高 曄, 張慶祥, 邢 苗

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

0 引言

凸集與凸函數(shù)在最優(yōu)化理論中有著廣泛的應用,但實際問題中大量集合與函數(shù)是非凸的,因此有必要對它們進行推廣.Youness[1]通過弱化凸集與凸函數(shù)的條件給出了E凸集、E凸函數(shù)等概念,并得出了相關結論.雖然有些結論不正確,但其思想意義是不容質疑的.為此，楊新民、簡金寶、覃義先后指出和修正了關于E凸集、E凸函數(shù)及E凸規(guī)劃的幾個錯誤[2-4].Ewing[5],Weir[6]分別引入了局部凸函數(shù)、半局部凸函數(shù)的概念.簡金寶等研究了廣義半局部凸函數(shù)及其性質[7].胡清潔等給出了半局部E凸函數(shù)的概念,并討論了它的性質[8].2009年，簡金寶給出了(E,F)凸集、(E,F)凸函數(shù)的概念[9],之后，簡金寶、路敏慧等[10-11]研究了它們的性質.2004年，簡金寶等在文獻[12]中引入了半(E,F)凸函數(shù)及其規(guī)劃問題,張慶祥等對擬半(E,F)預不變凸函數(shù)進行了研究[13],并探討了廣義凸函數(shù)的半無限規(guī)劃對偶問題[14]，曾友芳等探究了B半(E,F)凸函數(shù)和規(guī)劃[15].在文獻[16]中，Tang引入了局部星形集,并在星形集的基礎上定義了半局部凸函數(shù).在這些理論的基礎上，高曄等人提出了半局部半(E,F)凸函數(shù),并研究了其性質[17].

本文在局部星形(E,F)凸集、半局部凸函數(shù)和B半(E,F)凸函數(shù)基礎上,定義半局部B半(E,F)凸函數(shù)及幾類廣義半局部B半(E,F)凸函數(shù),并研究它們的性質，以及與某些廣義凸函數(shù)之間的關系.

1 預備知識

定義1[17]設x0∈M?Rn,若映射E,F:M→2Rn,對每個x∈M,都存在正數(shù)α(x0,x)≤1,且對?λ∈(0,α(x0,x)),有λE(x0)+(1-λ)F(x)?M,則稱M在點x0處為局部星形(E,F)凸的.若M在每個x0∈M處是局部星形(E,F)凸的,則稱M為局部星形(E,F)凸集.

定義2[16]函數(shù)f:M→R為M上的B半(E,F)凸函數(shù),若存在兩個點到集合的映射E,F:M→2Rn和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是(E,F)凸集且?≠M?Rn,有

定義3[15]函數(shù)f:M→R為M上的擬B半(E,F)凸函數(shù),若存在兩個點到集合的映射E,F:M→2Rn和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是(E,F)凸集且?≠M?Rn,有

定義5[16]設f(x)為局部星形集M?Rn上的實值函數(shù),若對?x,y∈M,存在正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1,使得對?λ∈(0,d(x,y)),有

f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),

則稱f(x)為M上的半局部凸函數(shù).

2 半局部B半(E,F)凸函數(shù)

定義6函數(shù)f:M→R為M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),若存在點到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M?Rn,有

定義7設函數(shù)f為M上的實值函數(shù),若存在點到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M?Rn,那么

(1)

則稱f是半局部B半(E,F)嚴格凸函數(shù).

定義8函數(shù)f:M→R為M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù),若存在兩個點到集合的映射E,F:M→2Rn，正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是(E,F)凸集且?≠M?Rn,有

(2)

定義9設函數(shù)f為M上的實值函數(shù),若存在點到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M?Rn,那么

定義11設函數(shù)f為M上的半局部B半(E,F)偽擬凸函數(shù),若存在點到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M?Rn,有

3 半局部B半(E,F)凸函數(shù)的性質

性質1設f:M→R為定義在局部星形(E,F)凸集M?Rn上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),則對任意κ∈R,水平集Sκ={x|x∈M,f(x)≤κ}為局部星形(E,F)凸集.

≤λb(x,y,λ)κ+(1-λb(x,y,λ))κ

=κ,

即對任意0<λ

性質21) 當映射E,F為恒等映射,即E(x)={x},E(y)={y},d(x,y)=1時,半局部B半(E,F)凸函數(shù)為B凸函數(shù).

2) 當b(x,y,λ)≡1且滿足1)時,半局部B半(E,F)凸函數(shù)即為熟知的凸函數(shù).

因此由定義知f是半局部B半(E,F)凸函數(shù).

注1性質3的逆命題不成立.

例1設f:M=[-1,1]→R,E,F:M→2R和b:X×X×[0,1]→R+為

顯然M為局部星形(E,F)凸集.下面驗證f是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

首先,假設x

當y∈[0,1]時,有

當x∈[0,1]時,有

性質4若f(x)為半局部B半(E,F)凸函數(shù),則它也是半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

由定義8可知,f是半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

注2性質4的逆命題不成立.

例2設f:M=[0,1]→R,E,F:M→2R和b:X×X×[0,1]→R+為

顯然M為局部星形(E,F)凸集.下面驗證f是M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).假設f(x)≤f(y).

?λ∈(0,d],d(x,y)∈(0,1],

性質5若f是半局部B半(E,F)凸函數(shù)，則

1) 對?a∈R,f+a也是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù);

2) 對?a∈R,af也是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù);

3) 對于M上的另一半局部B半(E,F)凸函數(shù)g,f+g也是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

性質6若函數(shù)f為局部(E,F)凸集M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),φ:R→R是非減凸函數(shù),則復合函數(shù)φ(f)是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

又φ:R→R為非減凸函數(shù),所以

≤λb(x,y,λ)φ(f(x))+(1-λb(x,y,λ))φ(f(y)),

所以,復合函數(shù)φ(f)是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

性質7設f(x)為定義在局部星形(E,F)凸集M?Rn上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù),若φ:R→R為非減的函數(shù),則φ(f(x))也為半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

性質8設f,-g:M→R是局部星形(E,F)凸集M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),若f≥0,g>0,則h=f/g是M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

則

≤max{h(x),h(y)}.

當h(x)≤h(y)時,上式兩邊同乘以b(x,y,λ),即得

因此,函數(shù)h=f/g是M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

參考文獻:

[1] Youness E A.E-convex sets,E-convex functions andE-convex programming[J].J Optim Theory Appl,1999,102(2):439.

[2] Yang Xinmin.Technical note onE-convex set,E-convex functions,andE-convex programming[J].J Optim Theory Appl,2001,109(3):699.

[3] Jian Jinbao.Incorrect results forE-convex functions andE-convex programming[J].J Math Res Expostion,2003,23(3):461.

[4] 覃義,簡金寶.關于E凸函數(shù)及E凸規(guī)劃幾個錯誤結論的修正[J].數(shù)學雜志,2006,26(2):177.

[5] Ewing G M.Sufficient conditions for global minima of suitably convex functionals from variational and control theory[J].SIAM Rev,1977,19(2):202.

[6] Weir T.Programming with semilocally convex functions[J].J Math Anal Appl,1992,168(1):1.

[7] Jian Jinbao,Pan Huaqin,Zeng Hanjun.Semilocally prequasi-invex functions and characterizations[J].J Ind Manag Optim,2007,3(3):503.

[8] Hu Qingjie,Jian Jinbao,Zheng Haiyan,et al.SemilocalE-convexity and semilocalE-convex programming[J].Bull Austral Math Soc,2007,75(1):59.

[9] Jian Jinbao.On (E,F) generalized convexity[J].Int J Math Sci,2009,2(1):121.

[10] Jian Jinbao,Hu Qingjuan,Ma Pengfei,et al.On properties of quasi-semi-(E,F)-convex functions and quasi-semi-(E,F)-convex programming[J].Oper Res Trans,2012,16(1):49.

[11] 路敏慧,于憲偉.(E,F)凸集,(E,F)凸函數(shù)的一些新性質[J].渤海大學學報:自然科學版,2010,31(1):52.

[12] Jian Jinbao,Hu Qingjie,Tang Chunming,et al.Semi-(E,F)-convex functions and semi-(E,F)-convex programming[J].Int J Pure Appl Math,2004,14(3):439.

[13] 張慶祥,邢苗,高曄.擬半(E,F)預不變凸函數(shù)及其性質[J].江蘇師范大學學報:自然科學版,2013,31(2):17.

[14] 張慶祥,趙麗麗,王建明,等.廣義K-(F,α,ρ,d)-B凸半無限多目標規(guī)劃的Wolfe型對偶問題[J].江蘇師范大學學報:自然科學版,2012,30(4):38.

[15] 曾友芳,簡金寶,晁綿濤.B-半-(E,F)-凸函數(shù)和規(guī)劃[J].運籌學學報,2009,13(2):68.

[16] Tang Huanwen,Jiang Ye,Guo Jian,et al.Fixed point algorithms and its application to nondifferentiable programming approximization:optimization and computing[M].Amsterdam:Elsevier Science Publishers,1990:291-294.

[17] 高曄，張慶祥，邢苗.半局部半(E,F)-凸函數(shù)及其性質[J].江西師范大學學報：自然科學版，2014,38(1):59.