向偉銘，肖 建，蔣陽(yáng)升

（西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，成都610031）

1 引言

信號(hào)交叉口的控制一直都是城市交通控制的核心問(wèn)題之一，經(jīng)多年發(fā)展已形成了一系列研究成果[1-3]，關(guān)于過(guò)飽和信號(hào)交叉口的控制和優(yōu)化是當(dāng)前研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn).目前過(guò)飽和交叉口信號(hào)燈的設(shè)置主要分為離線與在線兩種方式，但已有成果大多忽視了信號(hào)周期內(nèi)各相位之間的切換行為.事實(shí)上，信號(hào)交叉口是一個(gè)典型的混雜系統(tǒng)，同時(shí)包含了排隊(duì)車(chē)輛的連續(xù)動(dòng)態(tài)行為與信號(hào)燈相位的邏輯控制.近年來(lái)，越來(lái)越多的研究者利用混雜系統(tǒng)理論來(lái)對(duì)信號(hào)交叉口進(jìn)行分析和研究[4-7].從某種意義上來(lái)說(shuō)，交叉口排隊(duì)車(chē)輛的消散問(wèn)題可以看作交叉口系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題[4,5]；而排隊(duì)溢出問(wèn)題則可看作系統(tǒng)的有界性問(wèn)題.因此有必要從系統(tǒng)穩(wěn)定性與有界性的角度來(lái)對(duì)信號(hào)交叉口進(jìn)行分析和設(shè)計(jì).Lyapunov函數(shù)方法一直以來(lái)都是解決系統(tǒng)穩(wěn)定性與有界性的有效工具[8]，但目前基于Lyapunov方法來(lái)設(shè)計(jì)交叉口信號(hào)控制策略的成果卻還不多見(jiàn)，尤其是同時(shí)研究排隊(duì)車(chē)輛數(shù)穩(wěn)定與有界性的結(jié)論很少.因此，本文在考慮信號(hào)交叉口為混雜系統(tǒng)的同時(shí)，將Lyapunov方法引入到過(guò)飽和交叉口的控制中.

切換系統(tǒng)是混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)一種常見(jiàn)的模型[9].本文首先將信號(hào)交叉口建模為離散時(shí)間切換系統(tǒng)，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器來(lái)設(shè)置每個(gè)相位的有效綠燈時(shí)間，保證了信號(hào)交叉口指數(shù)穩(wěn)定，使得排隊(duì)車(chē)輛迅速消散.而后通過(guò)考慮系統(tǒng)的有界性，盡量降低消散過(guò)程中的最大排隊(duì)車(chē)輛數(shù)來(lái)避免排隊(duì)溢出.最后設(shè)計(jì)了混雜控制策略來(lái)動(dòng)態(tài)地設(shè)置綠燈時(shí)間.與韋伯斯特方法比較，本文的混雜控制策略能夠達(dá)到更好的排隊(duì)車(chē)輛消散效果.

2 問(wèn)題描述與建模

2.1 離散時(shí)間切換系統(tǒng)模型

離散時(shí)間切換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：

式中 x(k)∈Rn為狀態(tài)；u(k)∈Rm為控制輸入；σ(k):Z+→?為切換規(guī)則；其中?:={1,2,…,N}為子系統(tǒng)標(biāo)示集合.若考慮子系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)，式(1)表示如下：

若對(duì)線性切換系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u(k)=Kσ(k)x(k)，則得到閉環(huán)系統(tǒng)

指數(shù)穩(wěn)定性與有限時(shí)間穩(wěn)定性的定義如下：

定義1[8]考慮系統(tǒng)(1)，當(dāng)u(k)=0，若?λ＞0，對(duì) ?ε＞0 ，?δ=δ(ε)＞0 ，使 得 初 始 狀 態(tài) 滿(mǎn) 足x(k0)≤δ時(shí)，滿(mǎn)足 ‖x(k)-x*‖≤εe-λ(k-k0)，?k≥k0，則平衡點(diǎn)x*是指數(shù)穩(wěn)定的.

定義2[10]考慮系統(tǒng)(1)，其中 u(k)=0.給定(δ,ε,R,T)，其中0≤ δ＜ε，T＞0，矩陣R＞0 ，若 x(k)滿(mǎn) 足，其中.則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是關(guān)于(δ,ε,R,T)有限時(shí)間穩(wěn)定的.

2.2 單交叉口的離散時(shí)間切換模型的建立

本文考慮單交叉口具有4個(gè)相位，8個(gè)車(chē)道，如圖1所示.

圖1 相位交叉口圖示及相位設(shè)置Fig.1 Illustration of intersection and phase setting

假設(shè)交通燈只有紅綠兩種狀態(tài)，按相位1→相位2→相位3→相位4進(jìn)行切換，每個(gè)切換時(shí)刻為時(shí)刻k，k≥k0.定義如下變量：

k時(shí)刻開(kāi)始工作的相位i的綠燈時(shí)間：gi(k)，i∈{1,2,3,4}

l車(chē)道的車(chē)輛到達(dá)率：ql，l∈{1,2,…,8}

l車(chē)道的飽和流量：sl，l∈{1,2,…,8}

l車(chē)道在k時(shí)刻的排隊(duì)車(chē)輛數(shù)：xl(k)，l∈{1,2,…,8}

以相位1為例，有

其他相位2、3、4類(lèi)似，因此系統(tǒng)可寫(xiě)成以下緊湊形式：

式中 x(k)=[x1(k)x2(k)…x8(k)]T,u(k)=gσ(k)(k)，矩陣Ai=I,?i=1,2,3,4,以 及 B1=[q1-s1q2q3q4q5-s5q6q7q8]T,B2=[q1q2-s2q3q4q5q6-s6q7q8]T，B3=[q1q2q3-s3q4q5q6q7-s7q8]T,B4=[q1q2q3q4-s4q5q6q7q8-s8]T.系統(tǒng)的切換規(guī)則為

當(dāng)車(chē)道數(shù)較多時(shí)，可考慮幾個(gè)車(chē)道的排隊(duì)車(chē)輛總數(shù)來(lái)達(dá)到降維的目的.例如考慮圖1，令東西方向車(chē)道上車(chē)輛數(shù)之和y1=x1+x2+x5+x6，以及南北方向車(chē)道上車(chē)輛數(shù)之和y2=x3+x4+x7+x8，則可得降維模型：

式中 輸入和切換規(guī)則與系統(tǒng)(6)相同，狀態(tài)y(k)=[y1(k)y2(k)]T，矩陣 Ai=I，?i=1,2,3,4，以及可以看到系統(tǒng)維數(shù)由8降低到了2.

交叉口的過(guò)飽和控制的目的是讓排隊(duì)車(chē)輛迅速消散.由定義1，該問(wèn)題可看作設(shè)計(jì)u(k)=Kσ(k)x(k)使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)關(guān)于x*=0指數(shù)穩(wěn)定.

問(wèn)題1 考慮信號(hào)交叉口模型(6)或(7)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)指數(shù)穩(wěn)定.

另一方面，排隊(duì)溢出問(wèn)題可看為排隊(duì)車(chē)輛數(shù)的有界性問(wèn)題.由定義2，該問(wèn)題為盡量降低系統(tǒng)關(guān)于x*=0的有限時(shí)間穩(wěn)定(T→∞)的邊界ε問(wèn)題.

問(wèn)題2 考慮信號(hào)交叉口模型(6)或(7)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)指數(shù)穩(wěn)定且有限時(shí)間穩(wěn)定(T→∞)的邊界ε最小.

3 信號(hào)交叉口的穩(wěn)定性與有界性分析

3.1 穩(wěn)定性分析

首先，定義集合 ?i，j∈?i表示相位i后的工作相位j.然后，給出常用的Schur補(bǔ)引理：

引理1[11]給定矩陣有Q＜0

最后，因?yàn)楸疚目刂品椒ㄐ枰獙?shí)時(shí)獲得交叉口的排隊(duì)車(chē)輛數(shù)，因此滿(mǎn)足以下假設(shè)：

假設(shè)1 假設(shè)每條道路的排隊(duì)車(chē)輛數(shù)在每個(gè)相位切換時(shí)刻是能夠在線測(cè)量的.

在滿(mǎn)足假設(shè)1的情況下，可以得到以下結(jié)論：

定理1 考慮系統(tǒng)(6)，若存在正定矩陣Qi，i∈?及0＜μ＜1，使得?j∈?i，?i∈? ，有

則在 u(k)=Kσ(k)x(k)，其中的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

再由引理1得到

另外因?yàn)镼i正定，為正定矩陣.易證存在 λmax≥λmin＞0滿(mǎn)足 λminI≤Pi≤λmaxI，?i∈?.因此有εe-λ(k-k0)，其中[λ=-(lnμ)/2＞0].由定義1可知閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

注1 定理1的條件可以方便地利用MATLAB中的LMI(線性矩陣不等式)工具箱求解[11].定理1表明綠燈時(shí)間設(shè)置為u(k)=Kσ(k)x(k)就可保證排隊(duì)車(chē)輛能夠指數(shù)消散.特別地，參數(shù)0＜μ＜1還表示了排隊(duì)車(chē)輛數(shù)指數(shù)遞減律的估計(jì).

3.2 有界性分析

首先，任意正定對(duì)稱(chēng)矩陣R∈Rn×n均可分解為R=(R12)TR12，其中 R12∈Rn×n也是對(duì)稱(chēng)正定矩陣.另外，R的逆矩陣R-1∈Rn×n必定存在.使得

定理2 考慮系統(tǒng)(6)，若存在正定矩陣Qi，i∈? 及 0＜μ＜1，γ＞1，使得式(8)成立以及?i∈?，有

證明 當(dāng)式(8)成立時(shí)，由定理1可得系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，并且有

由式(14)可得排隊(duì)車(chē)輛數(shù)xT(k)Rx(k)的邊界ε，可估計(jì)為.給定初始排隊(duì)車(chē)輛數(shù)的情況下，為了避免排隊(duì)車(chē)輛溢出，應(yīng)使γ盡量小.于是可以構(gòu)造以下凸優(yōu)化問(wèn)題：

獲得最優(yōu)Ki，i∈?及最小邊界

4 過(guò)飽和信號(hào)交叉口的混雜控制策略

考慮綠燈時(shí)間 gi(k)∈[gmin,gmax]，?i∈?，另外在未飽和時(shí)仍采用常用的控制策略，使用韋伯斯特方法設(shè)置綠燈時(shí)間不失一般性因此考慮混雜控制策略：

考慮圖1，假設(shè) q1=q3=q5=q7=0.35 veh/s，q2=q4=q6=q8=0.3 veh/s；s1=s3=s5=s7=1.5 veh/s，s2=s4=s6=s8=1.3 veh/s；gmin=15 s，gmax=120 s.首先通過(guò)韋伯斯特方法得；初始值xT(0)=[50 50…50].由于模型(6)的維數(shù)太高找不到可行解，考慮降維模型(7).通過(guò)定理2，取 μ=0.9得 K1=[0.483 2-0.137 3]，K2=[0.536 5-0.232 8]，K3=[-0.137 2 0.483 2]，K4=[-0.232 8 0.536 5].與韋伯斯特方法相比，混雜控制策略能夠動(dòng)態(tài)地調(diào)整綠燈時(shí)間長(zhǎng)短，對(duì)應(yīng)有效綠燈時(shí)間如圖2所示.

圖2 兩種方法下的綠燈時(shí)間設(shè)置Fig.2 Green time settings with two methods

由圖2可以看到，在排隊(duì)車(chē)輛較多的時(shí)候，混雜控制策略所得的綠燈時(shí)間明顯與韋伯斯特方法不同，因此混雜控制策略特別適合過(guò)飽和程度較嚴(yán)重的交叉口的控制.最后為了清晰地比較兩種方法下排隊(duì)車(chē)輛消散以及估計(jì)邊界，我們考察即令定理2中的 R=I，求解式(15)得 γmin=1.475 4，并計(jì)算最小邊界εmin=417.302 1.圖3給出了兩種方法下 ‖x( k)‖遞減的規(guī)律與估計(jì)邊界.

圖3 排隊(duì)車(chē)輛數(shù) ‖x( k)‖的規(guī)律及估計(jì)邊界Fig.3 Evolution of vehicles ‖x(k)‖and estimated boundary

混雜控制策略下車(chē)輛消散的速度更快，大約在k≈25左右就進(jìn)入了未飽和狀態(tài)，而韋伯斯特方法卻要在k≈120之后才能進(jìn)入未飽和狀態(tài).因此本文提出的混雜控制策略更加適合過(guò)飽和交叉口的控制.

5 研究結(jié)論

在交通路口中,動(dòng)態(tài)的車(chē)流具有連續(xù)時(shí)間特性,而信號(hào)燈的切換具有離散事件特性,這導(dǎo)致傳統(tǒng)的方法難以對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行建模和分析.本文利用離散時(shí)間切換系統(tǒng)來(lái)對(duì)信號(hào)交叉口進(jìn)行建模，將排隊(duì)車(chē)輛消散看作系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.基于Lyapunov方法，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及有界性，設(shè)計(jì)了反饋控制器來(lái)確定綠燈時(shí)間.最后提出了混雜控制策略.仿真結(jié)果表明，該方法具有很好的排隊(duì)車(chē)輛消散效果.

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