郭抗抗， 曹樹謙

（1．天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津 300072；2．天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

近年來，微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）的快速發(fā)展促使微電源技術(shù)的興起。傳統(tǒng)化學(xué)電池在使用、壽命及環(huán)保等方面的限制促使人們探索如何利用環(huán)境能量進(jìn)行發(fā)電。Williams［1］首次提出收集環(huán)境中的振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，而微電子設(shè)備低功耗的特點(diǎn)使得利用環(huán)境振動(dòng)自供能成為可能。目前振動(dòng)能量采集器主要有電磁式［2］、靜電式［3］和壓電式。其中利用壓電材料正效應(yīng)的壓電式發(fā)電系統(tǒng)優(yōu)勢明顯備受關(guān)注［4］。其結(jié)構(gòu)簡單、綠色環(huán)保、能量密度高、無電磁干擾、壽命長，可直接輸出較高電壓，且易于加工和實(shí)現(xiàn)微型化、集成化［5］。d31工作模式下的雙晶或單晶懸臂梁是最常用的結(jié)構(gòu)形式［6］。目前國內(nèi)外針對壓電懸臂梁發(fā)電特性已開展了大量研究。Roundy等［7］利用等效電路法對端部有集中質(zhì)量的壓電懸臂梁進(jìn)行了建模分析，并通過實(shí)驗(yàn)給出了輸出電壓、功率與負(fù)載電阻的關(guān)系；Johnson等［8］則根據(jù)熱動(dòng)力平衡方法分析了不同激勵(lì)下壓電梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)對電能輸出的影響；Sodano等［9］針對無附加質(zhì)量的壓電懸臂梁，建立了機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)和電學(xué)模型，并利用數(shù)值方法和實(shí)驗(yàn)方法對理論模型進(jìn)行了驗(yàn)證；DuToit［10］則對帶集中質(zhì)量的懸臂梁進(jìn)行了分布式建模分析并通過實(shí)驗(yàn)予以驗(yàn)證；Erturk等［11］根據(jù)彈性理論和Galerkin方法分別對串、并聯(lián)雙晶壓電懸臂梁進(jìn)行了理論建模并給出實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在國內(nèi)，闞君武等［12］建立了單、雙晶壓電梁發(fā)電能力的仿真分析模型，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對其發(fā)電能力的影響規(guī)律；袁江波等［13］對懸臂梁壓電振子進(jìn)行了有限元分析，并對其發(fā)電性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究；單小彪等［14］通過數(shù)值模擬和有限元仿真研究了截面形狀對懸臂梁雙晶壓電振子發(fā)電能力的影響；賀學(xué)鋒等［15］考慮逆壓電效應(yīng)和梁集中質(zhì)量的影響，給出系統(tǒng)的輸出電壓表達(dá)式并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。

然而上述文獻(xiàn)中所有壓電材料均假設(shè)為線性材料。事實(shí)上，非線性是壓電材料的本質(zhì)特征，即使在低場下也有明顯的非線性現(xiàn)象［16］，而在壓電發(fā)電研究中，只有少數(shù)文獻(xiàn)考慮到壓電材料非線性。Stanton等［17－18］考慮壓電材料三次非線性本構(gòu)關(guān)系，通過理論建模分析了壓電懸臂梁的發(fā)電特性，結(jié)論表明在較大激勵(lì)振幅下，線性結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大，指出線性結(jié)果的局限性。Abdelkefi等［19］考慮材料二次非線性本構(gòu)關(guān)系，建立參數(shù)激勵(lì)下的壓電懸臂梁模型并進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬，同樣指出對壓電發(fā)電系統(tǒng)非線性建模的必要性。

本文以帶集中質(zhì)量的單晶懸臂梁壓電發(fā)電系統(tǒng)為研究對象，考慮壓電材料的二次非線性本構(gòu)關(guān)系，利用廣義Hamilton原理及Rayleigh－Ritz法建立其機(jī)電耦合模型；隨后利用多尺度法求解系統(tǒng)主共振二次近似響應(yīng)，分析壓電材料非線性、外激勵(lì)參數(shù)及負(fù)載電阻對系統(tǒng)響應(yīng)的影響；最后通過數(shù)值分析驗(yàn)證了解析解的正確性。

1 壓電懸臂梁的機(jī)電耦合模型

圖1所示為基礎(chǔ)激勵(lì)下有附加質(zhì)量的單晶懸臂梁壓電振子在d31工作模式下的振動(dòng)示意圖。梁長為L，梁厚為t0，其中上層為壓電層（厚度為tp），下層為彈性結(jié)構(gòu)層（厚度為ts），極化方向（P方向）沿3方向，x表示軸向坐標(biāo)（沿1方向），y表示縱向坐標(biāo)（沿3方向）。

1.1 材料的本構(gòu)關(guān)系

對于彈性金屬梁結(jié)構(gòu)而言，其應(yīng)力－應(yīng)變具有如下線性關(guān)系：

式中：cs11為彈性結(jié)構(gòu)層的剛度系數(shù)，T1及S1表示沿1方向的應(yīng)力、應(yīng)變。

圖1 懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)模型Fig．1 The vibrating model of piezoelectric cantilever with base excitation

考慮非線性壓電效應(yīng)，壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系［20－21］可以表示為：

式中：E3和D3表示沿3方向的電場強(qiáng)度和電位移；cE11為壓電層的剛度系數(shù)；e31為壓電系數(shù)；εS33為介電常數(shù)；γ113為電致彈性系數(shù)；β133為電致伸縮系數(shù)；CE111為二次非線性剛度系數(shù)；ν333為二次非線性介電常數(shù)。

1.2 壓電梁機(jī)電耦合模型

基礎(chǔ)激勵(lì)下，壓電懸臂梁存在機(jī)械能和電能的轉(zhuǎn)換，利用機(jī)電耦合系統(tǒng)的廣義Hamilton變分原理［10］

式中：Tk為系統(tǒng)動(dòng)能；U為系統(tǒng)勢能；We為壓電陶瓷的電能；δW為外力做功的變分。分別表示如下：

式中：ρ表示材料密度；V表示體積；下標(biāo)s和p分別為對應(yīng)梁的彈性金屬層和壓電層；u（x，t）為梁的橫向相對位移；m0為懸臂梁端部集中質(zhì)量；φ表示標(biāo)量電勢；q表示電荷量。

為了表示基礎(chǔ)激勵(lì)下懸臂梁產(chǎn)生的慣性載荷，假設(shè)梁沿軸向均勻，單位長度質(zhì)量用m表示，從而將慣性載荷表示是有

考慮梁的一階模態(tài)，并將壓電元件上下表面兩金屬電極看作一個(gè)電極對，應(yīng)用 Rayleigh-Ritz法，Euler-Bernoulli梁理論及壓電元件恒定電場假設(shè)如下：

式中：ψr（x）表示懸臂梁的一階彎曲模態(tài)振型函數(shù)；r（t）表示梁橫向振動(dòng)位移模態(tài)坐標(biāo)；ψv（x）表示電勢分布函數(shù)；v（t）表示廣義電壓模態(tài)坐標(biāo)。

對于帶有集中質(zhì)量的懸臂梁，其一階模態(tài)振型函數(shù)為

式中：β值及待定常數(shù)因子c可根據(jù)梁的邊界條件確定。

對于自由端附加集中質(zhì)量的懸臂梁，其邊界條件為

式中：EI為懸臂梁的彎曲剛度，ω1為懸臂梁一階固有頻率。

將式（8）～式（10）及式（1）、式（2）代入式（4）～式（7），并將重寫后的式（4）～式（7）代入式（3）可得如下兩個(gè)方程：

式中：M和K分別是層合梁振子的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度，表示如下：

式中：θ和Cp分別是機(jī)電耦合系數(shù)和壓電元件的電容，定義如下：

式中：N1、N2及N3則是方程非線性項(xiàng)的系數(shù)，定義為

外部激勵(lì)項(xiàng)系數(shù)為

1．3 方程的化簡與無量綱化

設(shè)外加基礎(chǔ)激勵(lì)

式中：Ze是加速度幅值；Ωe是激勵(lì)頻率。假設(shè)負(fù)載電阻為純電阻RL時(shí)，電壓可表示為于是（15）、

式中：為阻尼比。

為了對上述動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行無量綱化處理，定義特征時(shí)間、特征長度、特征電壓分別為

于是有 r＝xcx，v＝vcu，t＝tcτ，其中 x、u、τ為無量綱量。代入方程（26）、（27）后得到無量綱化的動(dòng)力學(xué)方程

2 壓電層合梁的主共振響應(yīng)

2.1 主共振的二次近似解

利用多尺度法求解系統(tǒng)主共振響應(yīng)的二階近似解，設(shè)解如下

式中：Tj＝εjτ，（j＝0，1，2）。

考慮共振情況，對于方程（32）、（33），由于耦合項(xiàng)的存在使派生系統(tǒng)的固有頻率不再為1，引入調(diào)諧參數(shù)σ，令

式中：Λ為方程對應(yīng)派生系統(tǒng)的固有頻率。將式（33）代入（31）、（32），令 ε同次冪系數(shù)相等，從而得到

方程組（36）由兩個(gè)耦合的常系數(shù)線性微分方程組成，故可令

代入（36）中，得

對于非平凡解，式（40）中的系數(shù)行列式必須為零，于是得

方程（41）根的判別式

式中：cc表示共軛。

從式（47）第一式中消去產(chǎn)生永年項(xiàng)的那些項(xiàng)，要求 eiΛT0的系數(shù)為零得

或

于是（47）式化為

設(shè)式（50）的解為

代入式（50），由對應(yīng)系數(shù)相等可解出 E1、E2、F1，整理并簡寫如下：

式中：系數(shù)詳見附錄 1。將式（45）、（51）代入式（38）中的第一式，并考慮 D1C2＝0得

2.2 響應(yīng)定常解及其穩(wěn)定性

隨著T2的增加，方程（55）中的a和γ在經(jīng)歷一小段時(shí)間的振蕩后將趨向于定常值。為了考察系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，令 D2a＝0，D2γ＝0，得定常解振幅 a～和相位 γ～滿足方程

相頻響應(yīng)方程為

從而繪出系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線如圖2所示。由圖可見，系統(tǒng)在共振點(diǎn)附近響應(yīng)幅值較大，為了提高系統(tǒng)發(fā)電量，期望系統(tǒng)能工作在該區(qū)域內(nèi)，稱為系統(tǒng)的工作區(qū)域。對于固定的激勵(lì)頻率（亦即σ），主共振可能是唯一的，也可能有三種。為了分析主共振的穩(wěn)定性及其實(shí)現(xiàn)條件，將方程（55）在（a～，γ～）處線性化，形成關(guān)于擾動(dòng)量Δa和Δγ的自治微分方程

根據(jù)式（62）可畫出主共振二次近似定常解的失穩(wěn)域，如圖2所示陰影區(qū)域。顯然，失穩(wěn)域?qū)?yīng)幅頻響應(yīng)曲線有多解時(shí)的中間解支。

圖3給出取σ＝－4時(shí)，由式（55）自不同的（a，γ）出發(fā)的相軌線，圖中的P1、P2、P3是三個(gè)奇點(diǎn)，對應(yīng)圖2中σ為－4處的三個(gè)響應(yīng)解。其中，P1、P3是穩(wěn)定焦點(diǎn)，對應(yīng)上下兩個(gè)穩(wěn)定解；P2是鞍點(diǎn)，對應(yīng)中間落在失穩(wěn)域中的不穩(wěn)定解。系統(tǒng)狀態(tài)最終被吸引到哪個(gè)奇點(diǎn)取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。只有恰好位于兩區(qū)域分界線上的初始狀態(tài)才可能被吸引到P2，且一旦受到小擾動(dòng)，便會偏離原軌道被吸引到P1或P3。對于壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)而言，通過選取合適的初始條件，使其工作在上解支，此時(shí)對應(yīng)較大的響應(yīng)幅值，從而提高發(fā)電量。

圖2 穩(wěn)態(tài)主共振的幅頻響應(yīng)及失穩(wěn)域（陰影部分：不穩(wěn)定）Fig．2 Proximate response of the primary resonance and its stability（shadow：unstable）

圖3 主共振響應(yīng)解的吸引域（σ＝－4）Fig．3 Domain of attraction of primary resonance solution（σ＝－4）

圖4 α4變化時(shí)穩(wěn)態(tài)主共振的幅頻響應(yīng)曲線Fig．4 Amplitude-frequency response of the primary resonance with differentα4

2．3 定常解響應(yīng)分析

圖4給出主共振響應(yīng)隨非線性剛度系數(shù)α4的變化曲線，當(dāng)置方程二次非線性剛度系數(shù)α4＝0時(shí)，主共振只存在唯一解，且σ取0值附近時(shí)響應(yīng)幅值較大（右邊陰影區(qū)域）；當(dāng)α4不為0時(shí)，對于固定的σ，主共振存在多解現(xiàn)象；無論α4符號如何，近似解的共振峰總是左偏，呈現(xiàn)軟特性的非線性性質(zhì)；隨著α4的增大，近似解的共振峰偏移增大，共振點(diǎn)對應(yīng)頻率減小，且響應(yīng)幅值隨頻率變化的速率變緩，這意味著在多值區(qū)域內(nèi)，若能控制系統(tǒng)的響應(yīng)解落在上解支，則系統(tǒng)的工作頻帶（左邊陰影區(qū)域）將明顯加寬。分析表明，壓電結(jié)構(gòu)固有的材料非線性特性能有效降低結(jié)構(gòu)的共振頻率，拓寬共振頻帶，這一點(diǎn)更有利于結(jié)構(gòu)適應(yīng)具有寬、低頻特點(diǎn)的環(huán)境振動(dòng)。非線性是壓電材料的固有特性，在對壓電結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中忽略這一特性，會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的工作頻帶與環(huán)境振動(dòng)頻帶的吻合性較差，發(fā)電效率降低。

取α4＝3．2，即考慮壓電材料非線性的影響，當(dāng)激勵(lì)頻率調(diào)諧參數(shù)σ取不同值時(shí)，繪出激勵(lì)幅值f與響應(yīng)幅值的關(guān)系曲線如圖5所示。當(dāng)σ≥0時(shí)，不同的激勵(lì)振幅f對應(yīng)唯一的響應(yīng)幅值；而σ＜0時(shí)，當(dāng)f取值較小時(shí)，a～出現(xiàn)多解和跳躍現(xiàn)象，隨著f的增大，a～恢復(fù)單解情況。因此，適當(dāng)?shù)脑龃笸饧?lì)幅值可避開多解區(qū)域，并有利于壓電結(jié)構(gòu)發(fā)生較大的形變，從而提高發(fā)電量。

圖5 激勵(lì)幅值與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的關(guān)系Fig．5 Steady state response-Excitation amplitude curves

圖6 非線性剛度系數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig．6 The influence of nonlinear stiffness coefficients on the steady state response

圖7 α3取不同值時(shí)系統(tǒng)的主共振響應(yīng)Fig．7 Response of the primary resonance with differentα3

圖6則給出了激勵(lì)頻率調(diào)諧參數(shù)σ取不同值時(shí)，非線性剛度系數(shù)α4與響應(yīng)幅值的關(guān)系曲線。從該圖可以看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率大于等于固有頻率，即σ≥0時(shí)，非線性的增強(qiáng)導(dǎo)致響應(yīng)幅值減??；當(dāng)σ＜0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值不再對應(yīng)α4等于0處，而是發(fā)生偏移，隨著非線性的增強(qiáng)響應(yīng)幅值先增后降。由此看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，壓電材料非線性對系統(tǒng)響應(yīng)起負(fù)面作用，而當(dāng)外激勵(lì)頻率小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，二次非線性剛度系數(shù)α4取某特定值時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)最大。因此根據(jù)不同的應(yīng)用場合選擇合適的壓電材料有利于提高發(fā)電量。

系數(shù)α3是與負(fù)載電阻成反比的參數(shù)，圖7給出了α3取不同值時(shí)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線，圖8則給出了激勵(lì)頻率調(diào)諧參數(shù)σ取不同值時(shí)，負(fù)載電阻與系統(tǒng)輸出功率的關(guān)系。從圖中可以看出，隨著α3的增大，即負(fù)載電阻的減小，響應(yīng)近似解的共振峰峰值減小，輸出功率則隨著負(fù)載電阻的增大先增后降，在60～100 kΩ時(shí)對應(yīng)功率較大。分析表明，壓電發(fā)電系統(tǒng)存在一個(gè)最佳負(fù)載范圍，對應(yīng)輸出功率較大，能量轉(zhuǎn)化效率較高。

圖8 負(fù)載電阻與功率的關(guān)系曲線Fig．8 Power out-Load resistance curves

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

通過數(shù)值方法驗(yàn)證上述解析分析結(jié)論。取ε＝0．1，κ＝0．1，ζm＝1，α1＝1，α2＝1，α3＝0．1，α4＝3．2，α5＝1，f＝2．5，σ＝－4，對原方程（32）、（33）進(jìn)行數(shù)值積分，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的時(shí)間歷程圖并與求解所得的二次近似解（56）進(jìn)行對比，如圖9所示。從圖上可以看出二次近似解析解與數(shù)值模擬的結(jié)果吻合較好。

圖9 近似解與數(shù)值解對比（x（0），x·（0），u（0），u·（0））＝（1．5，0．5，0，0）Fig．9 Comparison of the approximate solution and numerical solution

圖10 系統(tǒng)主共振的跳躍現(xiàn)象（α1＝α2＝α5＝1，α4＝3．2）Fig．10 The jumping phenomenon of the primary resonance

圖11 對應(yīng)線性系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)（α1＝α2＝α4＝α5＝0）Fig．11 Amplitude-frequency response of the primary resonance for linear system

為了驗(yàn)證系統(tǒng)響應(yīng)的多解及跳躍現(xiàn)象，搞清不同解支的穩(wěn)定性，通過數(shù)值的方法對原方程（32）、（33）分別進(jìn)行升、降頻掃描模擬，如圖10所示。從該圖可以看出，數(shù)值模擬的結(jié)果與解析分析的結(jié)果吻合較好。升頻掃描下系統(tǒng)響應(yīng)在σ＝－3．737時(shí)向上跳躍；降頻掃描下則在σ＝－6．162處向下跳躍。在－3．737到－6．162區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，上下兩個(gè)解支對應(yīng)兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)，對于該區(qū)間內(nèi)的某一固定σ而言，響應(yīng)解落在上解支還是下解支取決于初始條件的選取。該結(jié)論與解析分析的結(jié)果一致。

圖12 負(fù)載電阻與功率的關(guān)系曲線Fig．12 Power out-Load resistance curves

圖11給出了對應(yīng)線性系統(tǒng)，即不考慮材料非線性影響時(shí)系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)曲線，對比可以看出，正是由于壓電材料非線性的影響，系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了共振峰偏移以及共振點(diǎn)附近的多解和跳躍現(xiàn)象，同時(shí)共振頻帶也明顯拓寬。由于壓電發(fā)電系統(tǒng)收集的是具有寬、低頻及隨機(jī)特點(diǎn)的周圍環(huán)境振動(dòng)，拓寬共振頻帶有利于系統(tǒng)工作在近共振狀態(tài)，通過控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的初始條件，如加一個(gè)脈沖控制電路等方式使壓電結(jié)構(gòu)在多解區(qū)域內(nèi)的響應(yīng)落在上解支，此時(shí)對應(yīng)較大的響應(yīng)幅值，從而提高發(fā)電量。

圖12給出了輸出功率隨負(fù)載電阻的變化曲線，如圖表明輸出功率隨負(fù)載電阻的增大先增后降，負(fù)載電阻在60－100 kΩ區(qū)間范圍內(nèi)時(shí)輸出功率較大，具有較高的能量轉(zhuǎn)化效率，該結(jié)論與解析分析結(jié)論同樣一致。

4 結(jié) 論

本文考慮壓電材料的二次非線性本構(gòu)關(guān)系，建立了帶有集中質(zhì)量的懸臂式壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。利用多尺度法研究了系統(tǒng)的二次主共振響應(yīng)，分析了系統(tǒng)的非線性項(xiàng)系數(shù)、外激勵(lì)參數(shù)及負(fù)載電阻對系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律，并通過數(shù)值分析對解析分析的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

（1）壓電結(jié)構(gòu)在主共振狀態(tài)下具有較大的振動(dòng)幅值，可從外界提取更多的能量。此時(shí)壓電材料固有的非線性特性對結(jié)構(gòu)主共振響應(yīng)的影響較為突出，會導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)共振峰向左偏移，對應(yīng)外激勵(lì)頻率小于系統(tǒng)的固有頻率。

（2）當(dāng)外激勵(lì)頻率取不同值時(shí)，對應(yīng)主共振響應(yīng)解可能是唯一的，也可能是3個(gè)，分別對應(yīng)2個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)和1個(gè)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，由此解釋了外激勵(lì)頻率變化時(shí)響應(yīng)振幅發(fā)生跳躍現(xiàn)象的原因；主共振響應(yīng)解的真正實(shí)現(xiàn)取決于解的穩(wěn)定性條件及初始條件的選取，通過控制系統(tǒng)工作的初始條件，使其工作在對應(yīng)較大響應(yīng)幅值的穩(wěn)定解附近可提高發(fā)電量。

（3）壓電發(fā)電系統(tǒng)存在一個(gè)最佳負(fù)載電阻阻值范圍，對應(yīng)輸出功率較大，能量轉(zhuǎn)化效率較高。

本文結(jié)論為深入研究壓電懸臂式發(fā)電系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)機(jī)理奠定一定的理論基礎(chǔ)，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中參數(shù)的選擇及發(fā)電性能的優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)。下一步將通過現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)測試，與解析和數(shù)值仿真的結(jié)果進(jìn)行比較，并針對不同的振動(dòng)環(huán)境，優(yōu)化壓電懸臂梁的結(jié)構(gòu)，以提高壓電發(fā)電系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換效率。

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附錄