楊景華，張向東

（西安重裝礦山電器設(shè)備有限公司，陜西 西安710048）

對于滾動(dòng)軸承來說，無論什么類型的故障，在故障早期，主要表現(xiàn)形式為隨機(jī)性行為和非線性行為，軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的振動(dòng)信號也是無規(guī)律可循的雜亂現(xiàn)象，由于這種原因，采用傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法來研究滾動(dòng)軸承的早期復(fù)合故障很難達(dá)到滿意的效果。分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來處理這些難題。文章試圖從分形的觀點(diǎn)出發(fā)，探索滾動(dòng)軸承內(nèi)圈的故障診斷及預(yù)測分析方法。

1 變標(biāo)度極差分析（R/S分析）

在分形研究領(lǐng)域，Hurst指數(shù)和變標(biāo)度極差分析法（簡稱R/S分析），主要在天氣預(yù)報(bào)和股指期貨的指數(shù)周氏預(yù)測中被廣泛應(yīng)用，被得到了應(yīng)用者的一致好評。

（1）標(biāo)度極差分析（R/S分析）。R/S分析法在時(shí)間序列曲線的走勢分析中，假定時(shí)間序列是：X(t),t=1,2...n，其中n為觀測時(shí)間，在觀測時(shí)間n內(nèi)的平均值為[X(n)]，設(shè)累計(jì)利差為：Q(t,n)=∑[X(t)-],(t=1,2,…τ)則設(shè)極差為：E(n)=maxQ(t,n)-minQ(t,n),(t≤n)可以看出E(n)與n的成正比，設(shè)時(shí)間n內(nèi)X(t)的均方差為：

與時(shí)間序列X(t)相比,它是相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，根據(jù)Hurst所給出的公式：

式中H取0.5，而對于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，Hurst得出了如下的民函數(shù)關(guān)系：

式中H為Hurst指數(shù)，將公式（1）式子兩側(cè)同取對數(shù)，得：

式子中的Hurst指數(shù)的物理意義是之間的斜率，因此，R/S分析法可以寫成：

式中，E為重標(biāo)后的極差，D為均方差，H為Hurst指數(shù)，N為樣本觀測數(shù)量，C為常數(shù)

此外，還有一種統(tǒng)計(jì)量AQ，該統(tǒng)計(jì)量可由一下公式得到：

Aq一般用來檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此外還可以估計(jì)運(yùn)行周期。

（2）Aq統(tǒng)計(jì)量的算法。Aq統(tǒng)計(jì)量計(jì)的前半部分算過程與Hurst指數(shù)的計(jì)算過程大體類似，后半部分計(jì)算過程有所區(qū)別，其算法如下：①將時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù){Rt}（t=1，2，…，n）分成k（n/N）各獨(dú)立的部分，每個(gè)部分的時(shí)長為N的時(shí)間序列，k為小于n/N的最大正整數(shù)值。②計(jì)算每個(gè)獨(dú)立的部分的累計(jì)離差

式中，和分別是是第m個(gè)時(shí)間序列的累計(jì)離差和樣本均值。③計(jì)算每個(gè)獨(dú)立部分的極差：R(m)=max(Xt,m)-min)(Xt,m)④為求出時(shí)獨(dú)立部分長度N的數(shù)據(jù)段重標(biāo)極差的模糊值，必須計(jì)算出重標(biāo)極差的平均值R(m)/S(m)。⑤把k（n/N）個(gè)重標(biāo)極差R(m)/S(m)的均值視作各獨(dú)立部分長度為N的數(shù)據(jù)段重標(biāo)極差的模糊值。⑥利用個(gè)獨(dú)立部分的時(shí)間增量N，并且通過步驟a～e可計(jì)算出大量的R/S值，再利用一下公式

計(jì)算出Aq的值，式中n為個(gè)獨(dú)立部分的樣本數(shù)量，將log（n）設(shè)為橫坐標(biāo)，將Aq設(shè)為縱坐標(biāo)，根絕計(jì)算出的多組數(shù)據(jù)就可以畫出Aq曲線來。

由于信號的特性不同，Aq曲線也展現(xiàn)出不同的變化規(guī)律。

對于周期性強(qiáng)的信號，Aq曲線表現(xiàn)為增函數(shù)，且斜率較大，這也代表著周期信號具有較好的記憶特性；對于周期性較弱的信號則Vn曲線雖還是增函數(shù)，但斜率變小，記憶特性變差；對于隨機(jī)性強(qiáng)的信號，Aq曲線表現(xiàn)為減函數(shù)，隨機(jī)性越強(qiáng)則斜率越小，這代表著隨機(jī)時(shí)序信號的記憶特性將不會(huì)產(chǎn)生。

2 仿真數(shù)據(jù)分析

本文先采用仿真信號對Hurst指數(shù)、Aq曲線的算法進(jìn)行了驗(yàn)證，繼而用優(yōu)化后的算法對軸承內(nèi)圈故障信號進(jìn)行分析并得到相應(yīng)的分析結(jié)果。以揭示信號所對應(yīng)的Hurst指數(shù)、Aq曲線與信號之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（1）周期性的正弦信號。文章提供了單一正弦仿真信號，求出其Hurst指數(shù)，如表1和表2所示。表中數(shù)據(jù)說明Hurst指數(shù)與信號的頻率相關(guān)性很大，與信號的幅值相關(guān)性不大。隨著仿真信號的頻率增大，意味著信號在同一時(shí)域區(qū)間，波峰至波谷的翻轉(zhuǎn)次數(shù)明顯增多，即信號的“反持續(xù)性”逐漸增強(qiáng)，因此Hurst指數(shù)將逐漸變小。

表1 10赫茲正弦信號的Hurst指數(shù)

表2 不同頻率的正弦信號的Hurst指數(shù)

圖1所描述的是時(shí)序仿真信號y=sin(X)經(jīng)R/S分析后的結(jié)果。圖（a）的斜率對應(yīng)的是Hurst指數(shù)，圖（b）代表其對應(yīng)的Aq曲線。

圖1 正弦函數(shù)的變標(biāo)度極差分析

經(jīng)過R/S分析可得到如下結(jié)論：如圖1所示，圖1（a）的斜率對應(yīng)的是該信號的Hurst指數(shù)，Hurst指數(shù)H=0.8080，同時(shí)該曲線表現(xiàn)出持久的上升趨勢，曲線的上升斜率很大，且無明顯的、很大的突變。說明該信號具有很強(qiáng)的記憶性、持久性、穩(wěn)定性。

如圖1所示，圖1（b）是Aq曲線圖，Aq值隨著log（n）的增加而呈拋物線形，這符合周期信號的固有特性，表明時(shí)序信號的記憶特性并不會(huì)消弱。

綜合來看，可以說明周期性信號的膚質(zhì)變化規(guī)則是有規(guī)律可循的，而且非常穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的失穩(wěn)震蕩現(xiàn)象，其未來的發(fā)展趨勢與已知時(shí)間段內(nèi)的信號的外形特征非常相似。

（2）隨機(jī)信號的分析。利用Matlab軟件函數(shù)庫，選用隨機(jī)信號為“1-2*rand（1，4000）”，并計(jì)算出信號的Hurst指數(shù)。如表3所示，因?yàn)檐浖看紊傻碾S機(jī)信號是不同的，因此每次計(jì)算的Hurst指數(shù)均不同，但是軟件每次計(jì)算得到的Hurst指數(shù)差別不大，因此足以用來表征隨機(jī)信號的分形特征。

表3 隨機(jī)號及其對應(yīng)的Hurst指數(shù)

圖2 隨機(jī)信號的變標(biāo)度極差分析

經(jīng)過R/S分析可得到如下結(jié)論：（1）如圖2所示，圖2（a）的斜率對應(yīng)的是該信號的Hurst指數(shù)，Hurst指數(shù)在0.3253至0.3921之間，該參數(shù)小于0.5，說明原始信號形態(tài)比較復(fù)雜、粗糙。該曲線表現(xiàn)出持久的增長趨勢，且無明顯的、很大的突變，但因曲線斜率小于0.5，因此該信號的記憶性不好，這與隨機(jī)信號的本身特點(diǎn)是相符的。（2）如圖1所示，圖2（b）是Vn曲線，一直處于下降狀態(tài)，曲線的下降斜率很大，也無明顯的、很大的突變發(fā)生，這代表著時(shí)序信號的記憶特性將減弱或消失，這與隨機(jī)信號的本身特點(diǎn)也是相符的。

綜合來看，可以說明隨機(jī)信號在未來的無窮長的時(shí)間段內(nèi)，其幅值的變化規(guī)則是非常不穩(wěn)定的，其未來的變化與已知時(shí)間段內(nèi)信號的外形特征無關(guān)聯(lián)?？傮w上，隨機(jī)信號的Hurst指數(shù)與Vn曲線所表明的信號特征符合隨機(jī)函數(shù)本身的特點(diǎn)。

3 美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)分析結(jié)果

文章所采用的滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為Case Western Reserve University Bearing Data center的探傷測試數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)中心無償提供大量的滾動(dòng)軸承正常及故障數(shù)據(jù)。文章所采用的實(shí)驗(yàn)工況是：電機(jī)負(fù)載為3HP，轉(zhuǎn)速為1730r/min，采樣頻率fs=12kHz，取樣24萬點(diǎn)。文章采用工況下軸承內(nèi)圈單點(diǎn)故障引起的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)和正常軸承的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、對比。

表4 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障的Hurst指數(shù)

圖3 正常數(shù)據(jù)和滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障的Aq曲線

經(jīng)過R/S分析可得到如下結(jié)論：如圖3所示，圖3（a）代表正常信號的Aq曲線（引用的數(shù)據(jù)編號為為99.mat）。該Aq曲線初始的Aq值為0.7至0.75之間，曲線初段先小幅下降再小幅上升，說明原始信號具有弱周期性。當(dāng)分析的數(shù)據(jù)量達(dá)到5000點(diǎn)后，Aq曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，拐點(diǎn)處Aq值為0.75，然后曲線開始下降，并且下降斜率很大，這說明隨著分析數(shù)據(jù)的增多，信號出現(xiàn)較強(qiáng)的隨機(jī)性。這一現(xiàn)象可以理解為，正常信號以5000點(diǎn)為一個(gè)小的循環(huán)段，在該時(shí)段內(nèi)信號表現(xiàn)出弱周期性，當(dāng)大于該時(shí)段后，表現(xiàn)出強(qiáng)隨機(jī)性。

因?yàn)檩S承處于正常運(yùn)行狀態(tài)，沒有固定的故障干擾，因此其振動(dòng)信號在短的時(shí)段內(nèi)存在弱的周期性，而在長的時(shí)段內(nèi)以隨機(jī)性為主。圖3（a）中的Aq曲線所表現(xiàn)出的諸特性與數(shù)據(jù)的實(shí)際情況相符。

如圖3所示，圖3（b）代表內(nèi)圈故障信號的Aq曲線（引用的數(shù)據(jù)編號為為3004.mat）。該Aq曲線初始值為0.75至0.8之間，曲線初段先小幅下降，當(dāng)分析的數(shù)據(jù)量達(dá)到3000點(diǎn)左右時(shí)，Aq曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)（如圖中箭頭所指），拐點(diǎn)處Aq值為0.75。接著曲線再小幅下降，曲線整體的下降斜率較小。

曲線整體形態(tài)與隨機(jī)信號相似。這說明，此故障屬于早期故障，故障引起的周期性振動(dòng)很小，因此整體形態(tài)更像隨機(jī)信號的Aq曲線，與周期信號的形態(tài)相距甚遠(yuǎn)；但正是因?yàn)槲⑷豕收系目陀^存在，才造成曲線中拐點(diǎn)的存在。圖3中子圖（b）中的拐點(diǎn)，說明信號在短的時(shí)段內(nèi)周期性很明確，即一定對應(yīng)有內(nèi)圈故障。而在更長的時(shí)段內(nèi)，曲線以較小斜率下降，說明信號的弱隨機(jī)性很明顯。這也說明在未來的長時(shí)段內(nèi)信號的周期性不明顯，即故障信號并不會(huì)快速演變?yōu)閺?qiáng)故障信號。

4 結(jié)語

通過文章的仿真和實(shí)驗(yàn)證明，利用變標(biāo)度極差分析法對滾動(dòng)軸承內(nèi)圈微弱故障進(jìn)行分析和預(yù)測去得了很好的效果。通過R/S分析法的Hurst指數(shù)的算法，并進(jìn)一步分析仿真時(shí)時(shí)序信號，表明將Hurst指數(shù)與Aq～log(n)曲線進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，完全可以預(yù)測信號在未來的發(fā)展變化趨勢，為滾動(dòng)軸承的故障診斷和預(yù)測提供了有利保證。

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