王 豐，孫建剛

(大連民族學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，遼寧大連116605)

結(jié)構(gòu)在地震中的運(yùn)動反應(yīng)是一個耗散能量的 過程，用結(jié)構(gòu)在地震下的累積能量來分析和評估結(jié)構(gòu)的抗震性能更具合理性。近年來基于能量的抗震設(shè)計(jì)理論和方法得到了一定的發(fā)展［1-3］?；谀芰康目拐鹪O(shè)計(jì)就是要使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的耗能能力大于地震作用下結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的耗能需求。

目前，對能量設(shè)計(jì)方法的研究主要集中在兩個方面:能量反應(yīng)譜研究和結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)研究。對于能量反應(yīng)譜，學(xué)者們提出了各種各樣的能量譜，并進(jìn)行系統(tǒng)研究，如輸入能量譜(Amiri和Darzi［4］;Benavent 等［5］)、滯回能量譜(Danny 和Mario［6］;公茂盛和謝禮立［7］)、吸收能量譜(Chou和 Uang［8］)、瞬時輸入能量譜(陳逵和劉哲鋒［9］)等。對結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)的研究方面包括:結(jié)構(gòu)的能量如何計(jì)算;結(jié)構(gòu)的能量反應(yīng)與結(jié)構(gòu)的其他地震反應(yīng)之間存在什么樣的關(guān)系，如何綜合各種反應(yīng)指標(biāo)評判結(jié)構(gòu)的抗震性能等等。目前這些問題的研究只處于理論探討和數(shù)值分析階段(陳逵和劉哲鋒［10］;Wong 和 Liu［11］;陸鐵堅(jiān)和秦素娟［12］)，很多研究只針對剪切型結(jié)構(gòu)(經(jīng)杰、葉列平和錢稼茹［13］;胡冗冗和王亞勇［14］)。

地震下結(jié)構(gòu)的滯回耗能是評估結(jié)構(gòu)及構(gòu)件累積損傷程度的重要指標(biāo)，通過能量譜來估算結(jié)構(gòu)滯回能量簡單，且具有統(tǒng)計(jì)意義。目前，滯回能量反應(yīng)譜的研究已經(jīng)得到了一定的發(fā)展，建立能量譜與結(jié)構(gòu)耗能之間的關(guān)系則是當(dāng)前需解決的關(guān)鍵問題，文章正是針對此問題展開研究。

1 基本原理

1.1 能量關(guān)系方程

考慮一幢n層對稱結(jié)構(gòu)，假設(shè)結(jié)構(gòu)各樓層的水平恢復(fù)力特性為理想彈塑性，該結(jié)構(gòu)在單向水平地震作用下的能量平衡方程為

式(1a)中，u(t)為結(jié)構(gòu)各層質(zhì)心處的瞬時相對位移向量;F(t)為結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力向量，可表示為Kep(t)u(t)，其中Kep(t)為系統(tǒng)的瞬時切線剛度陣;M和C分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。式(1a)中的各項(xiàng)分別為結(jié)構(gòu)的動能Ek、阻尼能Ed、滯回能Eh和相對輸入能EI。式(1b)為其簡化表達(dá)式。

將彈性模態(tài)分解的思路引入彈塑性分析中，假設(shè)彈塑性位移向量可以分解為

式中，Φ為振型矩陣，φi為第i階振型向量。將式(2)代入式(1a)，有

根據(jù)振型正交性，式(3)可以轉(zhuǎn)換為

式中，F(xiàn)i(t)= φiTKep(t)φixi(t);γi為第 i階振型參與系數(shù)。式(4a)可以看作結(jié)構(gòu)的樓層側(cè)向位移按振型φi分布的虛擬振動反應(yīng)狀態(tài)下的能量平衡方程。式(4a)中各項(xiàng)分別為動能Eki、阻尼能Edi、滯回能Ehi和輸入能EIi。式(4b)為其簡化表達(dá)式。式(4a)兩側(cè)同除以φTMφγ2，有iii

式(5a)中，qi(t)=xi(t)/ γi;Feq，i(t)= φiTKep(t)φiqi(t)。此式可以看作質(zhì)量為1的各階模態(tài)等效單自由度(簡稱SDOF)體系在地震動作用下的能量平衡方程，式(5b)為其簡化表達(dá)式。

根據(jù)文獻(xiàn)［15］的推導(dǎo)，可以得到如下關(guān)系:

式中，meqi=φiTMφi;下標(biāo) X 分別表示 k、d、h 和 I，對應(yīng)著四種能量項(xiàng)。

1.2 彈塑性模態(tài)振型假設(shè)

定義樓層位移反應(yīng)不均勻系數(shù)為

其中，Δdij為按第i階振型模式的 Pushover得到的對應(yīng)某基底剪力的第j樓層的層間位移，Δdmi為相應(yīng)的n個樓層的平均層間位移?？梢詫Y(jié)構(gòu)按第i階振型模式進(jìn)行Pushover分析，隨著推覆力的增大得到一系列的αi值，取αi最大值所對應(yīng)的側(cè)向位移模式為φp，i。定義歸一化方法:n個樓層的絕對位移值(或樓層振型值)之和等于1。對彈性振型φi和側(cè)向位移模式φp，i進(jìn)行歸一化處理。

由于傳統(tǒng)等效SDOF體系是基于振型不變的假設(shè)，然而在塑性反應(yīng)階段結(jié)構(gòu)的振型為瞬時振型。為使方法便于操作，在等效SDOF體系及能量轉(zhuǎn)換過程中，設(shè)第i階的彈塑性等效振型為

1.3 能量估算步驟

(1)將結(jié)構(gòu)按各階模態(tài)等效為多個SDOF體系，通常取結(jié)構(gòu)的前3～5階模態(tài)。計(jì)算各階模態(tài)等效SDOF體系的等效質(zhì)量、等效阻尼。

(2)設(shè)各階模態(tài)等效SDOF體系的恢復(fù)力特性均為理想彈塑性。通過Pushover分析的方法得到結(jié)構(gòu)基底剪力-頂層位移的能力曲線，然后簡化為雙線性形式，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為等效SDOF體系的力-位移關(guān)系。第i階模態(tài)推覆力分布模式為

(3)通過彈塑性滯回能量反應(yīng)譜或者對等效SDOF體系輸入地震動的方法確定第i階模態(tài)等效SDOF體系的滯回能量值ehi(t)，其中i=3～5。

(4)將ehi(t)代入式(6)，計(jì)算結(jié)構(gòu)總滯回能量。

2 算例分析

2.1 算例說明

考慮1幢6層建筑，針對《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》給出的I、II、IV類場運(yùn)用按振型分解反應(yīng)譜方法設(shè)計(jì)樓層的抗剪強(qiáng)度，這樣相當(dāng)于3座6層建筑。為了比較分析的方便，將算例建筑簡化為3個多自由度體系，建筑層高均設(shè)為3.6 m，側(cè)向剛度及屈服剪力系數(shù)沿樓層的分布均設(shè)計(jì)為均勻分布，樓層的力-位移模型采用雙線性理想彈塑性模型，阻尼采用Rayleigh阻尼，阻尼比取5%。樓層重量、振型、周期及樓層抗剪強(qiáng)度見表1。

表1 算例結(jié)構(gòu)基本信息表

2.2 地震記錄的選取

將場地條件分為硬土(I)、中硬(軟)土(Ⅱ)、軟土(Ⅳ)三類。每類場地選4條地震記錄，三類場地共12條，見表2。地震加速度峰值調(diào)整為4 m·s-2。

表2 地震記錄表

2.3 滯回能量估算分析

對算例工程分別采用非線性動力反應(yīng)能量分析(簡稱NL-EA)法和模態(tài)能量反應(yīng)分析(簡稱MEA)法，計(jì)算在選取地震動記錄作用下的結(jié)構(gòu)整體滯回能量，并將兩種方法的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

分別運(yùn)用NL-EA法和本文提出的模態(tài)能量分析(簡稱MEA)法計(jì)算得到結(jié)構(gòu)總滯回能量值，見表3。其中NL-EA方法的結(jié)果可看作精確解，MEA方法的結(jié)果與精確解的偏差也列于表中。從表3可知，三類場地下MEA法估算滯回能量的平均偏差分別為9.4%、4.6%和12%?？偲骄顬?.7%，說明通過MEA方法得到的結(jié)構(gòu)整體滯回能量時程在趨勢上與精確解符合較好。

分析偏差與各地震動特點(diǎn)可知:高振幅持時較長的地震動作為輸入時，能量估算偏差較大;相反，高振幅持時短或出現(xiàn)少數(shù)明顯的峰值加速度的地震動作為輸入時，估算偏差則較小。分析原因:地震作用下結(jié)構(gòu)經(jīng)過往返多次大位移變形后，它的整體恢復(fù)力關(guān)系(頂層位移-基底剪力)與其等效SDOF體系的恢復(fù)力關(guān)系的差異會逐漸增大，基于模態(tài)的能量估算偏差自然也會很大;相反，只經(jīng)歷少數(shù)幾次大的變形則偏差會較小。

表3 結(jié)構(gòu)整體滯回能量表

采用MEA方法和NL-EA方法得到的結(jié)構(gòu)整體滯回能量時程如圖1-圖3。從圖中可以看到，基于MEA方法與NL-EA方法的滯回能時程在趨勢上符合較好。對于能量偏差較大的情況，通常在時程開始階段偏差較小，隨著持時增加結(jié)構(gòu)耗能逐漸增大，偏差也逐漸增加。分析原因:MEA方法是基于模態(tài)等效SDOF體系假設(shè)，而等效SDOF體系分析適用于塑性反應(yīng)較小時，當(dāng)塑性反應(yīng)增大，特別是往復(fù)塑性反應(yīng)增大，其準(zhǔn)確度也相應(yīng)降低。

圖1 硬土場地下通過MEA法和NL-EA法計(jì)算得到的滯回能量時程比較

圖2 中硬(軟)土場地下通過MEA法和NL-EA法計(jì)算得到的滯回能量時程比較

圖3 軟土場地下通過MEA法和NL-EA法計(jì)算得到的滯回能量時程比較

3 結(jié)論

借鑒模態(tài)Pushover分析理論的思路，假設(shè)結(jié)構(gòu)的彈塑性能量反應(yīng)近似等于結(jié)構(gòu)模態(tài)分解后各階模態(tài)能量反應(yīng)的疊加，用“等效振型”替代彈性振型，通過推導(dǎo)得到結(jié)構(gòu)模態(tài)等效SDOF體系能量值與結(jié)構(gòu)模態(tài)反應(yīng)能量值的關(guān)系，進(jìn)而建立通過模態(tài)能量分析估算結(jié)構(gòu)滯回能量的方法。按硬、中、軟土三類場地設(shè)計(jì)3座6層建筑，采用三類場地選取的12條地震動作為激勵進(jìn)行能量分析，結(jié)果表明:

(1)通過MEA方法得到的結(jié)構(gòu)整體滯回能量時程在趨勢上與精確解符合較好;

(2)對于高振幅持時較短或出現(xiàn)少數(shù)明顯峰值加速度的地震動，MEA方法的能量估算偏差較小;而對于高振幅持時較長的地震動，MEA方法的能量估算偏差較大。

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