鐘 梅

(嘉應學院數(shù)學學院，廣東梅州514015)

美國數(shù)學家Peirce曾說：“數(shù)學是產(chǎn)生必要結(jié)論的科學”，數(shù)學離不開“結(jié)論”，離不開“證明”.而高等代數(shù)這門課程具有概念多、抽象度高、論證量大的特點，結(jié)論、證明幾乎充滿了它的每一章、每一節(jié)，這些結(jié)論支撐了高等代數(shù)的理論體系，相應的證明則建立這理論體系的內(nèi)在聯(lián)系及邏輯關系.所以這些“結(jié)論及證明”的教學是高等代數(shù)教學極其重要的一部分，是需要也值得我們思考和探討的.

1 結(jié)論及證明的教學方向

高等代數(shù)是大學本科數(shù)學各個專業(yè)的主干基礎課，是數(shù)學在其他學科應用的基礎課，也是數(shù)學修養(yǎng)的核心課程.而結(jié)論與證明作為高等代數(shù)的知識體系中的重要部分，有它的角色，有它的作用.因此，對高等代數(shù)結(jié)論及證明的教學，教師要有相應的努力方向.我們簡稱之為教學方向.

1.1 幫助學生建構(gòu)自己對高等代數(shù)知識的理解

結(jié)論及證明作為高等代數(shù)內(nèi)容的重要組成部分，其教學方向應是幫助學生深入地理解結(jié)論與證明本身；幫助學生建立概念、結(jié)論、方法之間的邏輯關系；幫助學生尋找新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而使學生更好地了解高等代數(shù)課程的結(jié)構(gòu)和特點，最終使學生能系統(tǒng)化所獲得的高等代數(shù)知識，能建構(gòu)自己對高等代數(shù)的理解.

1.2 引導學生學習論證問題的方法

高等代數(shù)的開設時間常常是大學一年級的第一學期，這給已經(jīng)習慣中學數(shù)學學習模式的學生帶來很多困難.而學生普遍感到“困難”的是“證明”，一是很多結(jié)論的證明難理解，二是習題的證明無方法.所以結(jié)論及證明的教學僅僅講清結(jié)論以及證明推導的邏輯步驟是不夠的.Bourbaki學派指出：“每一個數(shù)學工作者都知道，單是驗證了一個數(shù)學證明的逐步邏輯推導，卻沒有洞察獲得這一連串推導的背后意念，并不算理解了那個證明.”因此，結(jié)論及證明的教學方向還應是教師在創(chuàng)設的教學情境中，注意引導學生從中體會、學習論證問題的思想、方法，從而能應用所學的證明方法.結(jié)論及證明的教學應是學生學習論證方法的過程和渠道.

1.3 帶領學生品味結(jié)論及證明的發(fā)現(xiàn)過程

高等代數(shù)是專業(yè)的基礎課程，同時也是數(shù)學修養(yǎng)的核心課程，它承載的不僅僅是高等代數(shù)的知識.日本的數(shù)學教育家米山國藏認為：“無論是對科學工作者、技術人員還是數(shù)學工作者，最重要的就是數(shù)學的精神、思想和方法，而數(shù)學知識只是第二位的.”所以結(jié)論及證明的教學方向還應是帶領學生品味發(fā)現(xiàn)結(jié)論本身及其證明所用思想方法的過程，從而提高學生的數(shù)學修養(yǎng).

2 結(jié)論及證明的教學過程

對于結(jié)論及其證明的講授，傳統(tǒng)的方法主要是介紹結(jié)論然后講解結(jié)論的證明過程，這種相對單一的講授模式既不能給予學生更有效地幫助，也不符合教學方向，更不能達到我們的教學目標.所以對結(jié)論及證明，尤其是一些經(jīng)典的結(jié)論及證明，我們的教學過程要多視角.

2.1 視角一 ——結(jié)論產(chǎn)生的背景

任何一個結(jié)論的產(chǎn)生都有其背景，或是實際問題的背景，或是其它學科的問題背景，或是相應的數(shù)學問題的背景等等.讓學生了解這些背景有利于學生從直觀上、情感上接受結(jié)論的內(nèi)容，從而有利于學生記憶結(jié)論、理解結(jié)論、應用結(jié)論.如

結(jié)論1[1]設W1和W2都是數(shù)域F上向量空間V的有限維子空間， 那么W1+W2也是有限維的，并且

dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2).

這個結(jié)論我們可從分析解析幾何的三維空間V3的兩個相交平面π1,π2入手，由

dim(π1+π2)=3, dimπ1=2, dimπ2=2 及 dim(π1∩π2)=1，

得

dim(π1+π2)=dimπ1+dimπ2-dim(π1∩π2).

由此推想對一般向量空間是否有相應的結(jié)論1.

類似地，由整數(shù)的一些結(jié)論推想多項式的相關結(jié)論，由正交變換與正交矩陣的關系的一些結(jié)論推想對稱變換與對稱矩陣的關系的相關結(jié)論等等.

2.2 視角二——證明方法的發(fā)現(xiàn)

雖然結(jié)論的證明方法常常不是教師原創(chuàng)的，但教師還是要給選擇這種證明方法一個引導、一個啟發(fā)或一個合理的解釋.讓學生感到自然可接受，同時也讓學生從中學習證明時選擇恰當方法的一些基本思考方式.

如結(jié)論1是討論四個子空間W1,W2,W1∩W2,W1+W2的維數(shù)的關系，而維數(shù)的討論常常離不開基，所以如果我們能夠建立這四個子空間基的關系，或許我們就可以得出他們的維數(shù)的關系式.為了建立這四個子空間的基密切關系，引導學生思考是否應先設出最小的子空間W1∩W2的基，再利用基的擴充定理分別得到W1,W2得基，從而分析猜測出W1+W2的基.這樣基本的證明方法就呈現(xiàn)出來了.

2.3 視角三——證明的整體架構(gòu)

講授定理證明的具體過程之前，要講清證明方法的整體架構(gòu)，讓學生對定理的證明方法有一個宏觀的、粗線條的認識.這對學生理解、學習、應用結(jié)論的證明方法有很大幫助.

如結(jié)論1的證明的整體架構(gòu)可表示如下：

2.4 視角四——證明的關鍵點

每個定理的證明過程中，都有一兩步關鍵的地方，一旦這關鍵點被突破，整個證明就豁然開朗，一蹴而就.教師在講解證明的過程中一定要講清并強調(diào)此處，這也幫助學生提煉、積累證明的技巧.

如結(jié)論1的證明過程的關鍵點就是向量組α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt線性無關.只要引導學生給出這一步的證明，再由α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt為W1+W2的生成元就得出α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt為W1+W2的基.這樣不僅完成了證明也讓學生再次體驗向量組線性無關的證明方法.

3 結(jié)論及證明的教學拓展

結(jié)論及證明的教學過程完成后，我們還要在高等代數(shù)教學的各個環(huán)節(jié)中，進一步引導學生深入地思考并動手操作有關結(jié)論及證明的一些問題，從而能更好的完成我們的教學目標.

3.1 證明方法的學習與應用

每一個結(jié)論的證明都有相應的方法，有些結(jié)論的證明方法還有一定的普適性，所以結(jié)論的證明完成后，要及時總結(jié)，適時應用.可能的話留一些恰當?shù)念}目讓學生應用所學的證明方法去解決，一方面有利于學生加深對定理的理解，另一方面也讓學生體會到這一方法應用的一般規(guī)律.

如結(jié)論1的證明結(jié)束后，討論下面的結(jié)論2就可利用結(jié)論1的方法.

結(jié)論2[1]n維向量空間V的任意一個子空間W都有余子空間.如果W′是W的余子空間，那么dimV=dimW+dimW′.

類似的，結(jié)論2的證明的基本架構(gòu)如下：

在進一步學完線性變換后，可考慮留給學生這樣的練習題目：

練習1[2]設σ是n維向量空間V的線性變換，W是V的一個子空間.證明

dimW=dimσ(W)+dim(Ker(σ)∩W).

練習1證明的基本架構(gòu)如下：

從結(jié)論1、結(jié)論2、練習1三個證明架構(gòu)中，不難發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，由此學生可提煉出這類問題證明的一類方法.

3.2 類似結(jié)論的比較

高等代數(shù)的結(jié)論多，有些結(jié)論相似又有聯(lián)系.初學時，學生易混易亂，教師有必要通過課堂講解引導或作業(yè)引導等形式，讓學生有意識的比較一些類似的結(jié)論.如以下結(jié)論：

結(jié)論3[1]設A是數(shù)域F上一個n階矩陣，則A可以對角化的充要條件是

(i)A的特征根都在F內(nèi)；

(ii) 對于A的每一特征根λ，有秩

(λI-A)=n-s，

其中s是λ的重數(shù).

結(jié)論4[1]設A是一個n階實對稱矩陣，則存在一個n階正交矩陣U，使得UTAU是實對角形.

結(jié)論5[1]設A是數(shù)域F上一個n階對稱矩陣，則總存在F上一個n階非奇異矩陣P，使得PTAP是對角形.

以上都跟對角化問題有關，相似但又有區(qū)別.所以我們要提醒學生仔細思考并比較這三個結(jié)論的條件、證明方法及具體的對角化的方法.這樣學生對這類易混亂的問題的認識和理解會更清楚準確.

3.3 同類結(jié)論的歸納

學習高等代數(shù)，嫻熟地掌握高等代數(shù)中的“結(jié)論”是非常必要的.只有這樣，在討論問題的時候，才能根據(jù)問題的具體內(nèi)容將所需要的結(jié)論信守捏來，應用自如.因此，我們同樣有必要通過各種方式，利用各種渠道讓學生養(yǎng)成對同類結(jié)論進行歸納總結(jié)的習慣.如矩陣可逆的充要條件有哪些？線性變換是正交變換的充要條件有哪些？正交矩陣有哪些性質(zhì)？等等.

高等代數(shù)的結(jié)論及證明的教學是高等代數(shù)教學的一項重要內(nèi)容，涉及高等代數(shù)教學的方方面面，是需要也值得我們花時間精力去思考與探討的.

[參 考 文 獻]

[1] 張禾瑞. 郝鈵新. 高等代數(shù)[M].5版. 北京:高等教育出版社, 2007.

[2] 白述偉. 高等代數(shù)選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2002.