汪文軍

[摘要]本文探討在大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程中有關(guān)空間解析幾何的教學(xué)?？臻g解析幾何具有高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性。本文主要闡述如何結(jié)合數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解析幾何的教學(xué)，使學(xué)生能有效掌握并收到好的教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]空間解析幾何 數(shù)學(xué)思想 空間曲線和曲面

高等數(shù)學(xué)中關(guān)于空間解析幾何部分的知識(shí)具有高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性。這些都決定了這一部分知識(shí)在整個(gè)教學(xué)中的重要性。要讓學(xué)生能夠牢牢掌握這章知識(shí)，教師一定要選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，使學(xué)生對(duì)抽象的東西感興趣。筆者在近幾年的教學(xué)中，對(duì)空間解析幾何的教學(xué)做了積極的探索。在教學(xué)中有一些粗淺想法和初步積累。本文在此作一個(gè)總結(jié)，拋磚引玉，希望能和各位同仁交流和探討。

一、 數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。好的數(shù)學(xué)思想能夠?yàn)榻鉀Q問(wèn)題提供巧妙的方法和嶄新的思路。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想往往能讓人驚嘆于她的美麗。對(duì)于我們教師來(lái)講，課前體會(huì)數(shù)學(xué)思想能夠更深刻地理解要講知識(shí)的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)。有助于揭開(kāi)數(shù)學(xué)的面紗，展示數(shù)學(xué)的美。對(duì)于學(xué)生來(lái)講，明白了所學(xué)內(nèi)容的思想，有助于他們對(duì)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)建立起一個(gè)完整的知識(shí)框架，并能從一個(gè)別樣的視角去品味數(shù)學(xué)之美。

關(guān)于空間解析幾何這一部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

1.一般到特殊，特殊到一般。

自然界是復(fù)雜和多樣的。當(dāng)面對(duì)現(xiàn)有知識(shí)解決不了的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該何去何從？道德經(jīng)上講“曲則全”。要解決復(fù)雜問(wèn)題，我們先對(duì)問(wèn)題加限制條件使之簡(jiǎn)化但不失其原有的特征與本質(zhì)。也就是我們常說(shuō)的從一般到特殊的研究方法。我們正是按這一思想方法來(lái)理解空間解析幾何這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這一章中，面對(duì)空間中的曲線和曲面問(wèn)題，其一般性和復(fù)雜性給解決問(wèn)題帶來(lái)了相當(dāng)大的難度，我們首先將問(wèn)題特殊化。從研究空間中特殊的曲線和曲面（即空間中的直線和平面）入手。關(guān)于空間中的直線和平面，我們得到一套完善的知識(shí)理論結(jié)構(gòu)。反過(guò)來(lái)，有了這些之后，我們可以利用它們來(lái)研究空間中一般的曲線和曲面。只需要將曲線或曲面分割，將每一個(gè)小段曲線和小塊曲面近似的看成是小段直線或小塊平面來(lái)研究最后去極限即可。后面的過(guò)程就是通過(guò)特殊的來(lái)研究一般的。

2.幾何到代數(shù)，代數(shù)到幾何。

回顧數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，我們知道解析幾何的創(chuàng)始人之一是笛卡爾。那么為什么他的這一創(chuàng)舉能夠奠定這位眾人皆知的偉大哲學(xué)家在數(shù)學(xué)界中不可動(dòng)搖的地位？在笛卡爾時(shí)代，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位，代數(shù)僅僅是一個(gè)新興的學(xué)科。在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，笛卡爾成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。本質(zhì)上，直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁。它使得幾何概念可以用代數(shù)形式來(lái)表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來(lái)表示。反過(guò)來(lái)，代數(shù)的發(fā)展和完善為幾何的研究勾勒出新的思想和方法。從幾何到代數(shù)：給了曲面，建立曲面的方程；從代數(shù)到幾何：已知方程，研究方程表示的曲面的形狀。

二、 教學(xué)方法

我們課堂教學(xué)將時(shí)刻圍繞著這兩種思想來(lái)闡述。特別是從幾何到代數(shù)再?gòu)拇鷶?shù)到幾何的螺旋式上升的思想。比如在這一章中關(guān)于曲面的教學(xué)中，如果知道了旋轉(zhuǎn)曲面的幾何圖形，如何利用建立坐標(biāo)系來(lái)推導(dǎo)方程就是幾何到代數(shù)思想的體現(xiàn)。那么給了一個(gè)方程如何用截痕法畫(huà)幾何圖形就是應(yīng)用代數(shù)到幾何的想法。以平面為例，如果知道平面π中的一個(gè)點(diǎn)M0（χ0，у0，z0）和平面π的法向量 ，就可以寫(xiě)平面π的方程形式

A（χ-χ0）+B（у-у0）+C（z-z0）=0.

或者知道平面與各個(gè)坐標(biāo)軸的截距分別為a，b，c，就可以寫(xiě)平面方程的形式

反過(guò)來(lái)，如果知道了平面π的方程Aχ+Bу+Cz+D=0，我們可以利用平面方程給我們提供的信息來(lái)畫(huà)平面的圖形，即法向量 。若A≠0，則平面過(guò)點(diǎn) 。已知平面過(guò)定點(diǎn)和其法向量就可以確定平面的幾何圖形了。

另一方面，整章的知識(shí)結(jié)構(gòu)就是從一般到特殊的形式。關(guān)于從特殊到一般的思想體現(xiàn)可以看后面關(guān)于偏微分方程的微分學(xué)的知識(shí)。

三、 例題講解

主要講如何從幾何到代數(shù)與代數(shù)到幾何的思想的角度來(lái)進(jìn)行解題。

例.求過(guò)點(diǎn)M1（1，1，1），M2（1，2，3）且平行于χ軸的平面方程.

解法一： （利用從幾何到代數(shù)的思想）

定點(diǎn)就取M1（1，1，1）.只要能夠確定所求平面的法向量，就可以確定平面的位置了。法向量 垂直，所以可取法向量為 ， 其中 ，計(jì)算得 .

由點(diǎn)法式可知，平面方程為2（y-1）-（z-1）=0， 即2y-z-1=0.

解法二： （利用從代數(shù)到幾何的思想）

設(shè)平面方程為

Aχ+Bу+Cz+D=0， （*）

那么通過(guò)方程的形式可以知道平面的法向量 .

又平面平行于χ軸，那么法向量應(yīng)該于χ軸垂直，故

推得A=0.

因平面過(guò)點(diǎn)M1和M2，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程，可得方程組

解方程組可得B=-2D， C=D.

代入方程（*）可知，-2Dy+Dz+D=0.

又平面法向量為非零向量，故常數(shù)A，B，C不能同時(shí)為零， 因此D≠0.

從而可知平面方程為2y-z-1=0.

四、 總結(jié)

本文探討在高等數(shù)學(xué)課程中有關(guān)解析幾何的教學(xué)。圍繞數(shù)學(xué)思想來(lái)進(jìn)行教學(xué)，使教學(xué)中學(xué)生能很好的掌握這些知識(shí)收到好的教學(xué)效果。

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)第六版（下冊(cè)），高等教育出版社，2007.

[2]M·克萊因，古今數(shù)學(xué)思想，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979.

[3]齊民友，重讀微積分，高等教育出版社，2004.

（作者單位：上海理工大學(xué)理學(xué)院）