徐長波，魯 偉，李春文

（清華大學(xué) 自動(dòng)化系，北京 100084）

0 引言

伴隨著電力電子裝置的廣泛應(yīng)用，電能質(zhì)量的問題日益嚴(yán)重，特別是諧波污染，給電網(wǎng)的安全性提出了挑戰(zhàn)。目前治理諧波問題主要通過無源濾波器PF（Power Filter）和有源濾波器 APF（Active Power Filter）[1-4]?；谥C振原理的無源濾波器經(jīng)濟(jì)性較好，但是只能消除特定次數(shù)的諧波且容易與電網(wǎng)產(chǎn)生諧振[5]。APF大多采用與負(fù)載并聯(lián)在電路中產(chǎn)生與負(fù)載諧波反相的電流來抵消電網(wǎng)中電流的畸變[6]。為了有效地補(bǔ)償非線性負(fù)載的諧波電流，有效的控制策略就顯得尤為重要。

目前應(yīng)用于APF中的控制方法很多，如PI控制、廣義積分、單周控制和預(yù)測控制等[7-11]，但是動(dòng)態(tài)效果或者魯棒特性不能滿足APF的需求。針對APF要求系統(tǒng)有快速響應(yīng)、耗損少且抗干擾能力強(qiáng)等性能，一些傳統(tǒng)的算法不能滿足需要。模型參考自適應(yīng)控制 MRAC（Model Reference Adaptive Control）屬于參數(shù)自適應(yīng)控制系統(tǒng)的一種，因具有適應(yīng)性和魯棒性等優(yōu)點(diǎn)而應(yīng)用于多種場合，特別是航空航天，在APF中的應(yīng)用還較少見。文獻(xiàn)[12-15]采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了模型參考自適應(yīng)控制器，但是這種方法的成功與否和選擇的李雅普諾夫函數(shù)有很大關(guān)系，而且有些系統(tǒng)可供選擇的李雅普諾夫函數(shù)唯一，因此這種方法受到了限制。采用波波夫超穩(wěn)定性設(shè)計(jì)模型參考自適應(yīng)控制器時(shí)，可以得到更一般的適應(yīng)律，更容易設(shè)計(jì)[16]。

本文以單相并聯(lián)APF為研究對象，首先引入了單相APF的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，通過線性化的方法得到單相APF的近似線性模型；再利用波波夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)模型跟隨控制器；最后給出了仿真結(jié)果，驗(yàn)證所提控制策略的有效性。

1 單相并聯(lián)APF的結(jié)構(gòu)及原理

單相并聯(lián)APF的電路結(jié)構(gòu)主要是由直流側(cè)電容、逆變器、輸出濾波電感組成，如圖1所示。其中us為電源電壓；udc為直流側(cè)電容兩端的電壓，is為系統(tǒng)電流，iL為負(fù)載電流，ic為逆變器的輸出電流，L為濾波電感，C為直流側(cè)電容，idc為流過直流側(cè)電容的電流，VT1—VT4為開關(guān)器件。通過一定的檢測和控制算法合理控制開關(guān)器件的開斷，實(shí)現(xiàn)APF輸出的電流跟蹤指令電流信號(hào)，進(jìn)而使電網(wǎng)側(cè)的電流為期望的正弦波。

圖1 單相并聯(lián)APF的電路結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of single-phase shunt APF

2 單相并聯(lián)APF的建模

由圖1電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可得：

令S為開關(guān)函數(shù)，若開關(guān)器件采用雙極性PWM方式進(jìn)行控制時(shí)，S取值如下：

則有：

將式（3）代入式（1）整理可得：

根據(jù)式（4），可以建立單相并聯(lián)APF的數(shù)學(xué)模型如下：

顯然，系統(tǒng)模型既包含了連續(xù)動(dòng)態(tài)又包含了離散動(dòng)態(tài)，是一個(gè)混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。為了便于處理，采用周期平均方法[17]對該模型進(jìn)行簡化。假定直流側(cè)電容電壓經(jīng)過PI控制能夠穩(wěn)定在給定值Udc，令：

其中，Ts表示PWM周期。經(jīng)過周期平均以后，單相并聯(lián)APF的狀態(tài)空間模型可以簡化為線性模型：

利用文獻(xiàn)[14]中的線性化方法得到系統(tǒng)式（8）的近似線性模型。 取 d=d0，d0?[0，1]，且為常數(shù)。 令x0為系統(tǒng)式（8）的平衡點(diǎn)，即滿足：

則有：

對其進(jìn)行泰勒展開并忽略其高次項(xiàng)可得：

定義：

可得：

3 單相并聯(lián)APF自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)

由于APF系統(tǒng)本身和環(huán)境干擾存在不確定性，當(dāng)濾波參數(shù)明顯變化時(shí)，常規(guī)PI控制的效果不盡如人意，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。利用超穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)模型跟隨自適應(yīng)控制系統(tǒng)為非線性控制，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，實(shí)時(shí)修正調(diào)整，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)跟蹤參考模型狀態(tài)，可以提高APF系統(tǒng)的補(bǔ)償效果。圖2為應(yīng)用超穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)的模型跟隨系統(tǒng)控制框圖。

圖2 單相并聯(lián)APF的系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Block diagram of single-phase shunt APF control

設(shè)其參考狀態(tài)模型方程為：

其中，um?R 為參考輸入；xm?R2×1是參考模型的狀態(tài)向量；Am?R2×2、Bm?R2×1為參考模型系統(tǒng)矩陣。

定義狀態(tài)誤差為：

控制器的設(shè)計(jì)目的是要求控制APF的輸出跟蹤參考諧波信號(hào)，使誤差e接近0，即。 根據(jù)文獻(xiàn)[18]可以定義自適應(yīng)控制器的輸出為：

其中，Kp、Km、Ku為如圖2中適當(dāng)維數(shù)控制系數(shù)的增益矩陣。

但是在實(shí)際運(yùn)行中，Ap和Bp為動(dòng)態(tài)系數(shù)矩陣，而且這種變化是未知且不能測量的，但是控制器系數(shù)的增益矩陣是依賴Ap和Bp的值，因此在增益矩陣Kp和Ku中加入可調(diào)部分來抑制系統(tǒng)參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，以保證可以完全地模型跟隨，則控制律如下所示：

假設(shè)系統(tǒng)滿足完全跟蹤的充分條件式（18），并需要適應(yīng)速度比參數(shù)漂移速度快。

其中，B+p表示 Bp的偽逆矩陣，B+p=（BTpBp）-1BTp。

則誤差的狀態(tài)方程為：

先將系統(tǒng)等價(jià)為非線性時(shí)變反饋系統(tǒng)，其前向環(huán)節(jié)為：

非線性時(shí)變的反饋環(huán)節(jié)為：

為了使系統(tǒng)式（20）是漸近穩(wěn)定的，根據(jù)超穩(wěn)定性理論，需要滿足波波夫積分不等式，即

是嚴(yán)格正實(shí)的（其中n0為不依賴于時(shí)間的有限正常數(shù)）。但是由于Ap和Bp是未知定常矩陣，所以在控制器的設(shè)計(jì)中取其標(biāo)稱值為A0p和B0p。具體的設(shè)計(jì)步驟如下。

a.確定參考模型參數(shù)。參考模型根據(jù)文獻(xiàn)[15]得到參考模型的2個(gè)極點(diǎn)，可以得到系統(tǒng)矩陣：

對于給定的Am具有很好的穩(wěn)定性，便于計(jì)算，可以取Km=0。

b.取d0=0.28，則可以得到：

對于任意的給定正實(shí)矩陣Q滿足李雅普諾夫方程：

可以解得對稱正實(shí)矩陣：

c.根據(jù)正實(shí)引理可以得到：

d.由充分條件可以得：

e.為了滿足波波夫積分不等式，根據(jù)文獻(xiàn)[18]選用比例適用律：

其中，L、M、N、O均為非負(fù)定對稱矩陣。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證提出的自適應(yīng)控制策略在單相并聯(lián)APF控制中的正確性和有效性，本文設(shè)計(jì)了在MATLAB環(huán)境下的仿真實(shí)驗(yàn)，與傳統(tǒng)的PI控制策略進(jìn)行了比較研究。系統(tǒng)參數(shù)如下：理想電網(wǎng)電壓us幅值為220 V，頻率為50 Hz；電網(wǎng)等效阻抗Ls為0.05 mH；濾波電抗器L為5 mH；直流側(cè)電容C為5000 μF；直流側(cè)電容電壓參考值Udc為1000 V；直流側(cè)PI控制器參數(shù) kp=10，ki=4；PWM 頻率為 10 kHz；單相整流橋負(fù)載為10 Ω電阻串聯(lián)10 mH電感。直流側(cè)電壓的穩(wěn)定采用了PI控制進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

圖3為APF未投入時(shí)，PCC處的電壓波形和負(fù)載電流波形。對負(fù)載電流進(jìn)行頻譜分析可知其中含有很多諧波，諧波畸變率THD=18.67%，畸變程度很嚴(yán)重。采用本文提出的自適應(yīng)控制策略和PI方法分別進(jìn)行補(bǔ)償，穩(wěn)態(tài)時(shí)電網(wǎng)電流波形如圖4所示。經(jīng)過分析和對比可見，2種方法均能對電網(wǎng)諧波進(jìn)行有效的抑制，但本文提出的控制策略比PI控制策略的諧波補(bǔ)償效果更好。

圖3 PCC處的電壓和負(fù)載的電流波形Fig.3 Waveforms of voltage at PCC and load current

圖4 采用PI和本文控制策略補(bǔ)償后的電網(wǎng)電流Fig.4 Grid currents after compensation with PI control and proposed control strategy

在負(fù)載不變的基礎(chǔ)上，考慮電網(wǎng)等效阻抗的不確定性對APF補(bǔ)償效果的影響。假設(shè)L的變化范圍為2～8 mH。這2種情況下采用PI控制和本文所提控制策略補(bǔ)償后系統(tǒng)電流波形圖如圖5、6所示。當(dāng)L=2 mH時(shí)2種算法控制下的THD分別為3.19%和2.37%；當(dāng)L=8 mH時(shí)2種算法控制下的THD分別為5.14%和4.35%。由此可以看出本文所提控制策略對電網(wǎng)等效阻抗的不確定性具有更好的魯棒性。

圖5 當(dāng)L=2 mH時(shí)采用PI和本文控制策略補(bǔ)償后的電網(wǎng)電流Fig.5 Grid currents after compensation with PI control and proposed control strategy，when L is 2 mH

圖6 當(dāng)L=8 mH時(shí)采用PI和本文控制策略補(bǔ)償后的電網(wǎng)電流Fig.6 Grid currents after compensation with PI control and proposed control strategy，when L is 8 mH

5 結(jié)論

本文針對單相并聯(lián)APF進(jìn)行研究，將基于超穩(wěn)定理論的模型跟隨控制策略應(yīng)用到單相APF中。先將系統(tǒng)等價(jià)于一個(gè)反饋系統(tǒng)，包括前向環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)，前向環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)嚴(yán)格正實(shí)，而反饋環(huán)節(jié)滿足波波夫積分不等式，由此可以設(shè)計(jì)出系統(tǒng)的自適應(yīng)控制律，保證APF的輸出電流對負(fù)載諧波電流的跟蹤。當(dāng)濾波參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，本文提出的控制策略比PI方法具有更好的諧波補(bǔ)償效果，對參數(shù)擾動(dòng)具有更強(qiáng)的自適應(yīng)和魯棒性。