沈岳夫

文[1]分別從退一步、轉(zhuǎn)視角、借數(shù)感、縝推演四個(gè)方面，闡述數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題策略，筆者拜讀后受益匪淺.現(xiàn)結(jié)合筆者在教學(xué)實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劇皹O端化策略”在解題中的一些做法，以與同行交流.

1用“極端化策略”法探求函數(shù)關(guān)系中的變化規(guī)律

對(duì)動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的圖形和圖象的函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題，有時(shí)考慮極端情形，如量的最大、最小，圖形特殊位置或臨界位置等，能找到解題的突破口，從極端情形的討論和研究找到解決最值問(wèn)題的方法，進(jìn)而確定函數(shù)關(guān)系的大致圖象.

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作CD的垂線交射線CA于點(diǎn)E.設(shè)AD=x，CE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）.

分析由于點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，雖然不與點(diǎn)A、B重合，但我們可考慮其重合的情況，這樣把問(wèn)題退到特殊情形.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由于DE⊥DC，此時(shí)點(diǎn)E也與點(diǎn)A重合，則根據(jù)題意易求CE=AC=3；當(dāng)點(diǎn)D在AB中點(diǎn)時(shí)，則CD=AD，∠ECD=∠DAC=30°，進(jìn)而求得CE=233；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，由于DE⊥DC，此時(shí)點(diǎn)DE與AC平行，雖然x不能取到2，但y應(yīng)該是無(wú)窮大.

解因?yàn)椤螦CB=90°，∠BAC=30°，AB=2，所以BC=1，AC=3.當(dāng)x=0時(shí)，y的值是3；當(dāng)x=1時(shí)，y的值是233；當(dāng)x=2時(shí)，由于DE⊥DC，此時(shí)點(diǎn)DE與AC平行.雖然x不能取到2，但y應(yīng)該是無(wú)窮大，故結(jié)合圖象，分析可知y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B.

點(diǎn)評(píng)本例直接處理，難度很大.但由于題目（包括已知條件、待求結(jié)論和圖形）中提取一些暗示信息，如D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）退到特殊位置——重合，繼而對(duì)圖形進(jìn)行定性、定量分析，將幾何圖形的直觀描述與代數(shù)的精確刻畫(huà)有機(jī)結(jié)合.這不僅找到了解題的切入口，而且迅速破解了問(wèn)題的結(jié)論，并對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解決具有一定的導(dǎo)向作用.

2用“極端化策略”法探求線段比值中的定值問(wèn)題

對(duì)于某些求解幾何圖形中的線段比值問(wèn)題，若從所給圖形入手很難找到解題突破口.此時(shí)，我們?nèi)舨捎靡恍缀巫儞Q手段，如平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等，使某些圖形回歸到特殊位置，蘊(yùn)涵在其中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的便會(huì)由隱變顯，從而達(dá)到順利而又簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題的目的.

例2如圖2，四邊形ABCD和AEGH都是正方形，求GC∶HD的值.

分析觀察圖形，直接求GC∶HD的值確實(shí)不知道從何處入手.但注意到四邊形ABCD和AEGH都是正方形，我們不妨把圖2退到圖3的特殊位置，此時(shí)因?yàn)檎叫蜛EGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，所以∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，則A，G，C共線，AB-AE=AD-AH，進(jìn)而得HD=BE，因?yàn)锳G=AEsin45°=2AE，AC=ABsin45°=2AB，所以GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE）=2BE=2HD，所以GC∶HD=2∶1.

解如圖4，連接AG、AC，因?yàn)锳GAH=ACAD=2，所以AGAC=AHAD.又因?yàn)椤螱AH=∠CAD=45°，所以∠GAH-∠CAH=∠CAD-∠CAH，即∠GAC=∠HAD，所以△CAG∽△DAH，所以GC∶HD=AC∶AD=2∶1.

點(diǎn)評(píng)本例從正方形AEGH的一般位置旋轉(zhuǎn)到圖3的特殊位置，發(fā)現(xiàn)了GC∶HD=2∶1，并由此獲得解題的啟發(fā)，作出輔助線順利求解.這樣讓一個(gè)看似“靜態(tài)”的圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，打破了思維定勢(shì)，實(shí)現(xiàn)由隱至顯、由生至熟、由深至淺、由難至易的化歸與轉(zhuǎn)化，這是把對(duì)抽象、一般問(wèn)題的探究轉(zhuǎn)向?qū)唧w、特殊問(wèn)題的探究，此謂“退一步，海闊天空”！

3用“極端化策略”法探求運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的最值

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果按照題意直接求解（證）有很大的困難，我們可以嘗試變換一個(gè)角度去看問(wèn)題，先找出符合題意的特殊值、特殊圖形、特殊位置來(lái)進(jìn)行試探，往往能得到啟示，找到解題的途徑.

例3如圖5，兩平行線l1、l2的距離等于6，點(diǎn)A為l1上一定點(diǎn).以AC為直徑的半圓紙片的半徑等于4.將半圓紙片裁剪得到扇形紙片AOB，圓心角∠AOB=α.將此扇形紙片繞著點(diǎn)A在l1、l2之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并要保證點(diǎn)B能落在直線l2上，請(qǐng)求的最大值和最小值.

（參考數(shù)椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34.）

分析由于以AC為直徑的半圓紙片繞著點(diǎn)A在l1、l2之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以只要考慮兩種特殊情形：當(dāng)OB⊥l2時(shí)，即點(diǎn)B是弧AB與l2相切的切點(diǎn)時(shí)，大到最大；當(dāng)AB⊥l2時(shí)，達(dá)到最小值.

解當(dāng)OB⊥l2時(shí)，α最大.如圖6，延長(zhǎng)BO交l1于點(diǎn)C.因?yàn)閘1∥l2，所以∠ACO=90°，所以cos∠AOC=COAO=12，所以∠AOC=60°，所以∠AOB=120°.

當(dāng)AB⊥l2時(shí)，α最小.如圖7，過(guò)O作OH⊥AB交于點(diǎn)H.由垂徑定理，得AH=BH=3，所以sin∠AOH=AHAO=34，所以∠AOH=49°.因?yàn)棣?2∠AOH，所以∠AOB=98°.

綜上所述，α的最大值和最小值分別是120°和98°.

點(diǎn)評(píng)本例看似較難入手，但由于扇形紙片繞著點(diǎn)A在l1、l2之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以只要細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、積極思考，就能找到兩種特殊情形OB⊥l2或AB⊥l2，進(jìn)而求得的最大值和最小值，這種解決問(wèn)題的方法思路稱(chēng)為極端化策略.極端化策略在進(jìn)行某些數(shù)學(xué)過(guò)程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極端性原則能提高解題效率，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，從而達(dá)到事半功倍的效果

4用“極端化策略”法探求運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的不變量

從特殊到一般，從一般到特殊的思維方法是數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)真理的重要途徑.對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可先考慮特殊情形，探求解題思路或命題的結(jié)論，再給出一般情況下的證明，體現(xiàn)了以退為進(jìn)，以屈求伸的解題策略.endprint

例4如圖8，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥軸于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個(gè)位置：（1）點(diǎn)A與點(diǎn)M重合；（2）在ON上選取點(diǎn)P的幾個(gè)特殊位置（如O點(diǎn)、N點(diǎn)），描出相應(yīng)的點(diǎn)B位置.從B的幾個(gè)位置猜想點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長(zhǎng)度，即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

解由題意可知，OM=22，點(diǎn)N在直線上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn.因?yàn)锳O⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現(xiàn)在來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因?yàn)锳O⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因?yàn)椤鰽B0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長(zhǎng)度為22.

點(diǎn)評(píng)蘇諄教授曾說(shuō)：“簡(jiǎn)單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供啟示與借鑒”.對(duì)于一類(lèi)以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題，可以通過(guò)“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.“特例探路”實(shí)質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進(jìn).這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過(guò)程優(yōu)化變短，顯得簡(jiǎn)潔明快.所謂“難的不會(huì)，想簡(jiǎn)單的”，說(shuō)的就是這個(gè)道理.

以上僅從四個(gè)方面談了“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用.事實(shí)上，“極端化策略”法遠(yuǎn)不止這些.只要我們認(rèn)真總結(jié)，用心感悟，靈活運(yùn)用，就會(huì)將“極端化策略”法變成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的法寶和利器.

參考文獻(xiàn)

[1]錢(qián)德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如圖8，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥軸于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個(gè)位置：（1）點(diǎn)A與點(diǎn)M重合；（2）在ON上選取點(diǎn)P的幾個(gè)特殊位置（如O點(diǎn)、N點(diǎn)），描出相應(yīng)的點(diǎn)B位置.從B的幾個(gè)位置猜想點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長(zhǎng)度，即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

解由題意可知，OM=22，點(diǎn)N在直線上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn.因?yàn)锳O⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現(xiàn)在來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因?yàn)锳O⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因?yàn)椤鰽B0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長(zhǎng)度為22.

點(diǎn)評(píng)蘇諄教授曾說(shuō)：“簡(jiǎn)單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供啟示與借鑒”.對(duì)于一類(lèi)以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題，可以通過(guò)“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.“特例探路”實(shí)質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進(jìn).這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過(guò)程優(yōu)化變短，顯得簡(jiǎn)潔明快.所謂“難的不會(huì)，想簡(jiǎn)單的”，說(shuō)的就是這個(gè)道理.

以上僅從四個(gè)方面談了“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用.事實(shí)上，“極端化策略”法遠(yuǎn)不止這些.只要我們認(rèn)真總結(jié)，用心感悟，靈活運(yùn)用，就會(huì)將“極端化策略”法變成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的法寶和利器.

參考文獻(xiàn)

[1]錢(qián)德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如圖8，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥軸于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個(gè)位置：（1）點(diǎn)A與點(diǎn)M重合；（2）在ON上選取點(diǎn)P的幾個(gè)特殊位置（如O點(diǎn)、N點(diǎn)），描出相應(yīng)的點(diǎn)B位置.從B的幾個(gè)位置猜想點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長(zhǎng)度，即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

解由題意可知，OM=22，點(diǎn)N在直線上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn.因?yàn)锳O⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現(xiàn)在來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因?yàn)锳O⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因?yàn)椤鰽B0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長(zhǎng)度為22.

點(diǎn)評(píng)蘇諄教授曾說(shuō)：“簡(jiǎn)單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供啟示與借鑒”.對(duì)于一類(lèi)以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題，可以通過(guò)“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.“特例探路”實(shí)質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進(jìn).這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過(guò)程優(yōu)化變短，顯得簡(jiǎn)潔明快.所謂“難的不會(huì)，想簡(jiǎn)單的”，說(shuō)的就是這個(gè)道理.

以上僅從四個(gè)方面談了“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用.事實(shí)上，“極端化策略”法遠(yuǎn)不止這些.只要我們認(rèn)真總結(jié)，用心感悟，靈活運(yùn)用，就會(huì)將“極端化策略”法變成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的法寶和利器.

參考文獻(xiàn)

[1]錢(qián)德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint