(中國(guó)城鎮(zhèn)供熱協(xié)會(huì)編輯出版部，北京 100026)

自筆者在文獻(xiàn)[1]中提出一個(gè)對(duì)哥德巴赫猜想的證明后，有學(xué)者就其誤差問(wèn)題提出質(zhì)疑。提出：文獻(xiàn)[1]中有關(guān)素?cái)?shù)及哥德巴赫猜想證明中的重要規(guī)律，即在我們針對(duì)某具體素?cái)?shù)并用其去除奇數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)時(shí)，每該素?cái)?shù)個(gè)奇數(shù)對(duì)，最多會(huì)有2個(gè)含有該素?cái)?shù)的奇合數(shù)對(duì)(包括該素?cái)?shù)本身。所謂“奇合數(shù)對(duì)”，是指一對(duì)奇數(shù)(相加后等于所論偶數(shù)的兩個(gè)奇數(shù))中，只要其中一個(gè)奇數(shù)是該素?cái)?shù)或更多情況是含該素?cái)?shù)的合數(shù)即可)，也就是最多有兩個(gè)必須刪去的奇合數(shù)對(duì)。這在整除時(shí)是精確的，或在相除后的整數(shù)部分是精確的。但用素?cái)?shù)去除奇數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)時(shí)，由于通常不能整除，小數(shù)(或純分?jǐn)?shù))部分會(huì)有誤差。隨著我們從小到大地對(duì)素?cái)?shù)進(jìn)行這種先除再刪含該素?cái)?shù)因子的奇合數(shù)對(duì)(也可以說(shuō)是保留不含該素?cái)?shù)的奇數(shù)對(duì))，參與相除的素?cái)?shù)不斷增多，且不斷增大。所以盡管通常誤差會(huì)正負(fù)相消而趨于0，但也不能絕對(duì)地排除(起碼還沒(méi)有證明)極端情況下的誤差累計(jì)越來(lái)越大，以至于最終威脅到這一證明的成立與否。比如，我們有23個(gè)奇數(shù)對(duì)，被素?cái)?shù)5除，將得4又3/5。也就是整除部分為4，但還余3個(gè)奇數(shù)對(duì)。由于我們必須要在存在5個(gè)奇數(shù)對(duì)時(shí)才能確定肯定會(huì)有2個(gè)含5因子的合數(shù)對(duì)(含5本身)，現(xiàn)在只有3個(gè)奇數(shù)對(duì)，在這3個(gè)中，究竟是有1個(gè)含5因子的奇合數(shù)對(duì)，還是2個(gè)，還是沒(méi)有，無(wú)法預(yù)先確定，也似乎無(wú)法在這種從小到大的操作過(guò)程中針對(duì)各種情況總結(jié)出規(guī)律性的東西。而且即使有規(guī)律，肯定也太復(fù)雜而不直觀。還有一點(diǎn)必須說(shuō)明的，我們?cè)谟?jì)算刪去含素?cái)?shù)5因子的合數(shù)對(duì)后，所剩余的奇數(shù)對(duì)的比例為(1-2/5)=3/5，如果原先的奇數(shù)對(duì)仍為23個(gè)，要求出確定值，不能23先乘以分子上的3再除以5，這樣得到13又4/5，不對(duì)。不是13個(gè)為確定值，4個(gè)不確定。應(yīng)該是23先除以5，得4又3/5，其意義是23個(gè)奇數(shù)對(duì)中，有如果5個(gè)一組，有4組，但還有3個(gè)奇數(shù)對(duì)不能成為一個(gè)完整的組。也就是前面說(shuō)的無(wú)法一般性地確定究竟該刪去幾個(gè)(除非針對(duì)具體的偶數(shù)已經(jīng)確定的情況，但這對(duì)我們的討論沒(méi)有意義，我們研究的是針對(duì)所有偶數(shù)的情況)，也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)先除5的操作后，我們可以確定肯定是可以留下4*3=12個(gè)奇數(shù)對(duì)的，還有3個(gè)無(wú)法確定究竟是否應(yīng)該留下來(lái)。我們只能說(shuō)，這3個(gè)奇數(shù)對(duì)能否留下來(lái)的概率，每一個(gè)是3/5。3個(gè)，就是3*(3/5)=9/5=(1又4/5)。這是一個(gè)概率的概念，是不確定的。

[1]

這個(gè)從大到小的刪除(或保留)順序，宗旨是越大的素?cái)?shù)，可刪除的奇合數(shù)對(duì)占總奇數(shù)對(duì)的比率越低，也就是可保留下來(lái)的奇數(shù)對(duì)越多，這樣可以為對(duì)較小的素?cái)?shù)進(jìn)行刪除(保留)操作提供“充足的數(shù)量空間”，明確說(shuō)就是使剩下的奇數(shù)對(duì)足夠多，以滿(mǎn)足整除或除后得到的數(shù)有小數(shù)點(diǎn)前的整數(shù)部分，以致去掉小數(shù)后面的部分，也還能保證對(duì)下面更小的素?cái)?shù)的同樣的操作。

以上，通過(guò)簡(jiǎn)單、明確的說(shuō)明，應(yīng)該已經(jīng)可以徹底澄清哥德巴赫猜想證明過(guò)程中的誤差問(wèn)題。其中從大到小地刪除還是從小到大地刪除，起著決定性的作用。當(dāng)然，與“刪除”相對(duì)應(yīng)的，就是“保留”，我們刪的是合數(shù)，留的是素?cái)?shù)。沿此思路，其實(shí)我們完全還可以很好地解釋[1]式的成立。這里不想占篇幅詳細(xì)論述了，只提供一個(gè)思路：由于在[1]式中，小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)(或整數(shù)部分后面的分?jǐn)?shù))表示的是一個(gè)概率，比如，5/7，表示此時(shí)還剩5個(gè)奇數(shù)對(duì)，但如果被素?cái)?shù)7除，不夠除的，所以無(wú)法確定究竟該如何決定5個(gè)奇數(shù)對(duì)的取舍。所以，每一個(gè)奇數(shù)對(duì)，它保留的概率是5/7。在[1]式中，由于所有這些素?cái)?shù)的不能整除的分?jǐn)?shù)部分是參與連乘的關(guān)系，所以概率是累積的。但實(shí)際上，由于我們是從最大的那個(gè)素?cái)?shù)開(kāi)始操作的，這個(gè)素?cái)?shù)自乘(平方)，是小于該所論偶數(shù)的最大的奇數(shù)的，凡大于此數(shù)的，都會(huì)大于該偶數(shù)而不予考慮了，因此，所謂該刪的含該素?cái)?shù)的奇合數(shù)，它含有的其它素?cái)?shù)，只能比這個(gè)素?cái)?shù)小。也就是會(huì)在刪比這個(gè)素?cái)?shù)小的奇合數(shù)是被刪掉。同時(shí)我們前面已經(jīng)證明，按這種操作方法，都會(huì)有整數(shù)部分，因此實(shí)際保留下來(lái)的素?cái)?shù)對(duì)，應(yīng)該只能比[1]式中含概率意義的下的素?cái)?shù)對(duì)多，因此[1]式完全成立?？偟脑瓌t和思路，是先刪除含可能的最大的素?cái)?shù)組成的奇合數(shù)對(duì)，由于這個(gè)素?cái)?shù)大，所以那個(gè)含有它的奇合數(shù)對(duì)占總奇數(shù)對(duì)的比率必低，可刪的少；另一方面，也就是說(shuō)可保留的奇數(shù)對(duì)必多，下面再去對(duì)更小的素?cái)?shù)操作時(shí)，可以保證能夠逐次刪掉余下的含較大素?cái)?shù)的奇合數(shù)對(duì)。而如果先從小的素?cái)?shù)操作起，結(jié)論就比較模糊了。這個(gè)思路理解起來(lái)要復(fù)雜一些，這里只是提一下，由于哥德巴赫猜想已經(jīng)可以由前面的方法證明了，所以對(duì)這個(gè)證明的理解就不是很重要了。讀者可以略去。

至此，筆者在文獻(xiàn)[1]中對(duì)哥德巴赫猜想的證明過(guò)程中的誤差問(wèn)題，應(yīng)該得到了很好的說(shuō)明，同時(shí)本身也是一個(gè)更確切的證明。它徹底地排除了誤差問(wèn)題的困擾，無(wú)任何懸念地證明了哥德巴赫猜想。

本文請(qǐng)對(duì)照文獻(xiàn)1閱讀?？煽闯墒俏墨I(xiàn)[1]的一個(gè)補(bǔ)充，也可看成是一個(gè)補(bǔ)充證明。

最后，筆者再次強(qiáng)調(diào)，如果所有奇數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)可以被相關(guān)素?cái)?shù)整除，[1]式中連乘的每一個(gè)分式項(xiàng)的含義，就不是概率性的，而是實(shí)實(shí)在在的比例關(guān)系。比如，3/5，就意味著每5個(gè)奇數(shù)對(duì)中，就有3個(gè)不含素?cái)?shù)5為因子的奇數(shù)對(duì)。這里是確定的數(shù)目，不是概率為3/5。但是如果不能整除，最后可能有誤差(充其量少算2個(gè)奇數(shù)對(duì))，那么，考慮這個(gè)因素后，我們不妨就把連乘式[1]中的每一個(gè)分?jǐn)?shù)項(xiàng)，看成概率，而且是對(duì)整個(gè)奇數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)域都成立的概率。當(dāng)然這完全不必要。因?yàn)楦怕什糠种簧婕安荒苷男?shù)部分，也就是未能整除后剩下的那幾個(gè)奇數(shù)對(duì)才存在究竟還應(yīng)在這幾個(gè)奇數(shù)對(duì)中刪除幾個(gè)(最多2個(gè))或不刪的問(wèn)題。前面的整除部分(小數(shù)點(diǎn)左邊)刪除與保留的數(shù)目都是確定的。比如我們有3002個(gè)奇數(shù)對(duì)，其中沒(méi)有素?cái)?shù)3因子的確定的奇數(shù)對(duì)有3000乘以1/3為1000個(gè)，而其它2個(gè)不確定，要看具體情況，但其沒(méi)有素?cái)?shù)3因子的概率是1/3。但顯然，這兩個(gè)奇數(shù)對(duì)與1000相比只占很少比例，而且隨奇數(shù)對(duì)數(shù)目的增加(隨哥德巴赫猜想中所取偶數(shù)的越來(lái)越大)，所占比例(誤差)顯然會(huì)越來(lái)越少。但盡管如此，我們還是可以把概率看成對(duì)全域成立，而不僅僅是余數(shù)部分的。其原因是，所謂概率，就是隨樣本的越多，其準(zhǔn)確率越高，誤差越低。因此，在所取偶數(shù)足夠大時(shí)，誤差完全可以忽略不計(jì)，即使對(duì)全域而言也是如此(更何況只涉及很少奇數(shù)對(duì)的非整除部分(分?jǐn)?shù)或小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)))。在這個(gè)意義上，[1]式完全可以成立，本文的這幾個(gè)為了追求更為確定的非概率結(jié)果的“補(bǔ)充證明”或“說(shuō)明”，其實(shí)并不是必不可少的。唯一的目的，也就是想讓整個(gè)證明完全非概率化以增加確定性而已(代價(jià)是，在滿(mǎn)足哥德巴赫猜想的前提下，刪除了很多其實(shí)不必刪除的素?cái)?shù)對(duì))。

最后，再補(bǔ)充兩點(diǎn)說(shuō)明：1、本文中的公式[1]中，由原先的分母都是素?cái)?shù)的分?jǐn)?shù)的連乘，加進(jìn)了分母為奇合數(shù)的純分?jǐn)?shù)(分式值小于1的)連乘，其在公式中的作用其實(shí)使剩下的素?cái)?shù)對(duì)實(shí)際上更少了，因此即使如果有誤差的話(huà)，此足以抵消它們。2、文獻(xiàn)[1]中的“引理1”實(shí)際與艾拉托色尼篩法實(shí)際是一回事。引理[1]實(shí)際當(dāng)然是艾拉托色尼篩法可以進(jìn)行下去的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈衛(wèi)國(guó).若干重要數(shù)論問(wèn)題的證明[J].天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)，2011，(11).