黃良春
關(guān)于“過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作一條直線平分三角形面積”的尺規(guī)作圖,有很多老師作過(guò)思考與研究,并得出了一定的結(jié)論.但從所查閱到的資料來(lái)看,對(duì)于這一問(wèn)題的結(jié)論還比較零散,且問(wèn)題研究不夠具體、細(xì)致.筆者經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析研究,對(duì)該問(wèn)題有了較為完整的結(jié)論與細(xì)致的思考過(guò)程.
以下為敘述方便,定義兩個(gè)概念:
1.面積平分線:平面內(nèi),如果一條直線把一個(gè)多邊形分成面積相等的兩個(gè)部分,那么這條直線就叫做這個(gè)多邊形的面積平分線;
2.旋轉(zhuǎn)相似多邊形:在平面內(nèi),先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小,再將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度,這種經(jīng)過(guò)縮放和旋轉(zhuǎn)的圖形與原多邊形叫做旋轉(zhuǎn)相似多邊形.
1過(guò)三角形邊上一點(diǎn)作面積平分線
1.若該點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn),那么,過(guò)該點(diǎn)的中線所在直線即為面積平分線.
圖12.若該點(diǎn)P在BC邊上(如圖1),且BP≠CP(不失一般性,BP 證明:設(shè)AD交PM于O點(diǎn),因?yàn)镈M∥AP,所以S△APM=S△APD,所以S△AOM=S△POD,所以S△PMC=S△ADC,又因?yàn)锳D為中線,所以S△ADC=12S△ABC,所以S△PMC=S△ADC=12S△ABC,即直線PM平分△ABC的面積. 2過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)作面積平分線 2.1思路分析 在圖2中,D為BC邊的中點(diǎn),P點(diǎn)為△ABC內(nèi)一點(diǎn).由上可知,若使經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直線MN平分△ABC的面積,則需S△MCN=12S△ABC,即MC·NC=12BC·AC=DC·AC.因?yàn)镻為△ABC內(nèi)一確定點(diǎn),所以,DC·AC必須與P點(diǎn)有關(guān)的線段聯(lián)系起來(lái).因此,可連接PD、PC以形成△PDC(如圖3),以C點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,作△PDC的旋轉(zhuǎn)相似△AEC,則有DC·AC=PC·EC.那么,問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為需MC·NC=PC·EC成立.顯然,以上線段分別是△PNC、△MEC的四條邊,且有∠NCP=∠ECM,那么,只需∠PNC=∠MEC,使得△PNC∽△MEC,即可得到MC·NC=PC·EC.過(guò)P點(diǎn)作PF∥NC交EC于F,那么,只需∠MPF=∠MEF.根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì),若P、F、M、E四點(diǎn)共圓即可,即M點(diǎn)為經(jīng)過(guò)三點(diǎn)P、F、E的圓與AC的交點(diǎn).這樣,問(wèn)題的解決則取決于E、F點(diǎn)的確定,而E、F兩點(diǎn)只與點(diǎn)P有關(guān),因此,問(wèn)題的最終解決也只與P點(diǎn)有關(guān). 由以上分析,可概括直線MN的作法步驟:(參見圖3) 在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn). (1)連接PD、PC; (2)作△AEC∽△PDC; (3)過(guò)P作PF∥BC,交EC于F; (4)作△PEF的外接圓,交AC于M; (5)連接MP并延長(zhǎng),交BC于N; 則MN為△ABC的面積平分線. (證明略) 2.2幾點(diǎn)思考 2.2.1中點(diǎn)的選擇 在上述討論中,圖3是由圖2而來(lái),中點(diǎn)D是既定的,無(wú)需我們作出選擇.但在已知一個(gè)三角形及其內(nèi)任意一點(diǎn)的條件之下,中點(diǎn)D該如何確定呢?是不是可以三個(gè)中點(diǎn)任選其一? (1)在AC邊上取中點(diǎn)D 如圖4,連接PC、PD,作△BCE∽△PCD(旋轉(zhuǎn)相似三角形),過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F,△PEF的外接圓交BC于N,則經(jīng)過(guò)N、P的直線(交AC于M)一定平分△ABC的面積. 證明略.(圖中的兩組相似三角形非常關(guān)鍵△BCE∽△PCD、△NEC∽△PMC) (2)在AB邊上取中點(diǎn)D. 如圖5,作△AEC∽△ADP.可以看出,在兩個(gè)相似三角形中,所涉線段很難與MC·NC及AC·BC建立起一定的聯(lián)系. 所以,選擇AB邊上的中點(diǎn)不太合適. 由上可以得出這樣的結(jié)論:中點(diǎn)需選擇在M、N所在的兩條邊上.但在已知一個(gè)三角形和三角形內(nèi)一點(diǎn)的一般情況下,M、N點(diǎn)的位置確定正是需要解決的問(wèn)題. 不過(guò),確定M、N點(diǎn)的大致位置,或確定它們所在的邊是不難做到的. 2.2.2M、N點(diǎn)所在邊的確定 如圖6,AD,BE,CF是△ABC的三條中線. 因?yàn)槿切蔚娜龡l中線都將該三角形的面積平分,所以,可以以三角形的中線為參照,對(duì)過(guò)三角形內(nèi)的其它任意一點(diǎn)且平分三角形面積的直線的位置作一大致判斷. 在圖6中,過(guò)P點(diǎn)的直線L1、L2、L3都將△ABC分成兩個(gè)部分,但它們各自分別與中線比較后不難看出,直線L1更接近于三角形面積平分線;圖7中直線L4更接近于三角形面積平分線.這樣,就很容易地判斷出圖6中過(guò)P點(diǎn)的三角形面積平分線與AC、BC邊相交,圖7中過(guò)P點(diǎn)的三角形面積平分線與AB、BC邊相交. 2.2.3兩個(gè)旋轉(zhuǎn)相似三角形的確定 從以上的分析與作法中,我們可以看到兩個(gè)相似三角形的確定非常重要. 以圖3為例,若以△PDB而非△PDC作與之相似的三角形,則很難找到需要的M點(diǎn)或N點(diǎn).因?yàn)?,通過(guò)△PDB很難找到與其相似,且與AB、BC兩邊關(guān)聯(lián)的三角形. 總結(jié)圖3、圖4中兩個(gè)相似三角形的確定,可發(fā)現(xiàn)兩例都有一個(gè)共同點(diǎn):所作的兩個(gè)相似三角形都是以與三角形面積平分線相交的兩邊(AC、BC)的公共點(diǎn)——三角形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心而成的旋轉(zhuǎn)相似三角形.若以另外兩個(gè)頂點(diǎn)之一作為旋轉(zhuǎn)中心則不便于問(wèn)題的解決. 2.2.4過(guò)P點(diǎn)的平行線的作法 在圖3、圖4中,過(guò)P點(diǎn)所作直線PF是確定三點(diǎn)(P、E、F)共圓、確定三角形面積平分線的重要步驟.兩例中,所作直線PF都與中點(diǎn)D所在邊平行,那么,PF與另外兩邊之一平行情況會(huì)怎樣呢?
(1)若PF與AB平行.可以看出過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓與AC、BC都不相交,也就確定不了三角形面積平分線與兩邊的交點(diǎn);
(2)若PF與非中點(diǎn)D所在的另一邊平行.以圖3為例,若PF∥AC,則有下圖(圖8),經(jīng)過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓與BC邊交于N點(diǎn).顯然,圖8與圖4的結(jié)果是一致的.
由此可以看出,過(guò)P點(diǎn)可以任作與AC或BC的平行線.不過(guò),就此種情況,從作圖的方便與精確性來(lái)看,作PF∥BC較為合適.
綜上,不妨對(duì)過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P(不在中線上)的面積平分線L的作法步驟作如下描述:(以圖7為例,參見圖9)
第一步,以三角形的中線為參照,判斷直線L的大致位置.直線L與三角形相交的兩邊為AB與BC;
第二步,選取其中任一邊的中點(diǎn)——AB的中點(diǎn)D(也可取BC的中點(diǎn)),以B(AB、BC的公共點(diǎn))點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)相似三角形——△BDP∽△BEC;
第三步,過(guò)P點(diǎn)作PF∥AB(也可作PF∥BC),交BE于F;
第四步,作△PEF的外接圓,交BC于M(另一交點(diǎn)顯然不合適).則過(guò)點(diǎn)P、M的直線為三角形ABC的面積平分線.(證明略).
3過(guò)三角形外任意一點(diǎn)作面積平分線
可以想象,不論是過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)還是過(guò)三角形外一點(diǎn),同樣都是作過(guò)該點(diǎn)的三角形面積平分線,其分析方法及注意事項(xiàng)應(yīng)該大致相同.
參照過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)的面積平分線的作法及注意事項(xiàng),我們嘗試作過(guò)三角形外一點(diǎn)的面積平分線(以下皆用“P”表示三角形外任意一點(diǎn)).
若P在三角形某一中線的延長(zhǎng)線上,則該中線所在的直線即為過(guò)P點(diǎn)的面積平分線.以下所述,P點(diǎn)皆不在三角形任一中線延長(zhǎng)線上.
3.1確定面積平分線的大致位置
在過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)的面積平分線的分析過(guò)程中,我們知道確定面積平分線的大致位置,即確定面積平分線與三角形相交的兩邊是解決問(wèn)題的重要的第一步.因此,在作過(guò)三角形外任意一點(diǎn)的面積平分線時(shí),我們也應(yīng)該首先對(duì)面積平分線的大致位置作一初步判斷,以確定中點(diǎn)所在的邊.
可分以下兩種情形進(jìn)行判斷:
(1)點(diǎn)P在三角形一邊所在直線的外側(cè)
如圖10所示.此種情形很容易就能判斷過(guò)P點(diǎn)的面積平分線的大致位置.圖10圖11(2)點(diǎn)P在三角形兩邊所在直線的外側(cè)
如圖11所示,過(guò)A點(diǎn)作三角形的中線并延長(zhǎng),通過(guò)比較也不難確定過(guò)P點(diǎn)的面積平分線與三角形相交的兩條邊.
3.2確定一個(gè)合適的中點(diǎn)及相應(yīng)邊
按照過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)作面積平分線的要求,可在與面積平分線相交的兩條邊中任選一邊,并確定其中點(diǎn).在圖10中,可取AC的中點(diǎn),也可取BC的中點(diǎn).以下以取AC邊的中點(diǎn)為例進(jìn)行討論.
3.3作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)相似三角形
如圖12,D為AC邊的中點(diǎn).連接PD、PC,以AC、BC的公共點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)相似三角形,△CBE∽△CPD,
則有CD·BC=PC·EC.
3.4過(guò)P點(diǎn)作一邊的平行線
按照P在三角形內(nèi)的作法,可過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC(或PF∥BC),交EC的延長(zhǎng)線于F.(見圖12)
3.5作過(guò)P,E,F(xiàn)的圓,交BC于M,連接PM交AC于N.(見圖12)
因?yàn)镻,F(xiàn),E,M四點(diǎn)共圓,所以∠MEC=180°-∠MPF=∠PNC,所以△MEC∽△PNC,則PC·EC=MC·NC,那么MC·NC=CD·BC=12AC·BC,則MN為三角形ABC的面積平分線.
若過(guò)P點(diǎn)作PF∥BC,交EC的延長(zhǎng)線于F,作過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓,此圓與AC交于N(見圖13),則直線PN平分三角形ABC的面積.
若在BC邊中取中點(diǎn)D,則同上作法,可得圖14.
同樣可以證明,直線PM為三角形ABC的面積平分線.endprint
(1)若PF與AB平行.可以看出過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓與AC、BC都不相交,也就確定不了三角形面積平分線與兩邊的交點(diǎn);
(2)若PF與非中點(diǎn)D所在的另一邊平行.以圖3為例,若PF∥AC,則有下圖(圖8),經(jīng)過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓與BC邊交于N點(diǎn).顯然,圖8與圖4的結(jié)果是一致的.
由此可以看出,過(guò)P點(diǎn)可以任作與AC或BC的平行線.不過(guò),就此種情況,從作圖的方便與精確性來(lái)看,作PF∥BC較為合適.
綜上,不妨對(duì)過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P(不在中線上)的面積平分線L的作法步驟作如下描述:(以圖7為例,參見圖9)
第一步,以三角形的中線為參照,判斷直線L的大致位置.直線L與三角形相交的兩邊為AB與BC;
第二步,選取其中任一邊的中點(diǎn)——AB的中點(diǎn)D(也可取BC的中點(diǎn)),以B(AB、BC的公共點(diǎn))點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)相似三角形——△BDP∽△BEC;
第三步,過(guò)P點(diǎn)作PF∥AB(也可作PF∥BC),交BE于F;
第四步,作△PEF的外接圓,交BC于M(另一交點(diǎn)顯然不合適).則過(guò)點(diǎn)P、M的直線為三角形ABC的面積平分線.(證明略).
3過(guò)三角形外任意一點(diǎn)作面積平分線
可以想象,不論是過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)還是過(guò)三角形外一點(diǎn),同樣都是作過(guò)該點(diǎn)的三角形面積平分線,其分析方法及注意事項(xiàng)應(yīng)該大致相同.
參照過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)的面積平分線的作法及注意事項(xiàng),我們嘗試作過(guò)三角形外一點(diǎn)的面積平分線(以下皆用“P”表示三角形外任意一點(diǎn)).
若P在三角形某一中線的延長(zhǎng)線上,則該中線所在的直線即為過(guò)P點(diǎn)的面積平分線.以下所述,P點(diǎn)皆不在三角形任一中線延長(zhǎng)線上.
3.1確定面積平分線的大致位置
在過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)的面積平分線的分析過(guò)程中,我們知道確定面積平分線的大致位置,即確定面積平分線與三角形相交的兩邊是解決問(wèn)題的重要的第一步.因此,在作過(guò)三角形外任意一點(diǎn)的面積平分線時(shí),我們也應(yīng)該首先對(duì)面積平分線的大致位置作一初步判斷,以確定中點(diǎn)所在的邊.
可分以下兩種情形進(jìn)行判斷:
(1)點(diǎn)P在三角形一邊所在直線的外側(cè)
如圖10所示.此種情形很容易就能判斷過(guò)P點(diǎn)的面積平分線的大致位置.圖10圖11(2)點(diǎn)P在三角形兩邊所在直線的外側(cè)
如圖11所示,過(guò)A點(diǎn)作三角形的中線并延長(zhǎng),通過(guò)比較也不難確定過(guò)P點(diǎn)的面積平分線與三角形相交的兩條邊.
3.2確定一個(gè)合適的中點(diǎn)及相應(yīng)邊
按照過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)作面積平分線的要求,可在與面積平分線相交的兩條邊中任選一邊,并確定其中點(diǎn).在圖10中,可取AC的中點(diǎn),也可取BC的中點(diǎn).以下以取AC邊的中點(diǎn)為例進(jìn)行討論.
3.3作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)相似三角形
如圖12,D為AC邊的中點(diǎn).連接PD、PC,以AC、BC的公共點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)相似三角形,△CBE∽△CPD,
則有CD·BC=PC·EC.
3.4過(guò)P點(diǎn)作一邊的平行線
按照P在三角形內(nèi)的作法,可過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC(或PF∥BC),交EC的延長(zhǎng)線于F.(見圖12)
3.5作過(guò)P,E,F(xiàn)的圓,交BC于M,連接PM交AC于N.(見圖12)
因?yàn)镻,F(xiàn),E,M四點(diǎn)共圓,所以∠MEC=180°-∠MPF=∠PNC,所以△MEC∽△PNC,則PC·EC=MC·NC,那么MC·NC=CD·BC=12AC·BC,則MN為三角形ABC的面積平分線.
若過(guò)P點(diǎn)作PF∥BC,交EC的延長(zhǎng)線于F,作過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓,此圓與AC交于N(見圖13),則直線PN平分三角形ABC的面積.
若在BC邊中取中點(diǎn)D,則同上作法,可得圖14.
同樣可以證明,直線PM為三角形ABC的面積平分線.endprint
(1)若PF與AB平行.可以看出過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓與AC、BC都不相交,也就確定不了三角形面積平分線與兩邊的交點(diǎn);
(2)若PF與非中點(diǎn)D所在的另一邊平行.以圖3為例,若PF∥AC,則有下圖(圖8),經(jīng)過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓與BC邊交于N點(diǎn).顯然,圖8與圖4的結(jié)果是一致的.
由此可以看出,過(guò)P點(diǎn)可以任作與AC或BC的平行線.不過(guò),就此種情況,從作圖的方便與精確性來(lái)看,作PF∥BC較為合適.
綜上,不妨對(duì)過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P(不在中線上)的面積平分線L的作法步驟作如下描述:(以圖7為例,參見圖9)
第一步,以三角形的中線為參照,判斷直線L的大致位置.直線L與三角形相交的兩邊為AB與BC;
第二步,選取其中任一邊的中點(diǎn)——AB的中點(diǎn)D(也可取BC的中點(diǎn)),以B(AB、BC的公共點(diǎn))點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)相似三角形——△BDP∽△BEC;
第三步,過(guò)P點(diǎn)作PF∥AB(也可作PF∥BC),交BE于F;
第四步,作△PEF的外接圓,交BC于M(另一交點(diǎn)顯然不合適).則過(guò)點(diǎn)P、M的直線為三角形ABC的面積平分線.(證明略).
3過(guò)三角形外任意一點(diǎn)作面積平分線
可以想象,不論是過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)還是過(guò)三角形外一點(diǎn),同樣都是作過(guò)該點(diǎn)的三角形面積平分線,其分析方法及注意事項(xiàng)應(yīng)該大致相同.
參照過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)的面積平分線的作法及注意事項(xiàng),我們嘗試作過(guò)三角形外一點(diǎn)的面積平分線(以下皆用“P”表示三角形外任意一點(diǎn)).
若P在三角形某一中線的延長(zhǎng)線上,則該中線所在的直線即為過(guò)P點(diǎn)的面積平分線.以下所述,P點(diǎn)皆不在三角形任一中線延長(zhǎng)線上.
3.1確定面積平分線的大致位置
在過(guò)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)的面積平分線的分析過(guò)程中,我們知道確定面積平分線的大致位置,即確定面積平分線與三角形相交的兩邊是解決問(wèn)題的重要的第一步.因此,在作過(guò)三角形外任意一點(diǎn)的面積平分線時(shí),我們也應(yīng)該首先對(duì)面積平分線的大致位置作一初步判斷,以確定中點(diǎn)所在的邊.
可分以下兩種情形進(jìn)行判斷:
(1)點(diǎn)P在三角形一邊所在直線的外側(cè)
如圖10所示.此種情形很容易就能判斷過(guò)P點(diǎn)的面積平分線的大致位置.圖10圖11(2)點(diǎn)P在三角形兩邊所在直線的外側(cè)
如圖11所示,過(guò)A點(diǎn)作三角形的中線并延長(zhǎng),通過(guò)比較也不難確定過(guò)P點(diǎn)的面積平分線與三角形相交的兩條邊.
3.2確定一個(gè)合適的中點(diǎn)及相應(yīng)邊
按照過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)作面積平分線的要求,可在與面積平分線相交的兩條邊中任選一邊,并確定其中點(diǎn).在圖10中,可取AC的中點(diǎn),也可取BC的中點(diǎn).以下以取AC邊的中點(diǎn)為例進(jìn)行討論.
3.3作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)相似三角形
如圖12,D為AC邊的中點(diǎn).連接PD、PC,以AC、BC的公共點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)相似三角形,△CBE∽△CPD,
則有CD·BC=PC·EC.
3.4過(guò)P點(diǎn)作一邊的平行線
按照P在三角形內(nèi)的作法,可過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC(或PF∥BC),交EC的延長(zhǎng)線于F.(見圖12)
3.5作過(guò)P,E,F(xiàn)的圓,交BC于M,連接PM交AC于N.(見圖12)
因?yàn)镻,F(xiàn),E,M四點(diǎn)共圓,所以∠MEC=180°-∠MPF=∠PNC,所以△MEC∽△PNC,則PC·EC=MC·NC,那么MC·NC=CD·BC=12AC·BC,則MN為三角形ABC的面積平分線.
若過(guò)P點(diǎn)作PF∥BC,交EC的延長(zhǎng)線于F,作過(guò)P、E、F三點(diǎn)的圓,此圓與AC交于N(見圖13),則直線PN平分三角形ABC的面積.
若在BC邊中取中點(diǎn)D,則同上作法,可得圖14.
同樣可以證明,直線PM為三角形ABC的面積平分線.endprint