王 輝, 胡 濱

(江蘇師范大學 數學與統(tǒng)計學院,江蘇 徐州 221116)

0 引言

本文中,所有群均是有限群,未交待的概念和符號參見文獻[1]和[2].

顯然,對于任一非空群系F，所有的正規(guī)子群、c正規(guī)子群、Fn可補充子群、Fh正規(guī)子群、置換子群、s置換子群都是Fs擬正規(guī)子群.但反之不成立(參見[11]中例1.2).

本文主要利用Fs擬正規(guī)子群,得到了關于Sylow塔群的一些新的判別準則.

1 有關概念和基本結果

設G是一個群,p1>p2>…>pt是G的不同的素因子,如果存在G的Slyowpi子群Pi(i=1,2,…,t),使得P1P2…Pk正規(guī)于G,則稱G具有Sylow塔性(或稱G是一個Sylow塔群).

群類F稱為一個群系,如果F是同態(tài)像封閉且次直積封閉.群系F稱為飽和群系,如果當G/Φ(G)∈F時,總有G∈F.群系F稱為S閉的,如果G∈F時,G的每個子群都屬于F.眾所周知,所有Sylow塔群構成的群類和所有超可解群構成的群類U都是S閉的飽和群系.

引理1[11]設F是一個群類,H≤K≤G.下列結論成立:

4) 如果H在G中Fs擬正規(guī),且F是S閉的,那么H在K中Fs擬正規(guī).

5) 若G∈F,則G的每個子群在G中Fs擬正規(guī).

引理2[13]假設F是包含所有超可解群的飽和群系,群G有一個正規(guī)子群E,使得G/E∈F.若E循環(huán),則G∈F.

引理3[14]設G是一個有限群,如果G的子群H在G中s置換,則H/HG是冪零的.

引理4[15]設G是一個群,A≤G.若A次正規(guī)于G,且A是可解群,則A包含在G的某個可解正規(guī)子群中.

引理5[16]若H在G中s置換,且H是一個p群,對某一素數p,則Op(G)≤NG(H).

2 主要結論

定理1設F是一個具有Sylow塔性的群類.若群G的每個非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G中Fs擬正規(guī),則G∈F.

證根據[11,定理3.1],G是超可解群,從而G是Sylow塔群.

定理2設F是一個具有Sylow塔性的群類,則群G∈F當且僅當G=AB,其中A在G中s置換,B∈F,且A的每個非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G中Us擬正規(guī).

證必要性是顯然的,只需證明充分性.假設斷言不成立,設G是使得|G||A|最小的反例,下面分步證明.

1)G的每個包含A的真子群M∈F.

假設A≤M

2) 設H是G的非單位正規(guī)p子群,對某一素數p,若H≤A或A的Sylowp子群循環(huán)或A的一個Sylowp子群含于H或(p,|A|)=1,則G/H∈F.

若A≤H,則G/H=BH/H?B/B∩H∈F.假設AH.因為|G/H|<|G|,所以只需驗證條件對G/H成立.由于G/H=(AH/H)(BH/H),AH/H在G/H中s置換且BH/B?B/B∩H∈F,故只需驗證AH/H的每個非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G/H中Us擬正規(guī).

設Q/H是AH/H的Sylowq子群,M/H是Q/H的極大子群,則存在A的Sylowq子群Q1,使Q=Q1H.假設Q/H不循環(huán),則Q1也不循環(huán).下證M/H在G/H中Us擬正規(guī).若H≤A,則由引理1中2),3)知,M/H在G/H中Us擬正規(guī).假設A的Sylowp子群循環(huán),或A的一個Sylowp子群含于H,或(p,|A|)=1.則p≠q.我們斷言M∩Q1是Q1的極大子群.事實上,因為M≠Q且Q1H=Q,所以M∩Q1≠Q1.假設G有一個子群T,使得M∩Q1≤T≤Q1且M∩Q1≠T≠Q1,則M=H(M∩Q1)≤HT≤HQ1=Q.因此,M=HT或HT=HQ1.若M=HT,則T≤M∩Q1,矛盾.若HT=HQ1,則Q1=Q1∩HT=(Q1∩H)T≤(Q1∩M)T=T,矛盾.因此M∩Q1是Q1的極大子群.由條件知,M∩Q1在G中Us擬正規(guī).故由引理1中3)得,M/H=(M∩Q1)H/H在G/H中Us擬正規(guī).因此,G/H滿足條件.由G的選擇知G/H∈F.

3)A可解.

若A

4)G可解.

由條件知,A在G中s置換,故A在G中次正規(guī),從而由3)及引理4知,A含于G的某個可解正規(guī)子群E中.因為G/E?EB/E?B/B∩E∈F,所以G可解.

5)A∈F且A≠G.

若A=G,則由定理1知,G∈F,矛盾.因此A≠G.由1)及G的選擇知A∈F.

6) 若(p,|A|)=1,其中p為某一素數,則Op(G)=1.

假設Op(G)≠1,則存在G的極小正規(guī)子群H≤Op(G).由2)知G/H∈F.令π是A的所有素因子的集合.因為A次正規(guī)于G,所以A≤Oπ(G).故G/Oπ(G)?B/B∩Oπ(G)∈F.于是G?G/(H∩Oπ(G))∈F,矛盾.

7)A不是冪零群.

8)AG≠1.

由于A在G中s置換,所以由引理3知,A/AG為冪零群.由7)知AG≠1.

9) 導出矛盾.

綜上可知，定理得證.

定理3設群G=AB,其中A次正規(guī)于G,且A的每個非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G中Us擬正規(guī),B是G的Hall子群，且B的每個Sylow子群循環(huán),則G是超可解群.

證假設命題不成立,設G是使得|G||A|最小的反例,下面分步證明.

1)A≠G.假設A=G，則由[11,定理3.1]知,A是超可解群,矛盾.故A≠G.

2)G的每個包含A的真子群是超可解群.特別地,A是超可解群.

類似于定理2中1)的證明.

3) 設H是G的非單位正規(guī)p子群,對某一素數p.若H≤A或A的Sylowp子群循環(huán)或A的一個Sylowp子群含于H或(p,|A|)=1,則G/H是超可解群.

類似于定理2中2)的證明.

4) 設p是一素因子,使得(p,|A|)=1,則Op(G)=1.

假設Op(G)≠1,設H是G的一個極小正規(guī)子群,使得H≤Op(G).由3)知,G/H是超可解群.設π是|A|的全部素因子的集合,因為A次正規(guī)于G,所以A≤Oπ(G).由條件可知B的每個Sylow子群循環(huán),故B是超可解群.于是G/Oπ(G)=BOπ(G)/Oπ(G)?B/B∩Oπ(G)是超可解群,進而G?G/(H∩Oπ(G))是超可解群,矛盾.故4)成立.

5)G是可解群.

因為A次正規(guī)于G,所以由引理4知,A含于G的某個可解正規(guī)子群T中.由于B為超可解群,故G/T=TB/T?B/B∩T為超可解群,這表明G/T可解,進而G為可解群.

6) 設p是|A|的最大素因子,Ap是A的Sylowp子群,則Ap=Op(G)是G的Sylowp子群.

7) 導出矛盾.

設H是G的任一極小正規(guī)子群,則由5)知,H是一個交換q群,對某一素數q.由4)知,HB,故H≤A.于是由3)知,G/H是超可解群,這表明q=p且H≤Ap.又因為G/H是超可解群,且超可解群類是飽和群系,所以H是G的唯一極小正規(guī)子群,且HΦ(G).于是存在G的一個極大子群M,使得G=[H]M.進一步,有H=CG(H).由6)得Ap=Op(G)≤CG(H),故H是A的一個Sylowp子群.根據[11,定理3.1],G為超可解群,矛盾.

綜上，定理得證.

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