孟慶東

一、利用解方程判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1 函數(shù) f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+ln x，x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.0 B.1 C.2 D.3

解 當(dāng)x≤0時(shí)，令x2+2x-3= 0，解得x=-3；當(dāng)x> 0時(shí)，令-2+ln x=0，解得x=e2.所以，函數(shù) f（x）有2個(gè)零點(diǎn).選C.

二、利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1.直接觀察函數(shù)圖像與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可作出函數(shù)y= f（x）的圖像，它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).此方法適合容易作出圖像的函數(shù).

如例1可直接作出函數(shù)圖像，如圖1所示.由圖1可知，此函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

2.一分為二轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

函數(shù)F（x）= f（x）-g（x）的零點(diǎn)，即方程f（x）= g（x）的根，也就是函數(shù)y= f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F（x）的圖像不易作出時(shí)，可將F（x）分解成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例2 設(shè)定義在R上的函數(shù) f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)， f ′（x）是 f（x）的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0< f（x）<1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠■時(shí)，（x-■）f ′（x）>0，則函數(shù)y= f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.2 B.4 C.5 D.8

解 當(dāng)x∈（0，π）且x≠■時(shí)，（x-■）f ′（x）>0，從而f（x）在（0，■）上單調(diào)遞減，在（■，π）上單調(diào)遞增.又x∈[0，π]時(shí)，0< f（x）<1，在R上的函數(shù) f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y= f（x）和y=sin x的圖像，如圖2.由圖2可知，y = f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.選B.

3.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

通過(guò)分離函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)方程f（x）=0中的變量x和參數(shù)a，方程變形成 g（x）=h（a），將函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= g（x）與y=h（a）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a 為實(shí)數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解 由已知得 g ′（x）= ex - a > 0，即a < ex對(duì)x∈（-1，+∞）恒成立，則a≤■.由f（x）=0，得a=■，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h（x）=■的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).令h′（x）=0，得x=e.當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）>0，h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）<0，h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.故h（x）的最大值為h（e）=■.又當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，作出函數(shù)h（x）的圖像如圖3所示.

由圖3知：當(dāng)a≤0或a=■時(shí)， f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0

4.整體換元轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)復(fù)合函數(shù)y= f [g（x）]不易具體化或簡(jiǎn)化來(lái)分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，我們常通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為方程f（t）= 0 與t = g（x）的根的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= f（t）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及直線y = t 與函數(shù)y = g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

例4 若函數(shù)y= f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y= f（x）的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).設(shè)h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y= h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解 由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程 f [ f（x）]=c可轉(zhuǎn)化為 f（t）=c.

作y= f（x）的圖像如圖4所示，且 f（-2）= f（1）= -2， f（-1）= f（2）=2.

當(dāng)c=-2時(shí)，由f（t）=c可知t1=1，t2=-2.當(dāng)t=t1時(shí)，直線y=1與y= f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t=t2時(shí)，直線y=-2與y= f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程 f [ f（x）]= c共有5個(gè)不同的解.

當(dāng)c=2時(shí)，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.當(dāng)t=t3時(shí)，直線y=2與y= f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t=t4時(shí)，直線y=-1與y= f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程 f [ f（x）]= c共有5個(gè)不同的解.

當(dāng)-2

綜上所述，當(dāng)|c|=2時(shí)，函數(shù)y= h（x）有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)|c|<2時(shí)，函數(shù)y= h（x）有9個(gè)零點(diǎn).

三、利用零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

如果函數(shù)y= f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增（減），函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且 f（a）· f（b）<0，那么函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一的零點(diǎn).

例5 已知函數(shù) f（x）=axsin x-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值為■.

（1）求函數(shù) f（x）的解析式.

（2）判斷函數(shù) f（x）在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

解 （1）f（x）=xsin x-■.（解答過(guò)程省略）

（2）函數(shù) f（x）在（0，π）內(nèi)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

證明： 由f（0）=-■<0， f（■）=■>0， f（x）在[0，■]上的圖像是連續(xù)不斷的，可知 f（x）在（0，■）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x∈（0，■）時(shí)， f ′（x）=sin x+xcos x>0，可知 f（x）在（0，■）上單調(diào)遞增，故 f（x）在（0，■）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x∈[■，π]時(shí)，令 g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由 g（■）=1>0，g（π）=-π <0，g（x）在[■，π]上的圖像是連續(xù)不斷的，故存在m∈（■，π），使得g（m）=0.

由 g ′（x）=2cos x-xsin x，可知當(dāng)x∈（■，π）時(shí)， g ′（x）<0，從而 g（x）在（■，π）上單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（■，m）時(shí)， g（x）> g（m）=0，即 f ′（x）>0，從而 f（x）在（■，m）上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈[■，m]時(shí)， f（x）≥ f（■）=■>0，故 f（x）在[■，m]內(nèi)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)x∈（m，π）時(shí)， g（x）< g（m）=0，即 f ′（x）<0，從而 f（x）在（m，π）上單調(diào)遞減.又f（m）>0， f（π）<0，且 f（x）在[m，π]上的圖像是連續(xù)不斷的，故 f（x）在（m，π）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)有且只有2個(gè)零點(diǎn).（責(zé)任編校/馮琪）

一、利用解方程判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1 函數(shù) f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+ln x，x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.0 B.1 C.2 D.3

解 當(dāng)x≤0時(shí)，令x2+2x-3= 0，解得x=-3；當(dāng)x> 0時(shí)，令-2+ln x=0，解得x=e2.所以，函數(shù) f（x）有2個(gè)零點(diǎn).選C.

二、利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1.直接觀察函數(shù)圖像與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可作出函數(shù)y= f（x）的圖像，它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).此方法適合容易作出圖像的函數(shù).

如例1可直接作出函數(shù)圖像，如圖1所示.由圖1可知，此函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

2.一分為二轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

函數(shù)F（x）= f（x）-g（x）的零點(diǎn)，即方程f（x）= g（x）的根，也就是函數(shù)y= f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F（x）的圖像不易作出時(shí)，可將F（x）分解成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例2 設(shè)定義在R上的函數(shù) f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)， f ′（x）是 f（x）的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0< f（x）<1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠■時(shí)，（x-■）f ′（x）>0，則函數(shù)y= f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.2 B.4 C.5 D.8

解 當(dāng)x∈（0，π）且x≠■時(shí)，（x-■）f ′（x）>0，從而f（x）在（0，■）上單調(diào)遞減，在（■，π）上單調(diào)遞增.又x∈[0，π]時(shí)，0< f（x）<1，在R上的函數(shù) f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y= f（x）和y=sin x的圖像，如圖2.由圖2可知，y = f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.選B.

3.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

通過(guò)分離函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)方程f（x）=0中的變量x和參數(shù)a，方程變形成 g（x）=h（a），將函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= g（x）與y=h（a）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a 為實(shí)數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解 由已知得 g ′（x）= ex - a > 0，即a < ex對(duì)x∈（-1，+∞）恒成立，則a≤■.由f（x）=0，得a=■，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h（x）=■的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).令h′（x）=0，得x=e.當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）>0，h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）<0，h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.故h（x）的最大值為h（e）=■.又當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，作出函數(shù)h（x）的圖像如圖3所示.

由圖3知：當(dāng)a≤0或a=■時(shí)， f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0

4.整體換元轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)復(fù)合函數(shù)y= f [g（x）]不易具體化或簡(jiǎn)化來(lái)分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，我們常通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為方程f（t）= 0 與t = g（x）的根的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= f（t）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及直線y = t 與函數(shù)y = g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

例4 若函數(shù)y= f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y= f（x）的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).設(shè)h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y= h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解 由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程 f [ f（x）]=c可轉(zhuǎn)化為 f（t）=c.

作y= f（x）的圖像如圖4所示，且 f（-2）= f（1）= -2， f（-1）= f（2）=2.

當(dāng)c=-2時(shí)，由f（t）=c可知t1=1，t2=-2.當(dāng)t=t1時(shí)，直線y=1與y= f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t=t2時(shí)，直線y=-2與y= f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程 f [ f（x）]= c共有5個(gè)不同的解.

當(dāng)c=2時(shí)，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.當(dāng)t=t3時(shí)，直線y=2與y= f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t=t4時(shí)，直線y=-1與y= f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程 f [ f（x）]= c共有5個(gè)不同的解.

當(dāng)-2

綜上所述，當(dāng)|c|=2時(shí)，函數(shù)y= h（x）有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)|c|<2時(shí)，函數(shù)y= h（x）有9個(gè)零點(diǎn).

三、利用零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

如果函數(shù)y= f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增（減），函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且 f（a）· f（b）<0，那么函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一的零點(diǎn).

例5 已知函數(shù) f（x）=axsin x-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值為■.

（1）求函數(shù) f（x）的解析式.

（2）判斷函數(shù) f（x）在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

解 （1）f（x）=xsin x-■.（解答過(guò)程省略）

（2）函數(shù) f（x）在（0，π）內(nèi)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

證明： 由f（0）=-■<0， f（■）=■>0， f（x）在[0，■]上的圖像是連續(xù)不斷的，可知 f（x）在（0，■）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x∈（0，■）時(shí)， f ′（x）=sin x+xcos x>0，可知 f（x）在（0，■）上單調(diào)遞增，故 f（x）在（0，■）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x∈[■，π]時(shí)，令 g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由 g（■）=1>0，g（π）=-π <0，g（x）在[■，π]上的圖像是連續(xù)不斷的，故存在m∈（■，π），使得g（m）=0.

由 g ′（x）=2cos x-xsin x，可知當(dāng)x∈（■，π）時(shí)， g ′（x）<0，從而 g（x）在（■，π）上單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（■，m）時(shí)， g（x）> g（m）=0，即 f ′（x）>0，從而 f（x）在（■，m）上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈[■，m]時(shí)， f（x）≥ f（■）=■>0，故 f（x）在[■，m]內(nèi)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)x∈（m，π）時(shí)， g（x）< g（m）=0，即 f ′（x）<0，從而 f（x）在（m，π）上單調(diào)遞減.又f（m）>0， f（π）<0，且 f（x）在[m，π]上的圖像是連續(xù)不斷的，故 f（x）在（m，π）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)有且只有2個(gè)零點(diǎn).（責(zé)任編校/馮琪）

一、利用解方程判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1 函數(shù) f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+ln x，x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.0 B.1 C.2 D.3

解 當(dāng)x≤0時(shí)，令x2+2x-3= 0，解得x=-3；當(dāng)x> 0時(shí)，令-2+ln x=0，解得x=e2.所以，函數(shù) f（x）有2個(gè)零點(diǎn).選C.

二、利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1.直接觀察函數(shù)圖像與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可作出函數(shù)y= f（x）的圖像，它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).此方法適合容易作出圖像的函數(shù).

如例1可直接作出函數(shù)圖像，如圖1所示.由圖1可知，此函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

2.一分為二轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

函數(shù)F（x）= f（x）-g（x）的零點(diǎn)，即方程f（x）= g（x）的根，也就是函數(shù)y= f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F（x）的圖像不易作出時(shí)，可將F（x）分解成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例2 設(shè)定義在R上的函數(shù) f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)， f ′（x）是 f（x）的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0< f（x）<1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠■時(shí)，（x-■）f ′（x）>0，則函數(shù)y= f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.2 B.4 C.5 D.8

解 當(dāng)x∈（0，π）且x≠■時(shí)，（x-■）f ′（x）>0，從而f（x）在（0，■）上單調(diào)遞減，在（■，π）上單調(diào)遞增.又x∈[0，π]時(shí)，0< f（x）<1，在R上的函數(shù) f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y= f（x）和y=sin x的圖像，如圖2.由圖2可知，y = f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.選B.

3.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

通過(guò)分離函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)方程f（x）=0中的變量x和參數(shù)a，方程變形成 g（x）=h（a），將函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= g（x）與y=h（a）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a 為實(shí)數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解 由已知得 g ′（x）= ex - a > 0，即a < ex對(duì)x∈（-1，+∞）恒成立，則a≤■.由f（x）=0，得a=■，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h（x）=■的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).令h′（x）=0，得x=e.當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）>0，h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）<0，h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.故h（x）的最大值為h（e）=■.又當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，作出函數(shù)h（x）的圖像如圖3所示.

由圖3知：當(dāng)a≤0或a=■時(shí)， f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0

4.整體換元轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)復(fù)合函數(shù)y= f [g（x）]不易具體化或簡(jiǎn)化來(lái)分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，我們常通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為方程f（t）= 0 與t = g（x）的根的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= f（t）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及直線y = t 與函數(shù)y = g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

例4 若函數(shù)y= f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y= f（x）的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).設(shè)h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y= h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解 由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程 f [ f（x）]=c可轉(zhuǎn)化為 f（t）=c.

作y= f（x）的圖像如圖4所示，且 f（-2）= f（1）= -2， f（-1）= f（2）=2.

當(dāng)c=-2時(shí)，由f（t）=c可知t1=1，t2=-2.當(dāng)t=t1時(shí)，直線y=1與y= f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t=t2時(shí)，直線y=-2與y= f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程 f [ f（x）]= c共有5個(gè)不同的解.

當(dāng)c=2時(shí)，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.當(dāng)t=t3時(shí)，直線y=2與y= f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t=t4時(shí)，直線y=-1與y= f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程 f [ f（x）]= c共有5個(gè)不同的解.

當(dāng)-2

綜上所述，當(dāng)|c|=2時(shí)，函數(shù)y= h（x）有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)|c|<2時(shí)，函數(shù)y= h（x）有9個(gè)零點(diǎn).

三、利用零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

如果函數(shù)y= f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增（減），函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且 f（a）· f（b）<0，那么函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一的零點(diǎn).

例5 已知函數(shù) f（x）=axsin x-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值為■.

（1）求函數(shù) f（x）的解析式.

（2）判斷函數(shù) f（x）在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

解 （1）f（x）=xsin x-■.（解答過(guò)程省略）

（2）函數(shù) f（x）在（0，π）內(nèi)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

證明： 由f（0）=-■<0， f（■）=■>0， f（x）在[0，■]上的圖像是連續(xù)不斷的，可知 f（x）在（0，■）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x∈（0，■）時(shí)， f ′（x）=sin x+xcos x>0，可知 f（x）在（0，■）上單調(diào)遞增，故 f（x）在（0，■）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x∈[■，π]時(shí)，令 g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由 g（■）=1>0，g（π）=-π <0，g（x）在[■，π]上的圖像是連續(xù)不斷的，故存在m∈（■，π），使得g（m）=0.

由 g ′（x）=2cos x-xsin x，可知當(dāng)x∈（■，π）時(shí)， g ′（x）<0，從而 g（x）在（■，π）上單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（■，m）時(shí)， g（x）> g（m）=0，即 f ′（x）>0，從而 f（x）在（■，m）上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈[■，m]時(shí)， f（x）≥ f（■）=■>0，故 f（x）在[■，m]內(nèi)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)x∈（m，π）時(shí)， g（x）< g（m）=0，即 f ′（x）<0，從而 f（x）在（m，π）上單調(diào)遞減.又f（m）>0， f（π）<0，且 f（x）在[m，π]上的圖像是連續(xù)不斷的，故 f（x）在（m，π）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)有且只有2個(gè)零點(diǎn).（責(zé)任編校/馮琪）