宋倩倩，雙 凱

（中國石油大學（北京），北京，102249）

在信號的降噪問題中，小波降噪得到廣泛應用，其中的模極大值和閾值降噪是最常用的兩種方法。由于小波閾值降噪方法其實現(xiàn)簡單、計算量小，從而在實際中得到廣泛研究。小波閾值降噪算法中，小波最優(yōu)分解層數(shù)的確定，以及小波閾值函數(shù)的選擇，成為小波閾值降噪方法的關(guān)鍵[1-3]。

在小波閾值降噪中，文獻[4]提出的傳統(tǒng)硬閾值法可以很好地保留信號邊緣等局部特征，然而在一些不連續(xù)點處有時會存在偽吉布斯現(xiàn)象。文獻[5]提出的軟閾值法克服了硬閾值存在的連續(xù)性差的問題，然而存在過于光滑而失去信號真實性的缺點。文獻[6]提出的半軟閾值法降噪效果雖略優(yōu)于硬閾值和軟閾值，但半軟閾值函數(shù)形式與硬閾值、軟閾值相同，信噪比改變不大。文獻[7]提出的新閾值函數(shù)調(diào)節(jié)因子過多，而且沒有給出如何針對不同的信號和噪聲選取最合適的值。

本文針對小波閾值算法提出了一種新的閾值函數(shù)，在最優(yōu)分解層數(shù)確定的基礎上，采用傳統(tǒng)閾值函數(shù)、改進閾值函數(shù)進行小波閾值降噪，通過matlab進行仿真，以信噪比SNR為性能指標，發(fā)現(xiàn)改進閾值函數(shù)優(yōu)于傳統(tǒng)閾值函數(shù)。同時發(fā)現(xiàn)，改進閾值函數(shù)選用閾值選取規(guī)則保守的minimaxi閾值，降噪效果優(yōu)于其他閾值選取規(guī)則。

1 小波分析理論

根據(jù)小波Ψ(x)和尺度函數(shù)φ(x)為函數(shù)f(x)∈L2(R)定義小波序列展開[8]，可知

其中，j0是任意開始尺度，Cj0(k)是近似值或尺度系數(shù)，dj(k)是細節(jié)或者小波系數(shù)。

小波分析，將信號分解到不同的分辨率上，像放大鏡一樣對信號在不同頻帶上進行分析。小波分析，解決了傅里葉分析不能解決的許多難題，使得信號可以同時具有時間域和頻率域的信息。在低尺度上，具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高尺度上具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。

2 小波閾值降噪

小波變換具有一種“集中”的能力。經(jīng)過小波變換后，有用信號對應的小波系數(shù)有很好的能量集中性，其幅值偏大，并且數(shù)量較少；而噪聲信號對應的小波系數(shù)，能量比較平均，個數(shù)較多，但幅值偏小。利用含噪信號的這個特點，就可以通過合適的閾值函數(shù)將噪聲對應的小波系數(shù)置零，從而實現(xiàn)有用信號的提取[9]。

一維含噪信號的小波閾值降噪處理過程步驟如下：

1）小波分解。選擇一個合適的小波基，并通過白噪聲檢驗來確定分解層數(shù)N，然后對信號進行N層小波分解。

2）小波系數(shù)的閾值處理。對第一層到第N層的高頻系數(shù)，選取合適的閾值，根據(jù)相應的閾值函數(shù)進行閾值量化處理。

3）小波重構(gòu)。對閾值處理過的小波系數(shù)，進行一維信號的小波重構(gòu)。

2.1 閾值的選取

閾值的選取有4種原則：Stein風險閾值（rigrsure準則）、通用閾值（sqtwolog準則）、極大極小閾值法（minimaxi準則）、啟發(fā)式閾值法（heursure準則）[10]。

4種閾值方法中，rigrsure準則和minimaxi準則的閾值選取較為保守，sqtwolog和heursure準則的閾值選取則較為過度，有可能將有用信號的高頻部分當做噪聲信號去除掉。本文選取保守的minimaxi閾值。

2.2 小波閾值函數(shù)

2.2.1 傳統(tǒng)硬閾值和軟閾值方法

硬閾值方法，是把絕對值小于閾值t的小波系數(shù)直接置零，其余的小波系數(shù)全部保留，實現(xiàn)信號的重構(gòu)。硬閾值法的圖像如圖1（a）所示，公式為：

軟閾值方法，是一種基于硬閾值法的改進，將硬閾值中保留的系數(shù)，絕對值減少t，再實現(xiàn)信號的重構(gòu)。軟閾值法的圖像如圖1（b）所示，公式為：

半軟閾值方法，是對軟、硬閾值法的一種折中方法，其函數(shù)值介于軟閾值和硬閾值之間，在降噪中起到了很好的效果[11]。半軟閾值的圖像如圖1（c）所示，公式為：

硬閾值函數(shù)在閾值處x=t是不連續(xù)不可導的，從而影響了信號重構(gòu)的效果，帶來了一些附加振蕩，使信號光滑性很差。軟閾值光滑性好，克服了硬閾值不夠平滑的特點，但同時也由于過于平滑而損失了一些有用的高頻信息，影響了重構(gòu)的真實。半軟閾值考慮到軟硬閾值的缺點，是一種折中方法，取得了一定的降噪效果。本文針對傳統(tǒng)閾值函數(shù)的缺點，提出兩種改進閾值函數(shù)。

圖1 傳統(tǒng)閾值函數(shù)Fig.1 Traditional threshold function

2.2.2 改進閾值函數(shù)1

在硬閾值基礎上進行改進，使其在保留了硬閾值函數(shù)優(yōu)點的同時，又增加了連續(xù)性，以及光滑性。在閾值附近的區(qū)間(-(2-α)t, -t)∪(t, (2-α)t)上滿足二次拋物線函數(shù)x= (1/m)y2+t，在剩余區(qū)間(-∞, -(2-α)t)∪((2-α)t, +∞)內(nèi)滿足硬閾值函數(shù)，在連接點x= (2-α)t處連續(xù)且可導。函數(shù)圖像如圖2所示，公式如下：

其中，m= 4(1-α)t,α∈ (0, 1)。

當α= 0時，接近于硬閾值，在區(qū)間(-2t, -t)∪(t, 2t)上滿足拋物線函數(shù)，在(-∞, -2t)∪(2t, +∞)上滿足硬閾值函數(shù)；當α= 1時，為軟閾值函數(shù)；當α= 1/2時，接近于半軟閾值，在區(qū)間(-3t/2, -t)∪(t, 3t/2)上滿足拋物線函數(shù)，在(-∞,-3t/2)∪(3t/2, +∞)上滿足硬閾值函數(shù)。α越接近于1，滿足拋物線函數(shù)的區(qū)間越大，α越接近于0，滿足拋物線函數(shù)的區(qū)間越小。

圖2 改進閾值函數(shù)1Fig.2 Improved threshold function 1

2.2.3 改進閾值函數(shù)2

考慮到改進函數(shù)1到達硬閾值函數(shù)的區(qū)間太長，提出一個更快接近于硬閾值函數(shù)的函數(shù)。改進閾值函數(shù)1在區(qū)間(-(4-α)t/3, -t)∪(t, (4-α)t/3)上滿足一個四次函數(shù)x= (1/m)y4+t，改進閾值函數(shù)1在區(qū)間(-∞, -(4-α)t/3)∪((4-α)t/3,+∞)上滿足硬閾值函數(shù)，該函數(shù)在x= (4-α)t/3處連續(xù)且可導。此函數(shù)比改進硬閾值函數(shù)1能夠以更快的速率連接到硬閾值函數(shù)。函數(shù)圖像如圖3所示，公式如下：

其中，m= 256[(1-α)t]3/27,α∈ (0, 1)。

當α= 0時，接近于硬閾值，在區(qū)間(-4t/3, -t)∪(t, 4t/3)上滿足拋物線函數(shù)，在(-∞, -4t/3)∪(4t/3, +∞)上滿足硬閾值函數(shù)；當α= 1時，為軟閾值函數(shù)；當α= 1/2時，接近于半軟閾值，在區(qū)間(-7t/6, -t)∪(t, 7t/6)上滿足拋物線函數(shù)，在(-∞, -7t/6)∪(7t/6, +∞)上滿足硬閾值函數(shù)。α越接近于1，滿足拋物線函數(shù)的區(qū)間越大，α越接近于0，滿足拋物線函數(shù)的區(qū)間越小。

圖3 改進閾值函數(shù)2Fig.3 Improved threshold function 2

閾值附近的系數(shù)混雜了干凈信號的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)，單純閾值的選取無法改變這一問題。新改進的新閾值函數(shù)，將閾值 附近的系數(shù)做一定的能量壓縮，從而在一定程度上壓縮了噪聲對干凈信號的影響，同時又保留了部分干凈信號的信息。兩種改進的新閾值函數(shù)對閾值附近的系數(shù)做了不同程度能量的壓縮，改進閾值函數(shù)1對小波系數(shù)的壓縮區(qū)間長，而改進閾值函數(shù)2對小波系數(shù)的壓縮區(qū)間短，要根據(jù)具體情況來選擇這兩種函數(shù)，以及合適的α值。

3 仿真驗證

為了比較上述改進閾值降噪方法的降噪效果，引入如下信噪比定義：

其中：f(i)為真實信號，s(i)為含噪聲信號，L為信號長度[12]。

采用db6小波函數(shù)，在疊加白噪聲信噪比為3的情況下，對blocks信號，首先得出其最優(yōu)分解層數(shù)為6層，然后采用改進閾值函數(shù)1和2進行降噪，并與傳統(tǒng)硬閾值、軟閾值、半軟閾值進行比較，降噪后的信噪比如圖4所示。

圖4 blocks信號仿真Fig.4 Blocks signal de-noising of improved threshold function

圖4可以看出，minimaxi閾值用在改進閾值函數(shù)中降噪效果最優(yōu)，改進閾值函數(shù)總體降噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)閾值函數(shù)。同時對于不同的α，降噪效果不同。在傳統(tǒng)3種方法中，當硬閾值較優(yōu)時，α貼近于1時效果更好；當軟閾值較優(yōu)時，α貼近于0效果更好。改進函數(shù)1和改進函數(shù)2總體走勢相同，但不同的信號，不同的α值，去噪效果不同。

4 結(jié) 論

文中提出了一種壓縮能量閾值函數(shù)，仿真發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)采用minimaxi閾值可使改進閾值函數(shù)信噪比達到最優(yōu)，兩種改進閾值函數(shù)與傳統(tǒng)閾值法相比，有著明顯的降噪效果。在實際應用中，應該根據(jù)具體的信號具體的噪聲采用不用的降噪策略，使得降噪效果達到最優(yōu)。

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