金少華， 王金環(huán)， 邢小玉， 宛艷萍， 王 東

(河北工業(yè)大學(xué)，天津300401)

微積分是理工科大學(xué)生的一門非常重要的基礎(chǔ)課.在微積分的教學(xué)過程中，正面臨著一個無法回避卻又日益突出的矛盾：一方面，微積分課的學(xué)時普遍減少；另一方面，后續(xù)專業(yè)課及考研對學(xué)生學(xué)習(xí)這門課又有很高的要求.本文給出了微積分中求未定式極限時需注意采取的一個措施及由微分方程的通解求相應(yīng)的微分方程的一般方法，并給出了算例，希望對讀者能有所啟發(fā).

求未定式的極限是微積分教學(xué)中的一個重要內(nèi)容.我們知道洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但不是萬能的，而且也未必是最簡捷的，所以在求未定式的極限時能化簡應(yīng)盡可能先化簡，可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可以使運(yùn)算簡捷[1].這里指出：當(dāng)未定式的分子或分母中出現(xiàn)f(b)-f(a)的形式時，先使用拉格朗日中值定理將f(b)-f(a)表為f′(ξ)(b-a)，一般情況下比直接用洛必達(dá)法則能大大降低題目的難度及復(fù)雜程度.

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分析 本題含抽象函數(shù)f(x)，而且對f(x)除已知極限式外無任何信息，對本題不能使用洛必達(dá)法則.將cosx的帶Peano余項的4階麥克勞林公式代入已知極限式，是解此題的簡捷方法.

注 在已知極限式中，設(shè)法分離出所要求的極限式，這是本題求解的關(guān)鍵所在.

下面用這種方法處理2008年全國考研數(shù)學(xué)一真題的第15題.

微分方程在幾何、物理及數(shù)學(xué)建模中有重要應(yīng)用[2].下面給出由微分方程的通解求相應(yīng)的微分方程的一般方法.由于常微分方程的階數(shù)、常微分方程中所出現(xiàn)未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、常微分方程通解中任意常數(shù)的個數(shù)及常微分方程初始條件的個數(shù)這四者是相等的，故應(yīng)從常微分方程通解中所含任意常數(shù)的個數(shù)n確定方程的階數(shù)n，對通解y=fx,c1,…,cn連續(xù)對x求導(dǎo)n次，得方程組

由該方程組解出c1,…,cn(用x,y′,…,y(n)表示)，并將其代入通解的表達(dá)式y(tǒng)=fx,c1,…,cn，便得所求方程.

例6求以函數(shù)x-c12+(y-c2)2=c2為通解的微分方程，其中c1,c2與c均為任意常數(shù).

解在x-c12+(y-c2)2=c2中含有三個任意常數(shù)，所求方程必為三階微分方程，因此必須將該式兩邊對x連續(xù)求導(dǎo)三次，得

x-c1+(y-c2)y′=0,

1+(y-c2)y″+y′2=0,

(1)

(y-c2)y?+3y′y″=0.

(2)

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分[M].北京：高等教育出版社,2002.

[2] 高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會本科組.高等數(shù)學(xué)釋疑解難[M].北京：高等教育出版社,1992.