楊仕良

摘 要： 高中數(shù)學(xué)的許多問題都可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決.高考十分注重對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數(shù)學(xué)考試的重點之一.通過對高考復(fù)習轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用進行分析，可以進一步提高學(xué)生對轉(zhuǎn)化與化歸思想重要性的認識，提高應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決各種數(shù)學(xué)問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習中的應(yīng)用.

關(guān)鍵字： 轉(zhuǎn)化與化歸 高考復(fù)習 立體幾何

在解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉(zhuǎn)化與化歸思想.在轉(zhuǎn)化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的.在高考復(fù)習過程中，轉(zhuǎn)化與化歸是一個重要的考點，因此，對轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用的復(fù)習是一個十分重要的內(nèi)容.本文以立體幾何為例，分析高考復(fù)習中轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用問題.

一、高考復(fù)習中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的指導(dǎo)原則

高考對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數(shù)學(xué)問題和知識.首先，數(shù)形轉(zhuǎn)化問題，例如函數(shù)單調(diào)性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉(zhuǎn)化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化問題，例如向量和解析幾何等的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與立體幾何的轉(zhuǎn)化等.另外，還包括將各種實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的情況.其中在立體幾何中轉(zhuǎn)化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復(fù)習立體幾何中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想時，應(yīng)遵循以下指導(dǎo)原則，提高復(fù)習的實效性.

1.以學(xué)生為主體

在以往的高考數(shù)學(xué)復(fù)習過程中，教師往往處于整個復(fù)習的主導(dǎo)地位，統(tǒng)領(lǐng)一切.學(xué)生只能機械地跟隨教師的安排展開復(fù)習，處于被動狀態(tài).但是，高考對數(shù)學(xué)教育的要求使得高考數(shù)學(xué)復(fù)習過程中要注意以人為本，保證學(xué)生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復(fù)習過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變自身角色，扮演好引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生自主復(fù)習.并積極采取有效措施，調(diào)動學(xué)生的復(fù)習積極性，增強復(fù)習效果.

2.以大綱為指導(dǎo)

在復(fù)習過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導(dǎo).教師要注意帶領(lǐng)學(xué)生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內(nèi)容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區(qū)別，做到對考試內(nèi)容和考點心中有數(shù).同時，教師還要注意做好歸納總結(jié)工作，將考試大綱對不同數(shù)學(xué)知識的要求進行總結(jié)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起圍繞考綱展開復(fù)習.

3.注重能力培養(yǎng)

高考十分注重對學(xué)生能力的考查，培養(yǎng)學(xué)生能力是高考教學(xué)復(fù)習的主要目的之一.因此，在復(fù)習過程中，要注意使學(xué)生獲得各種利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣，為進一步學(xué)習打好應(yīng)用基礎(chǔ).

二、高考復(fù)習立體幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

在解決各種高中立體幾何問題時，可以利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將抽象的空間問題進行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榫唧w的實數(shù)運算.從而降低運算難度，簡化運算過程，提高解題效率.在具體應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題時，首先要考慮需要用什么向量知識進行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據(jù)題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉(zhuǎn)化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉(zhuǎn)化，則要考慮選擇用哪個未知向量進行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對其進行具體運算，以得到需要的結(jié)果和結(jié)論.

1.利用向量知識論證立體幾何中的線面關(guān)系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據(jù)向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關(guān)知識，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項D為正確答案.

2.運用向量的坐標運算建立空間直角坐標系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點.

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時，我們可以利用向量知識，建立空間直角坐標系O-xyz，找到點的具體坐標，并得出向量的坐標.在建立坐標系之后，要能夠準確找到點的具體坐標.我們可以先在底面坐標面xOy內(nèi)找到點A、B、C的具體坐標，并利用向量的模和具體的方向，將其他點的具體坐標找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點C為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意可得：點B、N的坐標分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點A，C，B的坐標：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養(yǎng)學(xué)生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識，實現(xiàn)線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數(shù)量積為零，證明兩條直線的垂直關(guān)系.

解答：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設(shè)、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當|a|=|c|時，AC⊥DC.

同理可得，當|a|=|c|時，AC⊥BD，

∴當=1時，AC⊥面CBD.

三、結(jié)語

作為一種重要的高中數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考復(fù)習的重點內(nèi)容.深入領(lǐng)會轉(zhuǎn)化與化歸思想，并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用方法等，對提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習效率和質(zhì)量是大有裨益的.在高考復(fù)習中，教師應(yīng)幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，最大限度地提高高考復(fù)習效率.

參考文獻：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉(zhuǎn)化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉(zhuǎn)化與化歸在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint

摘 要： 高中數(shù)學(xué)的許多問題都可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決.高考十分注重對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數(shù)學(xué)考試的重點之一.通過對高考復(fù)習轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用進行分析，可以進一步提高學(xué)生對轉(zhuǎn)化與化歸思想重要性的認識，提高應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決各種數(shù)學(xué)問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習中的應(yīng)用.

關(guān)鍵字： 轉(zhuǎn)化與化歸 高考復(fù)習 立體幾何

在解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉(zhuǎn)化與化歸思想.在轉(zhuǎn)化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的.在高考復(fù)習過程中，轉(zhuǎn)化與化歸是一個重要的考點，因此，對轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用的復(fù)習是一個十分重要的內(nèi)容.本文以立體幾何為例，分析高考復(fù)習中轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用問題.

一、高考復(fù)習中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的指導(dǎo)原則

高考對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數(shù)學(xué)問題和知識.首先，數(shù)形轉(zhuǎn)化問題，例如函數(shù)單調(diào)性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉(zhuǎn)化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化問題，例如向量和解析幾何等的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與立體幾何的轉(zhuǎn)化等.另外，還包括將各種實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的情況.其中在立體幾何中轉(zhuǎn)化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復(fù)習立體幾何中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想時，應(yīng)遵循以下指導(dǎo)原則，提高復(fù)習的實效性.

1.以學(xué)生為主體

在以往的高考數(shù)學(xué)復(fù)習過程中，教師往往處于整個復(fù)習的主導(dǎo)地位，統(tǒng)領(lǐng)一切.學(xué)生只能機械地跟隨教師的安排展開復(fù)習，處于被動狀態(tài).但是，高考對數(shù)學(xué)教育的要求使得高考數(shù)學(xué)復(fù)習過程中要注意以人為本，保證學(xué)生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復(fù)習過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變自身角色，扮演好引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生自主復(fù)習.并積極采取有效措施，調(diào)動學(xué)生的復(fù)習積極性，增強復(fù)習效果.

2.以大綱為指導(dǎo)

在復(fù)習過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導(dǎo).教師要注意帶領(lǐng)學(xué)生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內(nèi)容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區(qū)別，做到對考試內(nèi)容和考點心中有數(shù).同時，教師還要注意做好歸納總結(jié)工作，將考試大綱對不同數(shù)學(xué)知識的要求進行總結(jié)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起圍繞考綱展開復(fù)習.

3.注重能力培養(yǎng)

高考十分注重對學(xué)生能力的考查，培養(yǎng)學(xué)生能力是高考教學(xué)復(fù)習的主要目的之一.因此，在復(fù)習過程中，要注意使學(xué)生獲得各種利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣，為進一步學(xué)習打好應(yīng)用基礎(chǔ).

二、高考復(fù)習立體幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

在解決各種高中立體幾何問題時，可以利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將抽象的空間問題進行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榫唧w的實數(shù)運算.從而降低運算難度，簡化運算過程，提高解題效率.在具體應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題時，首先要考慮需要用什么向量知識進行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據(jù)題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉(zhuǎn)化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉(zhuǎn)化，則要考慮選擇用哪個未知向量進行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對其進行具體運算，以得到需要的結(jié)果和結(jié)論.

1.利用向量知識論證立體幾何中的線面關(guān)系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據(jù)向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關(guān)知識，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項D為正確答案.

2.運用向量的坐標運算建立空間直角坐標系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點.

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時，我們可以利用向量知識，建立空間直角坐標系O-xyz，找到點的具體坐標，并得出向量的坐標.在建立坐標系之后，要能夠準確找到點的具體坐標.我們可以先在底面坐標面xOy內(nèi)找到點A、B、C的具體坐標，并利用向量的模和具體的方向，將其他點的具體坐標找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點C為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意可得：點B、N的坐標分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點A，C，B的坐標：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養(yǎng)學(xué)生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識，實現(xiàn)線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數(shù)量積為零，證明兩條直線的垂直關(guān)系.

解答：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設(shè)、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當|a|=|c|時，AC⊥DC.

同理可得，當|a|=|c|時，AC⊥BD，

∴當=1時，AC⊥面CBD.

三、結(jié)語

作為一種重要的高中數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考復(fù)習的重點內(nèi)容.深入領(lǐng)會轉(zhuǎn)化與化歸思想，并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用方法等，對提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習效率和質(zhì)量是大有裨益的.在高考復(fù)習中，教師應(yīng)幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，最大限度地提高高考復(fù)習效率.

參考文獻：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉(zhuǎn)化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉(zhuǎn)化與化歸在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint

摘 要： 高中數(shù)學(xué)的許多問題都可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決.高考十分注重對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數(shù)學(xué)考試的重點之一.通過對高考復(fù)習轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用進行分析，可以進一步提高學(xué)生對轉(zhuǎn)化與化歸思想重要性的認識，提高應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決各種數(shù)學(xué)問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習中的應(yīng)用.

關(guān)鍵字： 轉(zhuǎn)化與化歸 高考復(fù)習 立體幾何

在解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉(zhuǎn)化與化歸思想.在轉(zhuǎn)化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的.在高考復(fù)習過程中，轉(zhuǎn)化與化歸是一個重要的考點，因此，對轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用的復(fù)習是一個十分重要的內(nèi)容.本文以立體幾何為例，分析高考復(fù)習中轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用問題.

一、高考復(fù)習中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的指導(dǎo)原則

高考對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數(shù)學(xué)問題和知識.首先，數(shù)形轉(zhuǎn)化問題，例如函數(shù)單調(diào)性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉(zhuǎn)化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化問題，例如向量和解析幾何等的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與立體幾何的轉(zhuǎn)化等.另外，還包括將各種實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的情況.其中在立體幾何中轉(zhuǎn)化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復(fù)習立體幾何中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想時，應(yīng)遵循以下指導(dǎo)原則，提高復(fù)習的實效性.

1.以學(xué)生為主體

在以往的高考數(shù)學(xué)復(fù)習過程中，教師往往處于整個復(fù)習的主導(dǎo)地位，統(tǒng)領(lǐng)一切.學(xué)生只能機械地跟隨教師的安排展開復(fù)習，處于被動狀態(tài).但是，高考對數(shù)學(xué)教育的要求使得高考數(shù)學(xué)復(fù)習過程中要注意以人為本，保證學(xué)生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復(fù)習過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變自身角色，扮演好引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生自主復(fù)習.并積極采取有效措施，調(diào)動學(xué)生的復(fù)習積極性，增強復(fù)習效果.

2.以大綱為指導(dǎo)

在復(fù)習過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導(dǎo).教師要注意帶領(lǐng)學(xué)生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內(nèi)容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區(qū)別，做到對考試內(nèi)容和考點心中有數(shù).同時，教師還要注意做好歸納總結(jié)工作，將考試大綱對不同數(shù)學(xué)知識的要求進行總結(jié)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起圍繞考綱展開復(fù)習.

3.注重能力培養(yǎng)

高考十分注重對學(xué)生能力的考查，培養(yǎng)學(xué)生能力是高考教學(xué)復(fù)習的主要目的之一.因此，在復(fù)習過程中，要注意使學(xué)生獲得各種利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣，為進一步學(xué)習打好應(yīng)用基礎(chǔ).

二、高考復(fù)習立體幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

在解決各種高中立體幾何問題時，可以利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將抽象的空間問題進行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榫唧w的實數(shù)運算.從而降低運算難度，簡化運算過程，提高解題效率.在具體應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題時，首先要考慮需要用什么向量知識進行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據(jù)題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉(zhuǎn)化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉(zhuǎn)化，則要考慮選擇用哪個未知向量進行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對其進行具體運算，以得到需要的結(jié)果和結(jié)論.

1.利用向量知識論證立體幾何中的線面關(guān)系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據(jù)向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關(guān)知識，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項D為正確答案.

2.運用向量的坐標運算建立空間直角坐標系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點.

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時，我們可以利用向量知識，建立空間直角坐標系O-xyz，找到點的具體坐標，并得出向量的坐標.在建立坐標系之后，要能夠準確找到點的具體坐標.我們可以先在底面坐標面xOy內(nèi)找到點A、B、C的具體坐標，并利用向量的模和具體的方向，將其他點的具體坐標找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點C為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意可得：點B、N的坐標分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點A，C，B的坐標：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養(yǎng)學(xué)生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識，實現(xiàn)線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數(shù)量積為零，證明兩條直線的垂直關(guān)系.

解答：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設(shè)、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當|a|=|c|時，AC⊥DC.

同理可得，當|a|=|c|時，AC⊥BD，

∴當=1時，AC⊥面CBD.

三、結(jié)語

作為一種重要的高中數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考復(fù)習的重點內(nèi)容.深入領(lǐng)會轉(zhuǎn)化與化歸思想，并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用方法等，對提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習效率和質(zhì)量是大有裨益的.在高考復(fù)習中，教師應(yīng)幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，最大限度地提高高考復(fù)習效率.

參考文獻：

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