王佐才，任偉新，邢云斐

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和安全評(píng)估已成為國內(nèi)外眾多學(xué)者致力研究的一個(gè)重要課題。而其中關(guān)鍵問題之一是對(duì)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，特別是時(shí)變與非線性系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)進(jìn)行有效的識(shí)別。因此，近10年來，基于希爾伯特變換在時(shí)變和非線性系統(tǒng)識(shí)別和損傷檢測(cè)領(lǐng)域中得到了廣泛的關(guān)注［1－8］。如：Feldman［5］提出的 Hilbert Vibration Decomposition（HVD）方法，并利用該方法對(duì)非線性結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)進(jìn)行了較為深入的研究。然而，HVD分解對(duì)噪聲非常敏感，微小的噪聲對(duì)分解的結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生較大的影響，另一方面，如果一個(gè)信號(hào)具有多個(gè)同樣能量量級(jí)或者密集頻率的信號(hào)分量，HVD也很難將其分解。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)瞬時(shí)頻率的識(shí)別，黃鍔等［6－8］提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EmpiricalModeDecomposition，EMD）和希爾伯特 －黃變換（Hilbert-HuangTransform，HHT）。EMD能夠?qū)?fù)雜信號(hào)分解為有限個(gè)本征模函數(shù)（IntrinsicModeFunction，IMF），對(duì)每一個(gè)IMF進(jìn)行希爾伯特變換和譜分析，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜信號(hào)的瞬時(shí)特征提取，是一種有效的非平穩(wěn)信號(hào)分析工具［9－11］。

雖然HHT在非平穩(wěn)和非線性信號(hào)的特征提取方面取得了廣泛的應(yīng)用，但在許多實(shí)際應(yīng)用中也遇到了各種困難［12］。例如：HHT無法分離密集的模態(tài)響應(yīng)，特別是具有模態(tài)頻率疊混（overlapping）的信號(hào)；對(duì)于時(shí)變的具有模態(tài)疊混的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)也往往存在于多個(gè)鄰近的分解信號(hào)中，需要進(jìn)行進(jìn)一步的重組。為了解決這些難題，國內(nèi)外的學(xué)者也做了相關(guān)的研究工作。例如，Chen［13］研究了HHT方法在密集模態(tài)結(jié)構(gòu)中模態(tài)參數(shù)的識(shí)別方法，在EMD分解過程中采用間歇檢查（Intermittencycheck）來分離密集模態(tài)。Yang［14－15］在進(jìn)行 EMD分解前，利用帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波預(yù)處理，從而把結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)分離出來。Wang等［16］提出了波組分解的方法，通過把信號(hào)的頻率從高頻轉(zhuǎn)化到低頻，增大相鄰頻率的比值，從而使得EMD有可能把低頻的信號(hào)分解出來。程遠(yuǎn)勝等［17］提出將HHT與數(shù)學(xué)規(guī)劃方法相結(jié)合的方法，用于時(shí)變多自由度系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別。黃天立等［18］提出采用波組信號(hào)前處理和正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾姆椒ㄓ枰愿倪M(jìn)，并將此方法稱為改進(jìn)的HHT。然而，對(duì)于具有密集模態(tài)和時(shí)變頻率的信號(hào)分解，到目前為止，幾乎還沒有一種有效的方法能夠很好的解決這些問題。另一方面，目前的方法往往簡單地把識(shí)別出的響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率等同于結(jié)構(gòu)本身的瞬時(shí)頻率，但是，對(duì)于時(shí)變或者非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在環(huán)境激勵(lì)或者地震荷載作用下的響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率并不等同于結(jié)構(gòu)本身的瞬時(shí)頻率，如何利用信號(hào)的瞬時(shí)頻率來推導(dǎo)時(shí)變與非線性結(jié)構(gòu)本身的瞬時(shí)頻率也并沒有很好的解決。

Chen等［12］進(jìn)一步結(jié)合希爾伯特變換提出了解析模態(tài)分解方法（AnalyticalModeDecompositionAMD）。其本質(zhì)是利用Hilbert變換把每一具有特定頻率成分的信號(hào)解析地分解出來。對(duì)于具有多個(gè)密集時(shí)不變頻率信號(hào)分量的復(fù)雜信號(hào)，AMD通過構(gòu)造一對(duì)具有相同特定頻率的正交函數(shù)，并利用這對(duì)正交函數(shù)與原復(fù)雜信號(hào)的乘積的Hilbert變換，把任意在頻率小于正交函數(shù)頻率的信號(hào)解析地分解出來，并最終實(shí)現(xiàn)密集模態(tài)的參數(shù)識(shí)別。Chen等［19－20］進(jìn)一步提到，通過選取一個(gè)時(shí)變的二分截止頻率代替時(shí)不變的截止頻率，AMD可以進(jìn)一步應(yīng)用于非平穩(wěn)信號(hào)的分解。

因此，本文為了解決具有密集模態(tài)的時(shí)變與非線性多自由度體系的時(shí)變參數(shù)識(shí)別問題，首先推導(dǎo)了單自由度與多自由度體系在自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)下模態(tài)響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率與結(jié)構(gòu)本身瞬時(shí)頻率之間的關(guān)系。本文提出了把解析模式分解方法擴(kuò)展到時(shí)變與非線性結(jié)構(gòu)的模態(tài)分解。該方法通過小波變換選取時(shí)變的二分截止頻率，對(duì)結(jié)構(gòu)的時(shí)變模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分離，從而實(shí)現(xiàn)多自由結(jié)構(gòu)時(shí)變參數(shù)識(shí)別。

1 時(shí)變與非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率識(shí)別

1.1 單自由度系統(tǒng)（SDOF）

時(shí)變或非線性單自由度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程［21］可以簡單的表述為：

對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)，非線性恢復(fù)力隨時(shí)間變化的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成（t）x（t）的形式［21］，（t）是結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率，x（t）是結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。同樣，非線性阻尼力也可以轉(zhuǎn)換成2h0（t）x·（t）的形式，h0（t）為快時(shí)變瞬時(shí)阻尼，x·（t）為速度。

對(duì)式（1）進(jìn)行希爾伯特變換，可得

式中：h0L和h0H分別為時(shí)變非線性阻尼h0（t）的低通（慢變部分）和高通（快變部分）濾波值；和分別為時(shí)變固有頻率（t）的低通（慢變部分）和高通（快變部分）濾波值。

對(duì)于單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)，位移響應(yīng)x（t）可以測(cè)得，位移的解析信號(hào)Z（t）可以表述為

Z（t）＝x（t）＋jH［x（t）］＝A（t）ej∫ω（t）dt（3）式中，A（t）和ω（t）分別是解析信號(hào)的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率。對(duì)解析信號(hào)求一次和二次導(dǎo)數(shù)，可以得到

因此，速度和加速度以及它們的希爾伯特變換均可以表述為關(guān)于位移的函數(shù)

將等式（5）和式（6）代入式（1）和式（2）中，可得

由于任何信號(hào)x和它的希爾伯特變換H［x］的相位差為90°，所以它們不可能同時(shí)為零。因此，式（7）和式（8）中系數(shù)矩陣的行列式必須等于零，從而導(dǎo)出：

對(duì)于單自由度時(shí)變或非線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程可以表述為：

與自由振動(dòng)類似，如果瞬時(shí)阻尼h0（t）和瞬時(shí)固有頻率（t）是關(guān)于時(shí)間的慢時(shí)變函數(shù)，那么類似的可以推導(dǎo)出瞬時(shí)阻尼 h0（t）和固有頻率（t）：

工程實(shí)際中，由于響應(yīng)信號(hào)包絡(luò)線的導(dǎo)數(shù)值都比固有頻率小得多，其影響可以忽略不計(jì)，即0。因此，響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率可以寫成：

環(huán)境激勵(lì)或者地震作用f可以假設(shè)為具有零均值的時(shí)程函數(shù)，所以式（13）中的后一部分也是零均值快變的時(shí)變函數(shù)。如果（t）是弱非線性系統(tǒng)的慢變時(shí)變函數(shù)，通過AMD方法［12］過濾掉信號(hào)瞬時(shí)頻率 ω2（t）快變時(shí)變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率（t）。

1.2 多自由度系統(tǒng)（MDOF）

對(duì)于有n個(gè)自由度的時(shí)變或弱非線性系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程可以表述為

式中：M（t），C（t）和 K（t）分別是時(shí)變質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣：f（t）是外荷載。在模態(tài)坐標(biāo)中，式（14）可以轉(zhuǎn)換為

式中：是第i階模態(tài)質(zhì)量；i是第i階振型向量；（t）是第i階模態(tài)響應(yīng)的固有頻率。模態(tài)響應(yīng)的信號(hào)瞬時(shí)頻率（t）可以寫成

此外，環(huán)境激勵(lì)或者地震作用f可假設(shè)為具有零均值的時(shí)程函數(shù)，同樣的，式（16）的后一部分是零均值快變的時(shí)變函數(shù)。通過AMD方法［12］過濾掉模態(tài)響應(yīng)qi（t）的瞬時(shí)頻率（t）快變時(shí)變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第i階固有頻率（t）。

對(duì)于多自由度體系，所測(cè)得的第I個(gè)自由度的位移xl（t）為模態(tài)響應(yīng) qi（t）函數(shù)

式中：li為第I個(gè)自由度的第i階振型向量。因此，從xl（t）中分解而得的第i階模態(tài)響應(yīng)x（i）l（t）可以寫成：

對(duì)于有n個(gè)自由度的時(shí)變或弱非線性系統(tǒng)，li為慢變時(shí)變函數(shù)且未知，因此，無法獲得第i階模態(tài)響應(yīng)qi（t），而第 i階響應(yīng)（t）＝liqi則可以通過下文將要介紹的AMD分解方法獲得，其相應(yīng)的解析信號(hào)可表示為

從式（19）可以看出，分離出來的模態(tài)響應(yīng)信號(hào)（t）的瞬時(shí)頻率等于模態(tài)響應(yīng)qi（t）的瞬時(shí)頻率。因此，過濾掉AMD分解得到模態(tài)響應(yīng)（t）的瞬時(shí)頻率的快變時(shí)變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第i階固有頻率（t）。

2 基于AMD方法的時(shí)變非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)分解

Chen等［12］首先提出了具有密集模態(tài)的時(shí)不變信號(hào)的解析模式分解定理，并給出了相應(yīng)的證明。解析模式分解可以描述如下：

對(duì)于任意由n個(gè)信號(hào)分量（t）（i＝1，2，…，n）組成的原信號(hào)x（t），如果它的每一分量的頻率 ω1，ω2，…，ωn（ωi＞0；i＝1，2，…，n）滿足：（｜ω1｜＜ωb1），（ωb1＜｜ω2｜＜ωb2），…，（ωb（n－2）＜｜ωn－1｜＜ωb（n－1）和（ωb（n－1）＜｜ωn｜），其中，ωbi∈（ωi，ωi＋1）（i＝1，2，…，n－1）為n－1個(gè)二分截止頻率，那么它的每一信號(hào)分量可以解析地給出：

式中，H［·］表示希爾伯特變換運(yùn)算。

對(duì)于具有時(shí)變頻率的非平穩(wěn)信號(hào)，本文將解析模式分解定理拓展成如下：

對(duì)于任意由n個(gè)信號(hào)分量（t）（i＝1，2，…，n）組成的原信號(hào)x（t），如果它的每一分量的時(shí)變頻率ω1（t），ω2（t），…，ωn（t）滿足：｜ω1（t）｜＜ωb1（t），ωb1（t）＜｜ω2（t）｜＜ωb2（t），…，ωb（n－2）（t）＜｜ωn－1（t）｜＜ωb（n－1）（t），和 ωb（n－1）（t）＜｜ωn（t）｜。其中，ωbi（t）∈（ωi（t），ωi＋1（t））（i＝1，2，…，n－1）是選取的時(shí)變截止頻率。那么它的每一信號(hào)分量可以解析地給出：

式中：dτ為時(shí)變截止頻率的積分，即相位角。

根據(jù)上述AMD分解的表述，可以設(shè)計(jì)如圖1所示的自適應(yīng)低通濾波器。AMD的本質(zhì)是利用Hilbert變換把每一具有特定頻率成分的信號(hào)解析的分解出來。對(duì)于多個(gè)時(shí)變密集頻率信號(hào)疊加的復(fù)雜信號(hào)，AMD定理通過構(gòu)造一對(duì)具有相同特定時(shí)變頻率的正交函數(shù)，并利用這對(duì)時(shí)變正交函數(shù)與原復(fù)雜信號(hào)的乘積的Hilbert變換，把任意在頻率時(shí)間平面內(nèi)低于正交函數(shù)時(shí)變頻率的信號(hào)解析地分解出來。

圖1 基于AMD分解的時(shí)頻低通濾波器框圖Fig．1 Block diagram of a time-frequency lowpass filter with AMD method

3 自由振動(dòng)下時(shí)變與非線性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

3.1 自由振動(dòng)下杜芬系統(tǒng)的瞬時(shí)頻率識(shí)別

本文首先用硬化彈簧和線性阻尼組成的杜芬系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，其杜芬方程［21］為

系統(tǒng)初始位移為10 cm，初始速度為0的自由振動(dòng)信號(hào)可由四階龍格庫塔法計(jì)算獲得。本算例取時(shí)間間隔為0．1 s，其計(jì)算得到的自由振動(dòng)響應(yīng)和傅里葉譜如圖2所示。

圖2 非線性杜芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)和傅里葉譜Fig．2 Free response and its Fourier spectrum of nonlinear Duffing system

對(duì)于單自由的體系，通過AMD方法過濾掉信號(hào)瞬時(shí)頻率的快變時(shí)變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率。響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，阻尼系數(shù)以及利用本文方法識(shí)別出來的結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率、阻尼如圖3所示。從圖3中可以看出，在振幅較大的時(shí)間范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)非線性硬化程度比較大，結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率也比較大。自由振動(dòng)開始時(shí)，瞬時(shí)頻率迅速下降，最后逐漸趨于相應(yīng)的線性系統(tǒng)的頻率值（0．16 Hz）。因此，響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率的慢變部分可以準(zhǔn)確地反映弱非線性系統(tǒng)的頻率變化。響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)阻尼系數(shù)的慢變部分為水平直線（0．025），說明識(shí)別出來的阻尼系數(shù)為常數(shù)0．025，這與杜芬系統(tǒng)的阻尼系數(shù)也是一致的。

圖3 識(shí)別出的瞬時(shí)頻率和阻尼系數(shù)Fig．3 Identified instantaneous frequency and damping coefficient

3.2 自由振動(dòng)下索的時(shí)變頻率識(shí)別試驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法在時(shí)變參數(shù)識(shí)別上的有效性，本文利用文獻(xiàn)［22］的一時(shí)變拉索試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。試驗(yàn)索為一根75的鋼絞線，一端用反力架錨固，另一端固定在MTS加載系統(tǒng)上。兩錨固點(diǎn)間的索長為4．55 m。將加速度傳感器豎向安裝在索的中部，其采樣頻率600 Hz，試驗(yàn)裝置如圖4所示。拉索由錘子敲擊產(chǎn)生自由振動(dòng)，本文分別對(duì)拉力線性變化和正弦變化兩種情況的時(shí)變頻率進(jìn)行了識(shí)別。

圖4 拉索試驗(yàn)裝置Fig．4 Cable test setup

拉索拉力與索的頻率關(guān)系可以通過固定索的拉力，測(cè)得索的自由振動(dòng)響應(yīng)，并利用峰值法識(shí)別出結(jié)構(gòu)在固定拉力下的固有頻率，并把固定拉力下測(cè)得的索的固有頻率作為準(zhǔn)確值。索的拉力與固有頻率的關(guān)系如圖5所示。

圖5 同定值拉力作用下識(shí)別出的一階固有頻率Fig．5 Identified first natural frequency with fixed tension forces

3．2．1 拉力線性變化時(shí)索的瞬時(shí)頻率識(shí)別

試驗(yàn)時(shí)索的拉力從20 kN開始以1．67kN／s的速率線性增加，索力變化過程中同時(shí)采集索的沖擊加速度響應(yīng)，共采集6 s，響應(yīng)信號(hào)如圖6所示。由于用錘子產(chǎn)生自由振動(dòng)的方式無避免噪聲效應(yīng)的產(chǎn)生，如果這個(gè)噪聲激勵(lì)是零均值的，那么所測(cè)模態(tài)響應(yīng)中慢變時(shí)變部分的瞬時(shí)頻率可以看作是索的時(shí)變頻率。因此，本文選用二分截止頻率為20 Hz，利用AMD把第一階模態(tài)響應(yīng)分解出來，識(shí)別出的響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率和結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率如圖7所示。從圖中可以看出，測(cè)試獲得模態(tài)響應(yīng)信號(hào)中的瞬時(shí)頻率等于系統(tǒng)的慢變時(shí)變頻率加上環(huán)境振動(dòng)的零均值快變的時(shí)變頻率。因而模態(tài)響應(yīng)信號(hào)中的瞬時(shí)頻率的慢變時(shí)變頻率部分可以有效地識(shí)別出索的時(shí)變頻率。

圖6 拉力線性變化時(shí)測(cè)得索中點(diǎn)處的自由響應(yīng)Fig．6 Measured free response at middle of cable with linear varying tension force

圖7 拉力線性變化時(shí)識(shí)別出的瞬時(shí)頻率Fig．7 Identified instantaneous frequency with linear varying tension force

圖8 拉力正弦變化時(shí)測(cè)得索中點(diǎn)處的自由響應(yīng)Fig．8 Measured free response at middle of cable with sinusoidal tension force

3．2．2 拉力正弦變化時(shí)索的瞬時(shí)頻率識(shí)別

此試驗(yàn)中，拉力按的方式隨時(shí)間正弦變化。同樣，索力變化過程中同時(shí)采集索的沖擊加速度響應(yīng)，共采集6 s。響應(yīng)信號(hào)如圖8所示。通過本文方法識(shí)別出的瞬時(shí)頻率如圖9所示，從圖中可以看出，模態(tài)響應(yīng)瞬時(shí)頻率慢時(shí)變的部分與系統(tǒng)瞬時(shí)頻率是較為吻合的，可以有效的識(shí)別出索的時(shí)變頻率。

圖9 拉力正弦變化時(shí)識(shí)別出的瞬時(shí)頻率Fig．9 Identified instantaneous frequency with sinusoidal tension force

4 受迫振動(dòng)下具有密集模態(tài)的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別

對(duì)一具有密集模態(tài)的時(shí)變兩層框架系統(tǒng)（圖10）進(jìn)行數(shù)值模擬。下層和上層的集中質(zhì)量分別為m1＝2．63×105kg和 m2＝1．75×103kg，結(jié)構(gòu)的第一和第二階阻尼比為2%。結(jié)構(gòu)的第一階和第二階固有時(shí)變頻率為。對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)下層和上層剛度系數(shù)為：

分別對(duì)結(jié)構(gòu)在1940 El Centro地震激勵(lì)下和具有零均值和0．1 g（g為重力加速度）方差的高斯白噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并把第一層模擬的位移響應(yīng)x1作為實(shí)測(cè)的時(shí)程響應(yīng)。為了利用AMD對(duì)模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分離，首先選用中心頻率為5 Hz，帶寬為8的復(fù)Morlet小波函數(shù)，對(duì)模擬的信號(hào)進(jìn)行小波變換，獲得小波量圖，并粗略利用模最大的方法提取瞬時(shí)頻率脊線（如圖11），從而通過取小波脊線的平均值作為AMD分解的時(shí)變截止頻率。利用AMD分解獲得每一階的模態(tài)響應(yīng)如圖12所示。利用本文方法識(shí)別的模態(tài)響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率和結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率如圖13所示。

該方法首先利用小波變換近似將密集模態(tài)的時(shí)變頻率脊線提取出來，再根據(jù)近似的時(shí)變脊線選擇每一信號(hào)分量的時(shí)變截止頻率，利用AMD分解實(shí)現(xiàn)每一信號(hào)的分離，而不再需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行重建。這樣的優(yōu)點(diǎn)是，根據(jù)Heisenberg-Gabor不確定性定理，小波分析不能同時(shí)在時(shí)域與頻域內(nèi)達(dá)到較高的精度［23］，那么對(duì)具有密集模態(tài)的時(shí)變響應(yīng)，不僅需要較高的頻率精度，實(shí)現(xiàn)模態(tài)的分離，同時(shí)也需要較高的時(shí)間精度，從而可以準(zhǔn)確地得到信號(hào)的瞬時(shí)特征。結(jié)合AMD分解的優(yōu)勢(shì)，先通過選擇合適的具有較高頻率精度的小波參數(shù)，先選擇失去時(shí)間精度的瞬時(shí)頻率，利用AMD實(shí)現(xiàn)每一信號(hào)的分離和本文提取的時(shí)變參數(shù)識(shí)別方法，就可以較精確地得到同時(shí)具有較高時(shí)間與頻率精度的瞬時(shí)頻率。

從圖11中也可以看出，簡單的通過模擬最大提取的小波脊線并不能有效的識(shí)別出結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。而如圖13所示，結(jié)合AMD與本文提出的方法識(shí)別出來的結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率與理論值十分吻合，從而有效地識(shí)別出了具有密集模態(tài)的多自由的瞬時(shí)頻率。

圖10 兩層框架結(jié)構(gòu)Fig．10 Two-story shear building

圖11 基于小波變換的結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率參數(shù)識(shí)別Fig．11 Instantaneous frequencies by wavelet transform method

圖12 AMD分解的模態(tài)響應(yīng)Fig．12 Decomposed modal responses by AMD

圖13 基于AMD分解方法的瞬時(shí)頻率識(shí)別Fig．13 Identified instantaneous frequencies by AMD

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了單自由度與多自由度體系在自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)下模態(tài)響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率與結(jié)構(gòu)本身的瞬時(shí)頻率的關(guān)系。對(duì)于具有密集模態(tài)的時(shí)變與非線性的多自由度體系，通過小波變換選取二分時(shí)變截止頻率，并利用本文提出的擴(kuò)展解析模式分解方法對(duì)時(shí)變與非線性結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)時(shí)變參數(shù)的識(shí)別。通過數(shù)值模擬和試驗(yàn)驗(yàn)證，可以得到如下結(jié)論：

（1）對(duì)于時(shí)變的線性結(jié)構(gòu)和弱非線性結(jié)構(gòu)，模態(tài)響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率緩慢變化的部分與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瞬時(shí)頻率近似相等。因此可以利用模態(tài)響應(yīng)信號(hào)中的瞬時(shí)頻率的慢變部分有效地識(shí)別出結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率。

（2）對(duì)于具有密集模態(tài)的多自由度結(jié)構(gòu)體系，利用小波變換近似選擇二分時(shí)變截止頻率，并利用擴(kuò)展的解析模式分解方法可以有效地對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分離，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)具有密集模態(tài)的多自由度體系瞬時(shí)頻率的識(shí)別。

（3）數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法對(duì)時(shí)變線性和非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)模態(tài)參數(shù)識(shí)別具有較高的時(shí)間和頻率精度。

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