唐 敦

(中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京100080)

行列式計(jì)算是數(shù)值計(jì)算的基本問(wèn)題之一.如果方陣僅對(duì)角線位置處元素非0，則稱為對(duì)角陣；如果僅對(duì)角線及次對(duì)角線處元素非0，則稱為三對(duì)角陣；依次類推定義五對(duì)角、七對(duì)角陣，等.我們知道，微分方程(組)是自然科學(xué)和工程設(shè)計(jì)的主要描述方式，在社會(huì)科學(xué)(如經(jīng)濟(jì)學(xué))中也發(fā)揮著日益重要的作用.對(duì)這些微分方程離散化后得到的矩陣，往往都是對(duì)角陣，且每一條對(duì)角、次對(duì)角線上的元素分別相等.以下我們將研究的，就是這樣的五對(duì)角、七對(duì)角方陣的行列式[1].

目前已有的研究工作大多是關(guān)于三對(duì)角行列式的.例如，孫家昶院士于1982年提出一種計(jì)算三對(duì)角行列式的方法[2].2002年，楊勝良研究了該行列式的一種特例，并提出了這種三對(duì)角行列式在諸多問(wèn)題中的應(yīng)用[3].關(guān)于五對(duì)角行列式，藺大正于1986年的一篇論文[4]中，計(jì)算了對(duì)角線、次對(duì)角線、次次對(duì)角線元素分別相等時(shí)該行列式序列的值.為此，他定義了另外兩個(gè)形式的行列式序列，得出遞推關(guān)系，用母函數(shù)法求解通項(xiàng)公式的求法，其表達(dá)式和證明都比較繁瑣，而且通項(xiàng)公式不是顯式的.對(duì)于某些特殊的五對(duì)角行列式，則不斷有研究成果[5-7].此外，我們沒(méi)有查到任何關(guān)于七對(duì)角行列式的結(jié)論.事實(shí)上，如后文可見(jiàn)，遞推關(guān)系式相應(yīng)的特征多項(xiàng)式的階次高于五次，一般而言不能公式求解，因此很難得到顯式的通項(xiàng)公式.有一些研究者進(jìn)而轉(zhuǎn)為探討計(jì)算機(jī)求解的算法[8].本文注意到特征多項(xiàng)式可以通過(guò)一個(gè)變換降次，因而得到顯式通項(xiàng)公式.

考慮以下形式的n階五對(duì)角行列式

定義如下兩個(gè)相關(guān)的五對(duì)角行列式序列，其中以星號(hào)(*)表示與An同結(jié)構(gòu)的方陣，

按照第一列進(jìn)行Laplace展開(kāi)，可以得到

An=aAn-1-bBn-1+cCn-1，

Bn=dAn-1-beAn-2+ceBn-2,

Cn=dBn-1-aeAn-2+ce2An-3.

將Cn的表達(dá)式代入，可得

An-aAn-1+aceAn-3-c2e2An-4+bBn-1-cdBn-2=0.

該表達(dá)式移位后可得

ceAn-2-aceAn-3+ac2e2An-5-c3e3An-6+ce(bBn-3-cdBn-3)=0.

而由Bn的表達(dá)式可以推出

bBn-1-cdBn-2=bdAn-2-(b2e+cd2)An-3+bcdeAn-4+ce(bBn-3-cdBn-4).

結(jié)合這兩個(gè)式子，可以得到關(guān)于An的遞推表達(dá)式

An-aAn-1+(bd-ce)An-2+(2ace-b2e-cd2)An-3+ce(bd-ce)An-4-ac2e2An-5+c3e3An-6=0.

于是，其特征多項(xiàng)式為

λ6-aλ5+(bd-ce)λ4+(2ace-b2e-cd2)λ3+ce(bd-ce)λ2-ac2e2λ+c3e3=0.

t3-at2+(bd-4ce)t+(4ace-b2e-cd2)=0.

由卡爾丹公式可以得到這些根的顯式表達(dá)式為

其中

相應(yīng)地，得到特征多項(xiàng)式的根為

因此，如果沒(méi)有重根，則行列式為

其中系數(shù)αi可利用前幾階行列式求出，具體求法參照以下對(duì)稱五對(duì)角行列式的公式.

A0=1,A1=a,A2=a2-bd,A3=a3-2abd+cd2+b2e-ace,

A4=a4+a2(-3bd-2ec)+2a(b2e+cd2)+(bd-ce)2,

A5=a5-a3(4bd+3ce)+3a2(b2e+cd2)+a(3b2d2-2bcde+2e2c2)+(ce-2bd)(b2e+cd2).

作為特例，分析對(duì)稱五對(duì)角行列式，即d=b,e=c時(shí)，上述表達(dá)式可以簡(jiǎn)化.事實(shí)上，類似上面的推導(dǎo)，可以得到五個(gè)特征根為

其中

A0=1,A1=a,A2=a2-b2,A3=a3-2ab2+2b2c-ac2,

A4=a4-a2(3b2+2c2)+4ab2c+(b2-c2)2.

以此為例說(shuō)明系數(shù)的求法.事實(shí)上，有

由于其系數(shù)矩陣為范德蒙形式的，可以通過(guò)計(jì)算得到

其中

其它系數(shù)輪換表達(dá)式即可得到.

現(xiàn)在考慮對(duì)稱七對(duì)角行列式.

定義如下七個(gè)相關(guān)的七對(duì)角行列式序列，

對(duì)各行列式進(jìn)行一到兩次Laplace展開(kāi)，可以得到

An=aAn-1-bBn-1+cCn-1-dDn-1,

Bn=bAn-1+c2Bn-2-cdCn-2-cdEn-2+d2Fn-2-bHn-1,

Cn=bBn-1-cEn-1+dFn-1,

Dn=bCn-1-cFn-1+dGn-1,

En=aAn-1+cdBn-2-d2En-2-cHn-1,

Fn=-bd2An-3+aBn-1-bHn-1+cdHn-2+d3Hn-3,

Gn=-b2An-2-ad2An-3+d4An-4+aEn-1+2bdHn-2,

Hn=cAn-1-dBn-1.

為得到其特征多項(xiàng)式，設(shè)

代入遞推關(guān)系式，得到

此式有非0解的充要條件是系數(shù)方陣行列式為0，于是得到

(λ-c)(λ6-cλ5+bdλ4-ad2λ3+bd3λ2-cd4λ+d6)[λ8+(2c-a)λ7

+(b2+2c2+d2-2ac-2bd)λ6+(-ac2-ad2+2c3+2abd+2cd2)λ5

+(a2d2+2b2d2+4c2d2+c4-4bc2d-4bd3)λ4

+(2abd3-ac2d2-ad4-4bcd3+2c3d2+2cd4)λ3

+(-2acd4-2bd5+b2d4+2c2d4+d6)λ2+(c-a)d6λ+d8]=0.

(λ-c)[t3-ct2+(-3d2+bd)t+(2c-a)d2][t4+Kt3+Lt2+Mt+N]=0,

其中

K=2c-a,L=2c2-3d2-2bd+b2-2ac,

M=-4cd2+2ad2-4bcd-ac2+2abd+2c3,

N=4d4+4acd2-4bc2d+a2d2+c4.

進(jìn)一步記

以及

可以得到，

運(yùn)用上面的公式給出幾個(gè)典型算例.在文獻(xiàn)[4]的最后，作者指出形如

的行列式可用其方法求出，但文中并未給出表達(dá)式.

容易由前面的公式算出6個(gè)根分別為

由于有重根，其通項(xiàng)公式為

通過(guò)計(jì)算A0,…,A5,容易算出各項(xiàng)系數(shù)為

因此，通項(xiàng)公式為

再考慮一個(gè)對(duì)稱五對(duì)角陣的行列式

該行列式可用前面的公式算出5個(gè)根均為1.因此，通項(xiàng)公式為

An=α1+α2n+α3n2+α4n3+α5n4.

容易知道

A0=1,A1=6,A2=20,A3=50,A4=105,

由此計(jì)算可知系數(shù)為

故顯式通項(xiàng)公式為

容易驗(yàn)證，次對(duì)角線上的-4改成4時(shí)，5個(gè)根以及最低階的5個(gè)行列式均不變，因此，相應(yīng)的對(duì)稱五對(duì)角行列式也不變，這與文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果是一致的.但我們指出，[1,-4,6,-4,1]是對(duì)uxxxx作有限差分時(shí)產(chǎn)生的系數(shù)，因此更有直接應(yīng)用的價(jià)值.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 許以超.線性代數(shù)與矩陣論[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[2] 孫家昶. 三對(duì)角線陣行列式恒等式及應(yīng)用[J].計(jì)算數(shù)學(xué), 1982, 4(3):323-327.

[3] 楊勝良. 三對(duì)角行列式及其應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，2002, 18(2):102-104.

[4] 藺大正. 關(guān)于一類五對(duì)角行列式[J]. 新疆大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1986，3(1):99-103.

[5] Marr R B, Vineyard G H. Five-diagonal Toeplitz determinants and their relation to Chebychev polynomials [J]. SIAM J Matrix Anal Appl,1988, 9(4): 579-586.

[6] Seibert J. The determinant of a special five-diagonal matrix and the Fibonacci polynomials[J]. Int. J. Pure Appl. Math, 2013, 84(2):123-131.

[7] Lv X G, Huang T Z, Le J. A note on computing the inverse and the determinant of a pentadiagonal Toeplitz matrix [J]. Appl Math Comput, 2008, 206(1): 327-331.

[8] Zhao X L, Huang T Z. On the inverse of a general pentadiagonal matrix [J]. Appl Math Comput, 2008, 202(2): 639-646.