余獻虎+胡興余+周勝利

很多學(xué)業(yè)考試題源于教材，又高于教材.本文通過反芻2014年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試（衢州卷）數(shù)學(xué)試題卷23題的命制過程，探討從不同角度挖掘試題內(nèi)涵，命題創(chuàng)新試題的方法.

1“源”題分析

該題“源自”浙教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊127頁第4題.題目如下：

如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

試題特征：

①結(jié)論：AE=BF.便于等量代換；

②條件：AE⊥BF.連結(jié)EF，F(xiàn)A，則S四邊形ABEF=

12AE2.

2基本變式

“源”題核心結(jié)論是夾在正方形兩組對邊之間的垂線段相等.在源題基礎(chǔ)上最常見變式是：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，H，G分別是BC，CD，DA，AB上的點，HE⊥GF，AE與BF還相等嗎？說明理由.

這是平移變換，問題解決策略可由“源題”直接類比得到.需要添加的輔助線，旨在考查考生知識遷移能力.

3討論分析

試題還能從哪些方面再變衍和延拓呢？

分析：①“AE⊥BF”的垂足，可從正方形內(nèi)任意點移至正方形中心、正方形對角線上、正方形邊上（包括正方形頂點）；②點E，F(xiàn)，H，G的位置，可在相應(yīng)邊或邊的延長線上.辨明這些變化，利于發(fā)現(xiàn)試題變衍視角.

變衍一垂足為正方形頂點.如圖3，點G是正方形ABCD的邊AB所在直線上一點，DE⊥DG交邊BC所在的直線于點E，求證：DG=DE.

該變實質(zhì)是一塊直角頂點與點D重合的直角三角板繞著點D旋轉(zhuǎn)，則直角三角板的直角邊與正方形的邊AB，BC所在直線的交點到頂點D的距離相等.但圖3沒有圖1簡潔.

變衍二垂足為一邊上的點.如圖4，點H是正方形ABCD的邊AD上一點，點G在邊AB所在的直線上，GH的延長線與邊CD所在的直線交于點F，HE⊥GF交邊BC所在的直線交于點E，求證：GF=HE.

變衍三垂足在正方形外.如圖5，點O是正方形ABCD外一點，過點O的直線與邊AB，CD所在直線交于點G，F(xiàn)，過點O作OE⊥GF，交AD，BC所在的直線于點H，E，除正方形ABCD各邊相等外，圖中還有那些線段一定相等（不添加字母，也不連線），說明理由.

變衍四垂足為正方形中心.如圖6，顯然GF=HE，四邊形EFHG是正方形，正方形ABCD被分成四個全等的四邊形.

這樣，試題又回到了浙教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)八年級下冊第158頁第11題.

根據(jù)上述變衍可知，夾在正方形兩組對邊之間的垂線段相等.編制利用這一結(jié)論解答的數(shù)學(xué)試題，可以實現(xiàn)試題的再次延拓.

延拓一針對變衍二.

連結(jié)FE.設(shè)AB=12，HD=3，BE=x，四邊形BEFG的面積是y，當0≤x≤12時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

解法一如圖7，連結(jié)GE，作EI⊥AD，垂足為I，可證△EIH∽△HAG，所以，IHAG=IEAH，代入化簡得，AG=274-34x，即BG=754-34x.由勾股定理得，HE2=IE2+HI2=（9-x）2+122=x2-18x+225，由題意得y=12BE.EG+12HE2，所以，y=18x2+38x+2252.

解法二作EI⊥AD，垂足為I，利用△EIH∽△HAG表示AG，利用△EIH∽△HDF表示DF，則y=S梯形BCFG-S△ECF=18x2+38x+2252，完成解答.

學(xué)以致用是關(guān)鍵.兩種方法，不過于狹隘，又能與結(jié)論接合.

延拓二針對變衍三.

如圖8，設(shè)GF與AD交于點M，若AB=12，OA=AG=23，∠OAD=30°，求DF，BE的長.

解答中需運用等邊三角形性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)等核心知識，這些延拓旨在培養(yǎng)學(xué)生獨立、開拓、創(chuàng)新的自我數(shù)學(xué)思考力.

延拓三針對衍生圖.

如下圖所示，設(shè)EH⊥GF的垂足O在正方形ABCD內(nèi)，且E，F(xiàn)，H，G分別在邊BC，CD，DA，AB上.

思考一如圖9，是否有結(jié)論S四邊形OHAG+S四邊形OECF=S四邊形OGBE+S四邊形OFDH成立呢？若成立，請證明；若不成立，請舉一個反例.

圖1就是最好的反例.

思考二如圖10，連結(jié)GH，EF，若陰影部分恰好是“蝴蝶”圖案（△OGH≌△OEF），點O必在BD上，請證明.

思考三如圖11，若GH∥EF，陰影部分是“幸運瓶”圖案.當AB=a，HO∶EO=m時，陰影部分面積之和與a之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請用含a、m的代數(shù)式表示.

這些思考，都圍繞著“當EH⊥GF時，EH=GF”展開，提升了試題的創(chuàng)新力.

延拓四針對變衍四.

如圖12，正方形ABCD的邊長為a，點G，E，F(xiàn)，H分別在AB，BC，CD，DA上，且DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH.問AH長為多少時，四邊形GEFH面積有最小值？求出這個最小值.

依據(jù)該題，可作如下思考：

思考一：滿足上述關(guān)系的EH，F(xiàn)G能相等嗎？說明理由.

思考二：若把“DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH”改為“DF=2AH，CE=4AH，BG=3DH”，EH，F(xiàn)G能相等嗎？說明理由.

思考三：在“思考二”中，EH，F(xiàn)G能垂直嗎？說明理由.

思考三需逆向思維，考查學(xué)生化歸思想.

4建議選擇

基于上述分析的選題方向.

4.1針對圖3，沒有圖1簡潔.

意見接近旋轉(zhuǎn)變換，新點不夠，從教材出發(fā)的立足點也看不見.endprint

4.2針對圖4，看不出圖1的影子，有新點.

嘗試編題：圖13如圖13，已知點P是邊長為4的正方形ABCD的邊CD的中點，點T是邊AB上由A向B運動的動點.設(shè)AT=x（0≤x≤4），過P作EF⊥PT，交AD（或AD的延長線）于E，交BC（或BC的延長線）于F.連結(jié)TE，TF.

（1）求證：△TEF是等腰三角形；

（2）當x為的值時，TB=BF？

（3）當點T在邊AB上由A向B的方向運動時，設(shè)順次連結(jié)點A，T，F(xiàn)，E圍成的多邊形的的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出S的最小值.

意見（1）問巧用中點搭橋，證明“△EFG是等腰三角形”起點偏高，入口偏窄；（2）問借用（1）問中的“腰”列方程；（3）問考查割補法表示面積關(guān)系，與教材對應(yīng)結(jié)論“OE=GF”聯(lián)系不緊密，價值不突出.

4.3源題圖形簡潔，暗藏平移變換和類比思想

嘗試編題：如圖14，在邊長為12的正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且AF⊥BE.

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且EF⊥HG.EF與HG是否相等？并說明理由.

（3）若E為BC的中點，F(xiàn)為邊AD上一動點，設(shè)AF=t，順次連接E、G、F、H，四邊形EGFH的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值.

意見題干與設(shè)問不配套，數(shù)學(xué)思想和方法體現(xiàn)不夠，陳題味重，沒有亮點.（1）、（2）問面向全體學(xué)生，重基礎(chǔ)，保07，突出終結(jié)性考試功能，但圖形和字母順序不統(tǒng)一；（3）問要突出學(xué)業(yè)考試的選拔功能，而這里僅用S=12EF2，難度、區(qū)分度不夠.建議把（3）問變新穎、活潑，要能考查核心知識和核心思想，要更有思維量.

4.4（3）問選擇

研討后選定圖11“幸運瓶”為（3）問背景圖，編題如下：

如圖16，在正方形ABCD中，點G，E，F(xiàn)，H分別在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求陰影部分的面積.

意見：能凸顯“HE=GF”這一結(jié)論的作用和價值，以“幸運瓶”為背景的設(shè)問使試題呈現(xiàn)活潑的一面.考查了正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等內(nèi)容，需要在（2）問的引導(dǎo)下添加適當?shù)妮o助線，要求考生要有較強的綜合能力，考查了該學(xué)段的核心知識和核心思想，符合全卷23題第三問的位置特征和難度要求.

4.5試題定稿

多次研討、修改后，定稿.試題如下：

提出問題：

（1）如圖17，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上.若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH.

類比探究：

（2）如圖18，在正方形ABCD中，點H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求圖中陰影部分的面積.

意見試題源于教材，起點低，難度循序漸進，前問為后問的解答鋪墊.（3）問需要用到兩次相似，才能求得AF長并證得OFOE=OHOG=12，進而證得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF長的前提下，利用（2）中的結(jié)論，求得陰影部分面積.該問思維量大，有挑戰(zhàn)性.

5反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》既強調(diào)“使數(shù)學(xué)教育面向全體，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)觀、普及觀，也強調(diào)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的差異性和發(fā)展觀.后者要求試題不僅應(yīng)“源于教材”，最終要高于教材.由此想到：

5.1有價值的教材素材，應(yīng)具有可開拓性、可創(chuàng)新性，有新的生長點，還要有活躍度

學(xué)業(yè)考試強調(diào)“以本為本”，后面這個“本”就指教材.選用教材，旨在引導(dǎo)教學(xué)回歸本源，以教材為本作試題的改造整編，移植借鑒工作，實現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的升華.

當然，素材可改編，意味著素材具有可操作性，可開拓性，可創(chuàng)新性，有新的生長點，還要有較強的活躍度.本題中垂足的位置、圖形的變換都呈現(xiàn)了這些屬性.

說到活躍度，有一小插曲.早晨，我躺在床上記錄前一天心得與反思時，胡老師突然說“昨晚沒蚊子吧.我開了空調(diào)，溫度低，蚊子就不活躍了”.我突然悟明，對于有價值的教材素材，還要有“活躍度”.

5.2推“陳”還要出“新”

好的教材素材，往往有“陳”的一面.這“陳”的一面，顯示問題低起點，符合學(xué)業(yè)考試難度系數(shù)07的要求.作為23題的（3）問，還要體現(xiàn)其選拔功能.這就要求該處的設(shè)問推“陳”還要出“新”.

本卷23題（3）問從“幸運瓶”的平行線與相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”這對關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)，依次求出AF，EF，OF，OE的長，直至求得陰影部分的面積.（3）問一洗陳舊，給人全新感受，實現(xiàn)了試題“源于教材，高于教材”的目標.endprint

4.2針對圖4，看不出圖1的影子，有新點.

嘗試編題：圖13如圖13，已知點P是邊長為4的正方形ABCD的邊CD的中點，點T是邊AB上由A向B運動的動點.設(shè)AT=x（0≤x≤4），過P作EF⊥PT，交AD（或AD的延長線）于E，交BC（或BC的延長線）于F.連結(jié)TE，TF.

（1）求證：△TEF是等腰三角形；

（2）當x為的值時，TB=BF？

（3）當點T在邊AB上由A向B的方向運動時，設(shè)順次連結(jié)點A，T，F(xiàn)，E圍成的多邊形的的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出S的最小值.

意見（1）問巧用中點搭橋，證明“△EFG是等腰三角形”起點偏高，入口偏窄；（2）問借用（1）問中的“腰”列方程；（3）問考查割補法表示面積關(guān)系，與教材對應(yīng)結(jié)論“OE=GF”聯(lián)系不緊密，價值不突出.

4.3源題圖形簡潔，暗藏平移變換和類比思想

嘗試編題：如圖14，在邊長為12的正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且AF⊥BE.

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且EF⊥HG.EF與HG是否相等？并說明理由.

（3）若E為BC的中點，F(xiàn)為邊AD上一動點，設(shè)AF=t，順次連接E、G、F、H，四邊形EGFH的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值.

意見題干與設(shè)問不配套，數(shù)學(xué)思想和方法體現(xiàn)不夠，陳題味重，沒有亮點.（1）、（2）問面向全體學(xué)生，重基礎(chǔ)，保07，突出終結(jié)性考試功能，但圖形和字母順序不統(tǒng)一；（3）問要突出學(xué)業(yè)考試的選拔功能，而這里僅用S=12EF2，難度、區(qū)分度不夠.建議把（3）問變新穎、活潑，要能考查核心知識和核心思想，要更有思維量.

4.4（3）問選擇

研討后選定圖11“幸運瓶”為（3）問背景圖，編題如下：

如圖16，在正方形ABCD中，點G，E，F(xiàn)，H分別在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求陰影部分的面積.

意見：能凸顯“HE=GF”這一結(jié)論的作用和價值，以“幸運瓶”為背景的設(shè)問使試題呈現(xiàn)活潑的一面.考查了正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等內(nèi)容，需要在（2）問的引導(dǎo)下添加適當?shù)妮o助線，要求考生要有較強的綜合能力，考查了該學(xué)段的核心知識和核心思想，符合全卷23題第三問的位置特征和難度要求.

4.5試題定稿

多次研討、修改后，定稿.試題如下：

提出問題：

（1）如圖17，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上.若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH.

類比探究：

（2）如圖18，在正方形ABCD中，點H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求圖中陰影部分的面積.

意見試題源于教材，起點低，難度循序漸進，前問為后問的解答鋪墊.（3）問需要用到兩次相似，才能求得AF長并證得OFOE=OHOG=12，進而證得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF長的前提下，利用（2）中的結(jié)論，求得陰影部分面積.該問思維量大，有挑戰(zhàn)性.

5反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》既強調(diào)“使數(shù)學(xué)教育面向全體，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)觀、普及觀，也強調(diào)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的差異性和發(fā)展觀.后者要求試題不僅應(yīng)“源于教材”，最終要高于教材.由此想到：

5.1有價值的教材素材，應(yīng)具有可開拓性、可創(chuàng)新性，有新的生長點，還要有活躍度

學(xué)業(yè)考試強調(diào)“以本為本”，后面這個“本”就指教材.選用教材，旨在引導(dǎo)教學(xué)回歸本源，以教材為本作試題的改造整編，移植借鑒工作，實現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的升華.

當然，素材可改編，意味著素材具有可操作性，可開拓性，可創(chuàng)新性，有新的生長點，還要有較強的活躍度.本題中垂足的位置、圖形的變換都呈現(xiàn)了這些屬性.

說到活躍度，有一小插曲.早晨，我躺在床上記錄前一天心得與反思時，胡老師突然說“昨晚沒蚊子吧.我開了空調(diào)，溫度低，蚊子就不活躍了”.我突然悟明，對于有價值的教材素材，還要有“活躍度”.

5.2推“陳”還要出“新”

好的教材素材，往往有“陳”的一面.這“陳”的一面，顯示問題低起點，符合學(xué)業(yè)考試難度系數(shù)07的要求.作為23題的（3）問，還要體現(xiàn)其選拔功能.這就要求該處的設(shè)問推“陳”還要出“新”.

本卷23題（3）問從“幸運瓶”的平行線與相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”這對關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)，依次求出AF，EF，OF，OE的長，直至求得陰影部分的面積.（3）問一洗陳舊，給人全新感受，實現(xiàn)了試題“源于教材，高于教材”的目標.endprint

4.2針對圖4，看不出圖1的影子，有新點.

嘗試編題：圖13如圖13，已知點P是邊長為4的正方形ABCD的邊CD的中點，點T是邊AB上由A向B運動的動點.設(shè)AT=x（0≤x≤4），過P作EF⊥PT，交AD（或AD的延長線）于E，交BC（或BC的延長線）于F.連結(jié)TE，TF.

（1）求證：△TEF是等腰三角形；

（2）當x為的值時，TB=BF？

（3）當點T在邊AB上由A向B的方向運動時，設(shè)順次連結(jié)點A，T，F(xiàn)，E圍成的多邊形的的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出S的最小值.

意見（1）問巧用中點搭橋，證明“△EFG是等腰三角形”起點偏高，入口偏窄；（2）問借用（1）問中的“腰”列方程；（3）問考查割補法表示面積關(guān)系，與教材對應(yīng)結(jié)論“OE=GF”聯(lián)系不緊密，價值不突出.

4.3源題圖形簡潔，暗藏平移變換和類比思想

嘗試編題：如圖14，在邊長為12的正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且AF⊥BE.

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且EF⊥HG.EF與HG是否相等？并說明理由.

（3）若E為BC的中點，F(xiàn)為邊AD上一動點，設(shè)AF=t，順次連接E、G、F、H，四邊形EGFH的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值.

意見題干與設(shè)問不配套，數(shù)學(xué)思想和方法體現(xiàn)不夠，陳題味重，沒有亮點.（1）、（2）問面向全體學(xué)生，重基礎(chǔ)，保07，突出終結(jié)性考試功能，但圖形和字母順序不統(tǒng)一；（3）問要突出學(xué)業(yè)考試的選拔功能，而這里僅用S=12EF2，難度、區(qū)分度不夠.建議把（3）問變新穎、活潑，要能考查核心知識和核心思想，要更有思維量.

4.4（3）問選擇

研討后選定圖11“幸運瓶”為（3）問背景圖，編題如下：

如圖16，在正方形ABCD中，點G，E，F(xiàn)，H分別在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求陰影部分的面積.

意見：能凸顯“HE=GF”這一結(jié)論的作用和價值，以“幸運瓶”為背景的設(shè)問使試題呈現(xiàn)活潑的一面.考查了正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等內(nèi)容，需要在（2）問的引導(dǎo)下添加適當?shù)妮o助線，要求考生要有較強的綜合能力，考查了該學(xué)段的核心知識和核心思想，符合全卷23題第三問的位置特征和難度要求.

4.5試題定稿

多次研討、修改后，定稿.試題如下：

提出問題：

（1）如圖17，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上.若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH.

類比探究：

（2）如圖18，在正方形ABCD中，點H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求圖中陰影部分的面積.

意見試題源于教材，起點低，難度循序漸進，前問為后問的解答鋪墊.（3）問需要用到兩次相似，才能求得AF長并證得OFOE=OHOG=12，進而證得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF長的前提下，利用（2）中的結(jié)論，求得陰影部分面積.該問思維量大，有挑戰(zhàn)性.

5反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》既強調(diào)“使數(shù)學(xué)教育面向全體，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)觀、普及觀，也強調(diào)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的差異性和發(fā)展觀.后者要求試題不僅應(yīng)“源于教材”，最終要高于教材.由此想到：

5.1有價值的教材素材，應(yīng)具有可開拓性、可創(chuàng)新性，有新的生長點，還要有活躍度

學(xué)業(yè)考試強調(diào)“以本為本”，后面這個“本”就指教材.選用教材，旨在引導(dǎo)教學(xué)回歸本源，以教材為本作試題的改造整編，移植借鑒工作，實現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的升華.

當然，素材可改編，意味著素材具有可操作性，可開拓性，可創(chuàng)新性，有新的生長點，還要有較強的活躍度.本題中垂足的位置、圖形的變換都呈現(xiàn)了這些屬性.

說到活躍度，有一小插曲.早晨，我躺在床上記錄前一天心得與反思時，胡老師突然說“昨晚沒蚊子吧.我開了空調(diào)，溫度低，蚊子就不活躍了”.我突然悟明，對于有價值的教材素材，還要有“活躍度”.

5.2推“陳”還要出“新”

好的教材素材，往往有“陳”的一面.這“陳”的一面，顯示問題低起點，符合學(xué)業(yè)考試難度系數(shù)07的要求.作為23題的（3）問，還要體現(xiàn)其選拔功能.這就要求該處的設(shè)問推“陳”還要出“新”.

本卷23題（3）問從“幸運瓶”的平行線與相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”這對關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)，依次求出AF，EF，OF，OE的長，直至求得陰影部分的面積.（3）問一洗陳舊，給人全新感受，實現(xiàn)了試題“源于教材，高于教材”的目標.endprint