尹作卿

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)2011年版》）的要求，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的“數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”.這些觀念或意識的形成都離不開做練習(xí)，或者說，學(xué)生各種能力及意識的形成都是在解答數(shù)學(xué)問題的過程中逐漸發(fā)展起來的.可見，數(shù)學(xué)習(xí)題的質(zhì)量具有重要的作用.筆者在本文首先就數(shù)學(xué)習(xí)題的主要功能作簡單分析，然后就如何設(shè)計數(shù)學(xué)習(xí)題談?wù)勛约旱乃伎寂c實踐.

1正確認(rèn)識習(xí)題的功能

使學(xué)生熟悉和掌握《課標(biāo)2011年版》的要求，發(fā)展學(xué)生綜合能力的問題稱為習(xí)題.這樣的問題應(yīng)以數(shù)學(xué)為內(nèi)容、或雖然不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容但必須運用數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)思想方法才能解決，它包括教師提出的問題、例題、練習(xí)、測試及綜合與實踐活動等多種形式.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要做練習(xí)，這是事實，不能想象不做習(xí)題就能學(xué)好數(shù)學(xué).作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)習(xí)題的功能有一個全方位的理解.我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)習(xí)題的功能主要表現(xiàn)為：

1.1幫助學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識，形成基本技能

《課標(biāo)2011年版》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握.”知識技能是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，是學(xué)生適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的基本素養(yǎng).不論是掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，還是形成基本的技能都必須通過“解題”來達到.通過數(shù)學(xué)習(xí)題，使學(xué)生獲得較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，形成必要的技能、技巧.具體地說，通過數(shù)學(xué)習(xí)題學(xué)生可以掌握數(shù)學(xué)知識（概念、命題、法則、語言、方法），建立基本概念與概念之間的各種關(guān)系，了解數(shù)學(xué)的主要思想，加深對數(shù)學(xué)定理、法則、原理以及它們之間聯(lián)系的理解，形成掌握、運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言、符合語言、幾何語言的技能，能把教學(xué)內(nèi)容模型化的技能.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷“三個過程”：經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能；經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能；經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識和基本技能.

1.2促進學(xué)生的思維發(fā)展

數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物，學(xué)習(xí)者只有通過做習(xí)題，通過自己的思維過程，才能體悟這些思維的結(jié)果.形式邏輯的知識不是作為一種獨立的學(xué)科進行講授的，它蘊含在數(shù)學(xué)知識之中，學(xué)生只有通過解題活動的實踐才能逐步學(xué)會這些知識，即邏輯思維的訓(xùn)練只能在解題的過程中實現(xiàn).

1.3思想教育功能

數(shù)學(xué)的教育功能可分為兩個方面，即智力和非智力的.學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的求解過程中，所體現(xiàn)出的堅強的意志、好強的個性、大膽展示等良好的心理素質(zhì)，是屬于非智力培養(yǎng)的內(nèi)容.通過解答數(shù)學(xué)問題，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的外在學(xué)習(xí)動機和自我效能感.另一方面，“數(shù)學(xué)是思維的體操”客觀地反映出數(shù)學(xué)習(xí)題的智力教育內(nèi)容.這一教育內(nèi)容主要通過教學(xué)的全過程來實現(xiàn).數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，即概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程和方法的探索過程，也就是數(shù)學(xué)問題解決的過程，通過問題解決，使學(xué)生獲得和發(fā)展推理能力、化歸能力，形式化地處理問題和建立數(shù)學(xué)模型的能力，以及運用對應(yīng)、方程、函數(shù)、圖象等數(shù)學(xué)觀念解決問題的能力.

1.4評價功能

課堂教學(xué)中，可以通過習(xí)題，確定教與學(xué)的水平，檢查學(xué)生對知識的理解、掌握程度非常重要.特別是學(xué)生的知識水平和能力水平通過課堂教學(xué)評價落實得好，可以及時為教師調(diào)整教學(xué)方法提供保障，使教學(xué)過程少走彎路，提高課堂教學(xué)效益.利于教師對學(xué)習(xí)效果的檢測.學(xué)生作業(yè)情況直接反映了教學(xué)效果，對習(xí)題解答情況的了解是教學(xué)評價的一種重要手段.

1.5優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鞏固與復(fù)習(xí)的一種重要途徑，數(shù)學(xué)習(xí)題可使學(xué)生加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學(xué)知識系統(tǒng)，逐步形成完善合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生數(shù)學(xué)水平如何，歸根到底體現(xiàn)在解題上.因此，適量的習(xí)題訓(xùn)練是必不可少的，而習(xí)題設(shè)計的好壞，直接影響到訓(xùn)練效率的高低.優(yōu)化習(xí)題不僅能有效地增強學(xué)生解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，而且可以促進學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念的形成.

2明確習(xí)題的目的要求

目前初中數(shù)學(xué)教材雖然有多個版本，但教材中的習(xí)題基本上都分為三類，如青島版教材中的三類是：一是安排在每個課時后面的“練習(xí)”，是當(dāng)堂應(yīng)完成的.主要是為了鞏固剛學(xué)過的知識和直接運用新知識進行解答的題目.目的是讓學(xué)生切實理解與掌握新知識，形成初步運用這些知識的基本技能，二是一節(jié)教材之后的“習(xí)題”，主要供課內(nèi)、課外作業(yè)用.一節(jié)教材不一定一課時完成，有時需要多個課時才能完成.一般來講，這種題目是在進行了若干練習(xí)的基礎(chǔ)上安排的（當(dāng)然也有的是安排在一個課時之后的），目的在于使學(xué)生鞏固所學(xué)的基礎(chǔ)知識，能熟練的運用這些知識解決簡單的問題，并形成一定的技巧.三是每章之后的“綜合練習(xí)”，這些題目的目的是使學(xué)生進一步鞏固、深化和靈活運用所學(xué)的知識、提高解題能力.“綜合練習(xí)”和“習(xí)題”中的題目，按照其難度和類型又分為“復(fù)習(xí)與鞏固”“拓展與延伸”“探索與創(chuàng)新”三組不同層次的問題；其中，“復(fù)習(xí)與鞏固”“拓展與延伸”兩組問題供全體學(xué)生使用，“探索與創(chuàng)新”中的問題供學(xué)有余力的同學(xué)選用.這樣設(shè)置充分體現(xiàn)了《課標(biāo)2011年版》提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

教師在備課中，應(yīng)針對這三種類型的每一個題目，明確每個題目的具體要求、解題關(guān)鍵、解題技巧以及解題格式.通過分析，確定哪些題目學(xué)生可以獨立完成，哪些題目需要提示，哪些應(yīng)作為例題講解，做到心中有數(shù)，有的放矢.

3在習(xí)題的處理上，應(yīng)把握的幾個關(guān)系

3.1習(xí)題的數(shù)量與質(zhì)量的關(guān)系

練習(xí)在學(xué)習(xí)中有重要的作用，但不要認(rèn)為練習(xí)越多越好.這就要求教師在備課時應(yīng)對以下幾個問題進行認(rèn)真的思考：同一種類型的問題應(yīng)該做多少？不同類型習(xí)題的練習(xí)數(shù)量是否有差異？如何精選高質(zhì)量的題目，以利于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)？endprint

3.2解題通法與巧法的關(guān)系

所謂通法，就是在解決問題（通常是某類問題）中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎(chǔ)知識為依據(jù)，以基本方法為技能，它的解法合乎一般的思維規(guī)律，其具體操作過程必須為全體學(xué)生所掌握.

巧法的靈魂在于“巧”字，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發(fā)散、合情推理的產(chǎn)物.當(dāng)然，作為教師必須認(rèn)識到，巧法中的“關(guān)鍵一著”有不少不屬于學(xué)習(xí)內(nèi)容的主體，更有不少是一般學(xué)生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學(xué)中教師必須立足通法，兼顧巧法.

3.3解題過程和探索解題思路的關(guān)系

教學(xué)中經(jīng)常聽到學(xué)生說，老師“添設(shè)輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的根本原因就在于教師沒有暴露解題途徑的尋找過程.其結(jié)果只能是教師講得精彩，學(xué)生聽得輕松，但碰到條件稍加變化的問題便束手無策，日積月累，學(xué)生就不會獨立地思維和克服困難，當(dāng)然也不會有獨立的解題能力.教師在解題教學(xué)中，應(yīng)重點引導(dǎo)學(xué)生分清問題的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程是關(guān)鍵，讓學(xué)生做到既知其然，又知其所以然.

案例1證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

對于平行四邊形的判定定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，不可直接給出證明，要設(shè)法讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論，然后再給出證明.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學(xué)的直觀性，我們選擇讓學(xué)生通過操作實驗來得到.所以，在教學(xué)中可要求學(xué)生動手剪、拼接硬紙片三角形，同時把論證作為學(xué)生探索活動的自然延伸和必要的發(fā)展，讓學(xué)生在拼接硬紙片三角形的過程中，發(fā)現(xiàn)證明該定理的思路.具體操作、探索過程為：

（1）如圖1，剪兩個一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結(jié)論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結(jié)論.

由上面的操作過程，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，在圖2中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可.這個證明思路的發(fā)現(xiàn)就是在拼接三角形紙片的過程中發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這個思路，詳細的證明過程就容易了.

3.4常規(guī)習(xí)題與開放題的關(guān)系

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)習(xí)題基本上是封閉性問題，屬于常規(guī)問題.隨著課改的深入，開放性問題的作用越來越顯得重要.兩種類型的問題對于學(xué)生的成長都是不可缺少的.教師應(yīng)當(dāng)思考的問題是：常規(guī)性問題與開放性問題的數(shù)量比例是多少比較合理？開放性問題如何與教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)銜接？開放性問題的難度如何把握？

有了上面的一些認(rèn)識，教師便可根據(jù)教材的特點，練習(xí)的目的要求，學(xué)生的實際情況，精選確定出教學(xué)用的例題和供學(xué)生練習(xí)用的題目.這也是創(chuàng)造性使用教材的一個方面.endprint

3.2解題通法與巧法的關(guān)系

所謂通法，就是在解決問題（通常是某類問題）中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎(chǔ)知識為依據(jù)，以基本方法為技能，它的解法合乎一般的思維規(guī)律，其具體操作過程必須為全體學(xué)生所掌握.

巧法的靈魂在于“巧”字，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發(fā)散、合情推理的產(chǎn)物.當(dāng)然，作為教師必須認(rèn)識到，巧法中的“關(guān)鍵一著”有不少不屬于學(xué)習(xí)內(nèi)容的主體，更有不少是一般學(xué)生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學(xué)中教師必須立足通法，兼顧巧法.

3.3解題過程和探索解題思路的關(guān)系

教學(xué)中經(jīng)常聽到學(xué)生說，老師“添設(shè)輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的根本原因就在于教師沒有暴露解題途徑的尋找過程.其結(jié)果只能是教師講得精彩，學(xué)生聽得輕松，但碰到條件稍加變化的問題便束手無策，日積月累，學(xué)生就不會獨立地思維和克服困難，當(dāng)然也不會有獨立的解題能力.教師在解題教學(xué)中，應(yīng)重點引導(dǎo)學(xué)生分清問題的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程是關(guān)鍵，讓學(xué)生做到既知其然，又知其所以然.

案例1證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

對于平行四邊形的判定定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，不可直接給出證明，要設(shè)法讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論，然后再給出證明.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學(xué)的直觀性，我們選擇讓學(xué)生通過操作實驗來得到.所以，在教學(xué)中可要求學(xué)生動手剪、拼接硬紙片三角形，同時把論證作為學(xué)生探索活動的自然延伸和必要的發(fā)展，讓學(xué)生在拼接硬紙片三角形的過程中，發(fā)現(xiàn)證明該定理的思路.具體操作、探索過程為：

（1）如圖1，剪兩個一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結(jié)論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結(jié)論.

由上面的操作過程，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，在圖2中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可.這個證明思路的發(fā)現(xiàn)就是在拼接三角形紙片的過程中發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這個思路，詳細的證明過程就容易了.

3.4常規(guī)習(xí)題與開放題的關(guān)系

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)習(xí)題基本上是封閉性問題，屬于常規(guī)問題.隨著課改的深入，開放性問題的作用越來越顯得重要.兩種類型的問題對于學(xué)生的成長都是不可缺少的.教師應(yīng)當(dāng)思考的問題是：常規(guī)性問題與開放性問題的數(shù)量比例是多少比較合理？開放性問題如何與教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)銜接？開放性問題的難度如何把握？

有了上面的一些認(rèn)識，教師便可根據(jù)教材的特點，練習(xí)的目的要求，學(xué)生的實際情況，精選確定出教學(xué)用的例題和供學(xué)生練習(xí)用的題目.這也是創(chuàng)造性使用教材的一個方面.endprint

3.2解題通法與巧法的關(guān)系

所謂通法，就是在解決問題（通常是某類問題）中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎(chǔ)知識為依據(jù)，以基本方法為技能，它的解法合乎一般的思維規(guī)律，其具體操作過程必須為全體學(xué)生所掌握.

巧法的靈魂在于“巧”字，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發(fā)散、合情推理的產(chǎn)物.當(dāng)然，作為教師必須認(rèn)識到，巧法中的“關(guān)鍵一著”有不少不屬于學(xué)習(xí)內(nèi)容的主體，更有不少是一般學(xué)生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學(xué)中教師必須立足通法，兼顧巧法.

3.3解題過程和探索解題思路的關(guān)系

教學(xué)中經(jīng)常聽到學(xué)生說，老師“添設(shè)輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的根本原因就在于教師沒有暴露解題途徑的尋找過程.其結(jié)果只能是教師講得精彩，學(xué)生聽得輕松，但碰到條件稍加變化的問題便束手無策，日積月累，學(xué)生就不會獨立地思維和克服困難，當(dāng)然也不會有獨立的解題能力.教師在解題教學(xué)中，應(yīng)重點引導(dǎo)學(xué)生分清問題的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程是關(guān)鍵，讓學(xué)生做到既知其然，又知其所以然.

案例1證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

對于平行四邊形的判定定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，不可直接給出證明，要設(shè)法讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論，然后再給出證明.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學(xué)的直觀性，我們選擇讓學(xué)生通過操作實驗來得到.所以，在教學(xué)中可要求學(xué)生動手剪、拼接硬紙片三角形，同時把論證作為學(xué)生探索活動的自然延伸和必要的發(fā)展，讓學(xué)生在拼接硬紙片三角形的過程中，發(fā)現(xiàn)證明該定理的思路.具體操作、探索過程為：

（1）如圖1，剪兩個一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結(jié)論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結(jié)論.

由上面的操作過程，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，在圖2中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可.這個證明思路的發(fā)現(xiàn)就是在拼接三角形紙片的過程中發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這個思路，詳細的證明過程就容易了.

3.4常規(guī)習(xí)題與開放題的關(guān)系

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)習(xí)題基本上是封閉性問題，屬于常規(guī)問題.隨著課改的深入，開放性問題的作用越來越顯得重要.兩種類型的問題對于學(xué)生的成長都是不可缺少的.教師應(yīng)當(dāng)思考的問題是：常規(guī)性問題與開放性問題的數(shù)量比例是多少比較合理？開放性問題如何與教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)銜接？開放性問題的難度如何把握？

有了上面的一些認(rèn)識，教師便可根據(jù)教材的特點，練習(xí)的目的要求，學(xué)生的實際情況，精選確定出教學(xué)用的例題和供學(xué)生練習(xí)用的題目.這也是創(chuàng)造性使用教材的一個方面.endprint