陳洪波

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

高等數(shù)學(xué)是理工科開設(shè)的一門重要的必修基礎(chǔ)課，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，微分與積分是教學(xué)重點(diǎn).積分運(yùn)算比微分運(yùn)算困難很多，最主要是積分運(yùn)算沒有一種統(tǒng)一的方法，根據(jù)不定積分運(yùn)算法則和積分公式只能求得一部分簡單函數(shù)的積分，而對于更廣泛的、復(fù)雜的函數(shù)的不定積分要根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)選擇積分方法.所以，求不定積分有非常大的靈活性.

1 分部積分法

分部積分法是與乘積的微分法相對應(yīng)的一種方法，是化簡被積函數(shù)為可求積形式的重要而有效的方法，往往對被積函數(shù)是兩個(gè)基本初等函數(shù)的乘積的形式用分部積分法.分部積分法是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

首先，要牢記分部積分公式:設(shè)u(x)，v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有分部積分公式

該公式的核心是將左側(cè)積分∫udv轉(zhuǎn)化成右邊積分∫vdu.

其次，掌握利用分部積分公式來求積分的過程:

2 使用分部積分法求積分的關(guān)鍵

使用分部積分公式求解積分的關(guān)鍵在于u、dv的選取原則和技巧.

(1)u、dv的選取一般原則:由dv易求出v;比好求.

(2)u的選取優(yōu)先原則:“反、對、冪、三、指;誰在前u選誰”.

意思是說:由反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)中任意兩個(gè)函數(shù)的乘積構(gòu)成的被積函數(shù)，一般用分部積分法來求;求積分時(shí)，按照“反三角函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)”先后順序，誰在前u選誰，其余的作為dv.

這樣選取的原因是:反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是冪函數(shù)，使積分∫vdu比∫udv好求解，而三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是他們本身，這樣把冪函數(shù)排在他們之前選取u，以便于使逐次求導(dǎo)有可能會化簡冪函數(shù)為常數(shù)，有利于我們求積分.

3 典型例題

例1 求∫xarctanxdx

分析 被積函數(shù)由“冪函數(shù)與反三角函數(shù)乘積”構(gòu)成，u選反三角函數(shù).

解 設(shè)u=arctanx，dv=xdx;則 du=則

分析 被積函數(shù)是“對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積”構(gòu)成，u選對數(shù)函數(shù).

通過上面例題2告訴我們，在積分過程中求解積分時(shí)，按照解題需要，可以多次使用分部積分公式.但每一次u和dv的選取要根據(jù)具體積分具體選取.

例3 求∫exsinxdx.

分析 被積函數(shù)由“三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積”構(gòu)成，u選三角函數(shù).

解 設(shè)u=sinx，dv=exdx;則 du=cosxdx，v=ex

通過上面例題3告訴我們，在積分過程中求解積分時(shí)，有些還會出現(xiàn)與原不定積分同類的項(xiàng)，需經(jīng)移項(xiàng)合并后方能完成求解.

4 結(jié)束語

某些函數(shù)可能不止一次的應(yīng)用分部積分公式才能求解，不管用幾次公式，只要依據(jù)我們總結(jié)的u、dv的選取原則，選對u和dv，就能又準(zhǔn)又快的求出積分.總之，只要記牢分部積分公式，牢記u、dv的選取原則，就能準(zhǔn)確快速的運(yùn)用分部積分公式求解積分.

［1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).北京:高等教育出版社，2002.

［2］ 趙樹嫄.微積分.北京:中國人民大學(xué)出版社，2007.

［3］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.北京:高等教育出版社，2009.

［4］ 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).北京:高等教育出版社，2009.

［5］ 劉玉蓮，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義.北京:高等教育出版社，2006.

［6］ 黃永輝.數(shù)學(xué)分析選講.北京:中國鐵道出版社，2008.