D0＞D1＞＞D2.f(α)曲線是一條單峰曲線，呈右鉤狀，最大值 fmax=0.999 6 即為盒維數(shù) D0，其相關(guān)參數(shù) αmin，αmax，△α=αmax－αmin，f(αmin)，f(αmax)，△f=f(αmin)－f(αmax)，見表1.由f(α)的定義，f(αmin)表征了概率測(cè)度最大子集的數(shù)目，而f(αmax)表征了概率測(cè)度最小子集的數(shù)目，故△f＜0意味著最小概率子集占據(jù)主導(dǎo)地位，即在該日徑流時(shí)間序列中更多時(shí)間徑流量較低.

圖1 日徑流時(shí)間序列的lnχq(ε)～lnε曲線簇Fig.1 χq(ε)versus ε in logarithm(base 2)of the daily runoff series

圖2 日徑流時(shí)間序列的τ(q)曲線Fig.2 The τ(q)curve of the daily runoff series

圖3 日徑流時(shí)間序列的Dq曲線Fig.3 The Dqcurve of the daily runoff series

圖4 日徑流時(shí)間序列的f(α)曲線Fig.4 The f(α)curve of the daily runoff series

進(jìn)一步還討論了每一年日徑流序列的多重分形性質(zhì).類似于上述做法，求出了每一年日徑流序列的質(zhì)量指數(shù)τ(q)、廣義分形維數(shù)Dq、奇異性指數(shù)α、多重分形譜f(α).從 τ(q)、Dq和 f(α)可看出，每一年日徑流序列均有明顯的多重分形性質(zhì)(篇幅所限，只給出了1975年、1980年和1989年的τ(q)、Dq和f(α)曲線圖以及多重分形譜的相關(guān)參數(shù)，見圖5、圖6、圖7和表2).因?yàn)椤鳓恋拇笮》从沉苏麄€(gè)分形結(jié)構(gòu)上概率測(cè)度分布的不均勻程度，而1975年日徑流序列的△α=0.6195最大，1989年的△α=0.2951最小，說明1975年日徑流量漲落幅度最大，1989年日徑流量漲落幅度最小.50年中僅有11年的△f＞0，其他年份的△f＜0，說明大多數(shù)年份日徑流時(shí)間序列中更多時(shí)間徑流量較低.

表1 圖4中多重分形譜的主要參數(shù)Tab.1 Main multifractal parameters of fig 4

圖5 三年日徑流時(shí)間序列的τ(q)曲線Fig.5 The τ(q)curve of 1975，1980 and 1989 annual series

圖6 三年日徑流時(shí)間序列的Dq曲線Fig.6 The Dqcurve of 1975，1980 and 1989 annual series

圖7 三年日徑流時(shí)間序列的f(α)曲線Fig.7 The f(α)curve of 1975，1980 and 1989 annual series

3 結(jié)語(yǔ)

本文分析了長(zhǎng)江宜昌站1950年至1999年長(zhǎng)期(50年)日徑流時(shí)間序列和短期(每年)日徑流時(shí)間序列的多重分形性質(zhì).結(jié)果表明，50年日徑流時(shí)間序列和每年日徑流時(shí)間序列均具有明顯的多重分形特性，大多數(shù)年份日徑流時(shí)間序列中更多時(shí)間徑流量較低.多重分形可以揭示日徑流時(shí)間序列的分形測(cè)度的非均勻特征，為研究長(zhǎng)江日徑流的變化特征提供了更多的信息，對(duì)于研究長(zhǎng)江日徑流的非線性性質(zhì)提供了重要的理論基礎(chǔ).

表2 三年日徑流時(shí)間序列多重分形譜的主要參數(shù)Tab.2 Main multifractal parameters of 1975，1980 and 1989 annual series

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