杜鳳嬌

(徐州工程學院 數(shù)學與物理科學學院,江蘇 徐州 221111)

0 引言

Heath等[1]提出的利率期限結構建模方法是期限結構理論發(fā)展史上的重要里程碑.相對于基于即期利率模型的期限結構理論,HJM框架具有更多的優(yōu)越性[2].因此,HJM框架一經問世,就引起了金融理論界的廣泛關注.Bj?rk,Chiarella等[3-5]進一步討論了在HJM框架下,遠期利率方程由Poisson型跳躍過程驅動時的利率期限結構相關問題,更好地擬合了遠期利率和即期利率收益的“尖峰厚尾”現(xiàn)象.趙靜嫻等[6]就跳躍-擴散型遠期利率方程進行了相關問題的討論.

Poisson型跳躍在有限時段內以概率1跳躍次數(shù)有限,而Lévy過程是更一般的跳躍過程,將Poisson型跳躍-擴散模型作為其特例,它在有限時段內可以有可列無限次跳躍.關于Lévy過程的詳細介紹參見文獻[7-8].Eberlein等[9-10]討論了Lévy過程驅動的HJM 框架下債券市場的幾個主要金融理論問題.本文討論與文獻[10]相同的問題,主要采用Musiela等[11-12]提出的遠期測度方法和Chan[13]構造的Lévy過程等價鞅測度技巧,獲得了Lévy過程驅動的HJM框架下債券市場無套利的充分條件,為進一步研究這種債券市場下各種債券衍生產品的定價打下理論基礎.

1 Lévy過程驅動的HJM框架下的債券市場模型

考慮一連續(xù)時間交易經濟系統(tǒng),交易時段為[0,T*]．設Y={Yt,0≤t≤T*}是定義在帶流概率空間(Ω,F,(Ft),P)上的一維Lévy過程,且有標準分解

Yt=cWt+Mt+αt,

(1)

其中W={Wt,0≤t≤T*}是一維標準Brown運動,M={Mt,0≤t≤T*}為純跳躍Lévy過程,c和α是常數(shù).假設對所有的h∈(-h1,h2),0

設到期日為T(

df(t,T)=α(t,T)dt+σ(t,T)dYt,

(2)

其中對每個T,α(t,T)和σ(t,T)為R上適應的隨機過程且σ(t,T)是有界的.

將(1)式代入(2)式，整理可得

df(t,T)=(α(t,T)+ασ(t,T))dt+σ(t,T)cdWt+σ(t,T)dMt,

(3)

對(3)式積分,得

(4)

其中f(0,·):[0,T*]→R為Borel可測函數(shù).T時刻到期的零息債券價格B(t,T)可由遠期利率表示,即

從而

由(4)得

記

則

本文考慮的債券價格B(t,T)滿足以下Lévy過程驅動的隨機微分方程:

dB(t,T)=B(t-,T)(a(t,T)dt+b(t,T)dYt)

=B(t-,T)((a(t,T)+αb(t,T))dt+cb(t,T)dWt+b(t,T)dMt).

對固定的到期日T∈(0,T*),到期日為T*的債券價格B(t,T*)滿足方程

dB(t,T*)=B(t-,T*)(a(t,T*)dt+b(t,T*)dYt)

=B(t-,T*)((a(t,T*)+αb(t,T*))dt+cb(t,T*)dWt+b(t,T*)dMt).

dB-1(t,T*)=-B-2(t-,T*)dB(t,T*)+B-3(t-,T*)B2(t-,T*)b2(t,T*)c2dt

+(B-1(t,T*)-B-1(t-,T*)+B-2(t-,T*)B(t-,T*)b(t,T*))ΔMt,

從而

+(b(t,T)-b(t,T*))dYt)+B(t,T)(B-1(t,T*)-B-1(t-,T*))

2 Lévy過程驅動的HJM框架下債券市場無套利的充分條件

本節(jié)討論由Lévy過程驅動的HJM框架下債券市場不存在套利機會的充分條件．為此，定義遠期債券價格過程

?t∈[0,T], 0

記ΔB-1(t,T*)=B-1(t,T*)-B-1(t-,T*),則

dFB(t,T,T*)=FB(t-,T,T*)((a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)-c2b(t,T)b(t,T*))dt

+(b(t,T)-b(t,T*))dYt+b(t,T*)ΔMt)+B(t,T)ΔB-1(t,T*)

+B(t,T)ΔB-1(t,T*)b(t,T)ΔMt,

進一步計算并整理得

dFB(t,T,T*)=FB(t-,T,T*)((αb(t,T)-αb(t,T*)+a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)

-c2b(t,T)b(t,T*))dt+c(b(t,T)-b(t,T*))dWt+(b(t,T)-b(t,T*))dMt

+b(t,T*)dMt+B(t-,T*)ΔB-1(t,T*)+B(t-,T*)b(t,T)ΔB-1(t,T*)dMt)

其中

a1(t,T)=αb(t,T)-αb(t,T*)+a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)-c2b(t,T)b(t,T*),

a2(t,T)=c(b(t,T)-b(t,T*)),a3(t,T)=b(t,T),a4(t,T)=B(t-,T*),

其中v,v1,v2為Lévy測度.從而

(5)

現(xiàn)給出本文的引理.

(6)

定義一個過程Zt，

其中ε(·)為Doleas-Dale指數(shù)半鞅[7].由Doleas-Dale公式可解得

則Zt是一個非負鞅,滿足Z0=1.

將(6)式整理得

(7)

(7)式兩邊對T求導并整理得

(8)

(9)

(9)式的解為

證明類似于文獻[13]中的方法,從略.

風險中性測度(risk neutral measure)的引進是期權定價理論上的一個重要里程碑.Harrison 等[14-15]首先證明了市場無套利等價于存在一個風險中性測度Q,使得市場中任何投資收益的貼現(xiàn)價格過程在Q測度下都是鞅.一般過程驅動的金融市場的相應結果由Delbaen等[16]給出.這樣,只要對所有不同到期日的債券能同時選擇出一公共的遠期鞅測度,則在由Lévy過程驅動的HJM框架下的債券市場中,不同到期日的債券之間就不存在套利.因此,由引理1和2,得到本文的最終結論.

3 結果

Lévy過程驅動的HJM框架下債券市場無套利的充分條件如下：

定理1(無套利充分條件) 若存在R值Ft適應過程Gt,H(t,x),H1(t,x)及H2(t,x)，使得

且對任意的T≤T*,Gt,H(t,x),H1(t,x)及H2(t,x)滿足方程(7)或(8)．那么由Lévy過程驅動的HJM框架下債券市場不存在套利.

參考文獻:

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