周繼振， 許 峰

(安徽理工大學理學院數(shù)學系，安徽淮南232001)

1 對數(shù)的歷史和自然對數(shù)

現(xiàn)在的高中數(shù)學教課書，都是先介紹指數(shù)函數(shù)，然后以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)形式來介紹對數(shù)函數(shù). 但歷史的次序恰好相反，那就是先出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)，然后以對數(shù)函數(shù)反函數(shù)的形式研究指數(shù)函數(shù). 其中，自然對數(shù)的出現(xiàn)，與數(shù)學分析的發(fā)展密不可分.

對數(shù)函數(shù)的基本思想萌芽于古希臘阿基米德時代，產(chǎn)生于16世紀，完善于18世紀. 15和16世紀天文學的飛速發(fā)展需要對很多的數(shù)據(jù)進行乘、除、乘方和開方運算，繁難的運算使得科學家迫切需要找到一種簡便的計算方法，對數(shù)的出現(xiàn)有了歷史的需要. 第一個對對數(shù)的產(chǎn)生做出了實質(zhì)性貢獻的是德國數(shù)學家史蒂非，他的發(fā)現(xiàn)為對數(shù)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ). 1617年，英國天文愛好者兼數(shù)學家納皮爾出版了《奇妙的對數(shù)定理的說明書》， 標志著對數(shù)理論的產(chǎn)生. 與納皮爾幾乎同時獨立發(fā)現(xiàn)對數(shù)的還有瑞士的一個鐘表匠比爾吉，他用了8年時間編出了世界上最早的對數(shù)表，但他長期不發(fā)表它. 直到1620年，在開普勒的懇求下才發(fā)表出來，這時納皮爾的對數(shù)已聞名全歐洲了.

大名鼎鼎的牛頓后來也研究過對數(shù). 現(xiàn)在的對數(shù)記號是大數(shù)學家歐拉在1748年引入的，他首先開始了對指數(shù)函數(shù)做深入的研究. 復變函數(shù)的建立，使得人們對對數(shù)有了徹底的了解.

設(shè)a,x>0，以a為底的x對數(shù)函數(shù)可表示為logax.自然對數(shù)就是底a取e，其中e是一個超越無理數(shù)，約為2.71828. e可以通過對數(shù)列取極限得到，即

自然對數(shù)有一個專用記號：ln，其中l(wèi)和n分別是log和natural的第一個字母.

2 自然對數(shù)與積分

積分的幾何意義告訴我們，由曲線y=1/x，x=1，x=x>0和x軸所圍成的圖形面積可以用積分

(1)

來表示. 顯然(1)是一個變上限函數(shù)，1/x的原函數(shù)是自然對數(shù)函數(shù). 為什么(1)式就是一個自然對數(shù)呢，我們需要證明它滿足對數(shù)的主要性質(zhì)：

F(a)+Fb=Fab.

(2)

下面來證明(2)式是成立的.

根據(jù)變上限函數(shù)的導數(shù)公式可以得到

(3)

下面令a>0，記w=f(x)=ax，記G(x)=F(ax)=F(w). 運用導數(shù)的復合求導法則可得G′(x)=F′(w)f′(x)，考慮到(3)式和f′(x)=a可得

這就證明了F(x)和G(x)有相同的導數(shù). 根據(jù)拉格朗日中值定理可得F(x)和G(x)之間僅相差一個常數(shù)C，即

G(x)=F(x)+C.

為了求出常數(shù)C，只要令x=1. 由定義(1)，可得F(1)=0，這是因為所定義的積分在x=1處上、下限相等. 故得到C=F(a). 所以對任何的x>0，可得

F(ax)=F(a)+F(x).

(4)

再次令x=b，可得到公式(2).

特別地，令a=x，可依次得到

lnx2=2lnx,

lnx3=3lnx,

……

lnxn=nlnx.

上式說明，當x的值遞增時，lnx的值趨于無窮. 另一方面，注意到對任意的x，有

由此可得公式

(5)

最后，對任何的有理數(shù)r=p/q，這里p，q是兩個互質(zhì)的整數(shù)，容易得到

qlnxr=lnxq r=lnxp=plnx.

這就給出了

lnxr=rlnx.

(6)

注意到無理數(shù)可以用一列有理數(shù)來逼近且lnx是連續(xù)函數(shù)，故對任意的實數(shù)r，(6)式都是成立的.

顯然，ln1=0. 因為lnx是x的單調(diào)連續(xù)函數(shù)，當x增大時lnx趨于無窮. 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，必然存在一個大于1的數(shù)，使得當x取此值時lnx=1. 按照歐拉的作法，這個數(shù)稱為e. 這樣從方程

ln e=1

(7)

出發(fā)，我們得到了e必然存在這一事實.

3 自然對數(shù)與素數(shù)分布

數(shù)論一直是數(shù)學的核心研究內(nèi)容之一，高斯稱數(shù)論是數(shù)學的皇后，數(shù)論中最基本、最重要的一類問題是素數(shù)問題. 若大于1的正整數(shù)p，它除了1和自身外沒有因子，則稱p是素數(shù). 我們需要對因子作一點說明，設(shè)有三個正整數(shù)a，b和c，若滿足a=bc，則稱整數(shù)b是整數(shù)a的因子或除數(shù). 例如2,3,5,7是素數(shù)，但6就不是素數(shù)，因為6有2和3兩個因子. 關(guān)于素數(shù)的猜想中，最著名的莫過于哥德巴赫猜想，該猜想的內(nèi)容是大于2的任意一個偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和. 簡單的可以將哥德巴赫猜想陳述為1+1=2，該猜想的最好結(jié)果是有中國數(shù)學家陳景潤證明的1+2=3，就是說：每一個充分大的偶數(shù)是一個素數(shù)和另一個至多為2素數(shù)乘積的和. 關(guān)于素數(shù)的問題中，人們自然要問素數(shù)有多少個，歐幾里得給出的答案是：無窮多個. 歐幾里得用的證明是數(shù)學推理的一個典范. 素數(shù)盡管有無窮多個，但是它的分布卻是極不規(guī)則的，見本節(jié)最后的一個結(jié)論. 對于自然數(shù)n，用An表示整數(shù)1,2,3，…，n中素數(shù)的個數(shù). 直接計算可得An的前幾個值：A5=A6=3，A7=A8=A9=A10=4，A11=A12=5，A13=A14=A15=A16=6，A17=A18=7，A19=8等等.

可以看到，隨著n的增大，An也是增大的，但增長的比較緩慢. 若取n為一個無限遞增的序列，例如

n=10, 102, 103,…，

則其對應(yīng)的An的值A(chǔ)10,A102,A103,…，它也無限增加. 因為素數(shù)的個數(shù)是無限的，所以An將趨向于無窮. 若用比值A(chǔ)n/n表示前n個自然數(shù)中素數(shù)的“密度”，讓人意想不到的是該 “密度”和對數(shù)函數(shù)有密切的聯(lián)系. 數(shù)學王子高斯通過手工計算，發(fā)現(xiàn)了素數(shù)定理，即

(8)

這個比值所服從的簡單規(guī)律，是整個數(shù)學中最著名的發(fā)現(xiàn)之一. 但高斯沒有給出該定理的證明，直到一百多年后，阿達瑪和瓦萊·布桑才給出定理的一個完整證明. 由(8)式可以得到一個結(jié)論：對任意給定的正整數(shù)m，必存在一個自然數(shù)k0，使得k0+1,k0+2,…,k0+m中不含素數(shù). 實際上，假設(shè)這樣的k0不存在，則對任意自然數(shù)k，k+1,k+2,…,k+m中都至少含有一個素數(shù). 故對任意的整數(shù)j，1到j(luò)m中至少含有j個素數(shù). 這就給出了估計：

所以，

這與(8)式是矛盾的.

4 自然對數(shù)與調(diào)和級數(shù)

則當n→∞時，sn和lnn僅相差一個常數(shù)，下面給出證明. 利用微積分的基本知識容易證明不等式

(9)

根據(jù)(9)式的右端不等式得

由(9)式的左端不等式得

由上面的兩個估計式得

lnn+1

根據(jù)微積分中的夾逼準則可得

[參 考 文 獻]

[1] 柯朗 R，羅賓 H. 什么是數(shù)學[M].斯圖爾特·I修訂. 左平，張飴慈譯.上海:復旦大學出版社，2005：579-582.

[2] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析[M]. 4版. 北京:高等教育出版社，2010：3-4.