李應(yīng)剛, 陳天寧, 王小鵬, 于坤鵬，張 超

(西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實驗室，西安 710049)

沖擊噪聲具有極高的瞬態(tài)聲壓峰值和極短的持續(xù)時間，世界各國經(jīng)過試驗都制定了相應(yīng)的沖擊噪聲的安全標(biāo)準(zhǔn)。但由于瞬態(tài)沖擊碰撞的復(fù)雜性，對于沖擊噪聲的產(chǎn)生機(jī)理和沖擊噪聲的計算方法一直沒有深入詳細(xì)的研究。為了有效的控制沖擊噪聲，必須深入了解沖擊噪聲的發(fā)生機(jī)理。Akey[1]對沖擊噪聲研究進(jìn)行綜述，按照產(chǎn)生機(jī)理不同將沖擊噪聲進(jìn)行分類。Nishimura等[2]研究了兩球體碰撞沖擊噪聲機(jī)理，并進(jìn)行了實驗對比驗證；Koss等[3]對兩球體碰撞沖擊進(jìn)行了理論分析，利用Hertz接觸理論推導(dǎo)了兩球體碰撞沖擊輻射聲壓的函數(shù)關(guān)系式；Richards等[4-6]總結(jié)了最近20年來有關(guān)的沖擊噪聲研究理論和實驗方面的成果，分析了沖擊噪聲的發(fā)聲機(jī)理，提供了理論研究方法和實驗測量手段。然而上述文獻(xiàn)大多是針對于彈性球體點(diǎn)接觸碰撞沖擊輻射噪聲問題開展的研究。文獻(xiàn)[7-10]對沖擊板的瞬態(tài)沖擊噪聲進(jìn)行了數(shù)值仿真和實驗研究，提出了瞬態(tài)沖擊噪聲的主動控制方法。

工業(yè)生產(chǎn)中許多機(jī)械碰撞沖擊噪聲可歸結(jié)為圓柱碰撞沖擊噪聲，如圓柱鉸鏈接觸碰撞噪聲及齒輪嚙合沖擊噪聲等。對于滿足Hertz接觸理論假設(shè)的兩平行軸線的圓柱體接觸可以采用平面應(yīng)變問題的方法處理,但兩柱體間的彈性趨近量沒有準(zhǔn)確解。文獻(xiàn)[11-12]對接觸碰撞模型進(jìn)行了綜述及對比分析。文獻(xiàn)[13-15]根據(jù)Hertz接觸理論推導(dǎo)了圓柱接觸理論模型，然而以上三種理論模型均為非線性隱式方程，求解過程需要采取數(shù)值積分方法，不利于碰撞沖擊噪聲理論預(yù)估。Palmgren基于Hertz接觸理論提出了一種顯式的線彈性接觸數(shù)學(xué)模型，具有較高計算精度。而對于圓柱碰撞沖擊噪聲問題，Yufang等[16]研究了兩圓柱撞擊發(fā)聲機(jī)理，基于Hertz點(diǎn)接觸理論模型及圓柱體聲波方程推導(dǎo)了兩圓柱體碰撞沖擊的接觸力及輻射聲壓隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式。然而文獻(xiàn)中將圓柱體線接觸模型簡化為點(diǎn)接觸模型，將線接觸的矩形接觸面簡化為點(diǎn)接觸的橢圓形接觸面，使圓柱碰撞接觸力和沖擊噪聲理論預(yù)估產(chǎn)生較大偏差。

本文基于接觸動力學(xué)相關(guān)理論和Palmgren圓柱體線接觸理論模型，建立了圓柱碰撞沖擊理論數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了圓柱碰撞沖擊接觸力隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式；利用聲學(xué)理論對圓柱碰撞沖擊輻射噪聲進(jìn)行了理論預(yù)估。采用有限元法(FEM)與瞬態(tài)邊界元法(TBEM)相結(jié)合的瞬態(tài)噪聲數(shù)值計算方法，對圓柱碰撞沖擊噪聲進(jìn)行數(shù)值仿真；將有限元法(FEM)計算結(jié)果作為狀態(tài)變量導(dǎo)入瞬態(tài)邊界元法(TBEM)分析圓柱碰撞瞬態(tài)輻射聲場，實現(xiàn)了瞬態(tài)沖擊噪聲輻射聲波的可視化。理論預(yù)估結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合較好。

1 理論建模

1.1 圓柱碰撞沖擊理論

基于接觸動力學(xué)理論和Palmgren圓柱體線彈性接觸模型,兩圓柱接觸沖擊時接觸力與變形關(guān)系：

F=Kδn

(1)

式中：F為接觸力(N)；δ為接觸變形(m)；n為圓柱接觸非線性指數(shù)，本文采用Palmgren圓柱體線彈性接觸模型n=10/9。K取決于碰撞物體材料和結(jié)構(gòu)形狀

(2)

式中：E1、E2為材料的彈性模量(Pa)；υ1、υ2為材料的泊松比；L為圓柱體長度(m)。

根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，圓柱體接觸碰撞的運(yùn)動微分方程為：

(3)

式中：m1、m2為圓柱體質(zhì)量(kg)；v1、v2為圓柱體瞬時速度(m/s)。將式(1)帶入式(3)中，則有：

(4)

式中:mred為圓柱體等效質(zhì)量。

(5)

對δ作積分可得：

(6)

式中:v0=(v2-v1)t=0為圓柱碰撞初始時刻沖擊速度，在最大壓縮δm時，dδ/dt=0。由式(1)與式(6)可得圓柱碰撞最大沖擊力Fm表達(dá)式為

(7)

假設(shè)圓柱體接觸碰撞過程中沖擊力、沖擊加速度與時間近似為一個半波正弦脈沖。半波正弦脈沖角頻率為ωc=π/tc。則圓柱碰撞沖擊力表達(dá)式為：

F(t)=Fmsin(ωct)

(0≤t≤tc)

(8)

由沖擊加速度可得圓柱碰撞沖擊速度表達(dá)式為：

(9)

1.2 圓柱碰撞沖擊輻射噪聲

根據(jù)聲學(xué)理論，柱面波動方程為

(10)

式中:Φ為速度勢函數(shù);c為空氣中聲速;ρ為空氣密度;p為聲壓;ur為徑向振動速度。

圓柱體以V0ejωt振動時速度勢函數(shù)為：

(11)

(12)

(13)

代入式(11)中可得

(14)

聲波從圓柱接觸碰撞處傳播至P點(diǎn)波動時間為

t*=(r-R)/c

(15)

用V(t)代替(14)式中V0cosθ可得速度勢函數(shù)為

(16)

由式(10)可得圓柱體在P點(diǎn)處輻射聲壓表達(dá)式為

(17)

則兩圓柱體碰撞沖擊在P點(diǎn)聲壓表達(dá)式為：

pred(r,θ,t)=p1(r1,θ1,t)+p2(r2,θ2,t)

(18)

2 數(shù)值仿真

為了驗證圓柱碰撞接觸力和沖擊噪聲理論預(yù)估的正確性，提出有限元法(FEM)與瞬態(tài)邊界元法(TBEM)相結(jié)合的瞬態(tài)噪聲數(shù)值計算方法，將有限元法(FEM)計算結(jié)果作為狀態(tài)變量導(dǎo)入瞬態(tài)邊界元法(TBEM)分析圓柱碰撞瞬態(tài)輻射聲場，實現(xiàn)了瞬態(tài)沖擊噪聲輻射聲波的可視化。

2.1 圓柱碰撞沖擊有限元仿真

本文使用ANSYS/LS-DYNA軟件研究圓柱碰撞沖擊有限元仿真分析[17]。ANSYS/LS-DYNA將顯式有限元程序LS-DYNA和ANSYS程序結(jié)合起來。用LS-DYNA的顯式算法能快速求解接觸碰撞問題。

圖1 圓柱碰撞沖擊模型

圓柱碰撞沖擊有限元模型如圖1所示。兩圓柱體半徑為15 mm，長度為60 mm。兩圓柱體都定義為合金鋼材料，密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.06×1011Pa，泊松比為0.3。碰撞沖擊噪聲取決于兩圓柱碰撞沖擊相對速度?？紤]到圓柱接觸沖擊對稱性，兩個圓柱體分別施加0.5 m/s的相對水平初始速度。

有限元數(shù)值仿真計算獲得了圓柱碰撞沖擊接觸力，接觸力時間歷程曲線近似為半波正弦脈沖，與理論分析假設(shè)吻合。對比數(shù)值仿真結(jié)果、理論分析結(jié)果以及赫茲點(diǎn)接觸模型計算結(jié)果如圖2所示，其中實線為數(shù)值仿真結(jié)果，虛線為公式(8)接觸力理論預(yù)估結(jié)果，點(diǎn)劃線為Hertz點(diǎn)接觸模型計算結(jié)果[16]。由圖可知理論預(yù)估結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合較好，而Hertz點(diǎn)接觸模型計算結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差。分析原因為Hertz接觸模型將圓柱體線接觸簡化為點(diǎn)接觸問題，從而使接觸碰撞時間延長，接觸碰撞力幅值降低。

圖2 接觸力時間歷程曲線

按照發(fā)聲的機(jī)理來劃分，沖擊噪聲主要分為自鳴噪聲和加速度噪聲。為了分析研究圓柱碰撞沖擊噪聲發(fā)生機(jī)理及組成成分，提取了圓柱有限元模型中節(jié)點(diǎn)加速度曲線如圖3所示。對節(jié)點(diǎn)加速度時間響應(yīng)曲線進(jìn)行傅里葉變換得到加速度頻譜圖如圖4所示。考慮圓柱碰撞沖擊過程中將會激起圓柱模態(tài)振動，對圓柱進(jìn)行模態(tài)分析得到圓柱前10階固有頻率如表1所示。

表1 圓柱固有頻率

圖3 加速度時間歷程曲線

對比分析加速度頻譜圖及圓柱模態(tài)分析結(jié)果可知，圓柱加速度頻譜中峰值頻率對應(yīng)于圓柱的模態(tài)頻率?？紤]人耳能夠感知的頻率范圍為20 kHz以下，從加速度頻譜圖中發(fā)現(xiàn)共振峰頻率都高于20 kHz，說明圓柱碰撞沖擊過程中自鳴噪聲頻率都高于人耳感知頻率范圍，此時人耳感知碰撞沖擊噪聲主要是加速度噪聲。

將圓柱碰撞沖擊過程中節(jié)點(diǎn)加速度時間響應(yīng)曲線采取低通濾波處理，根據(jù)圓柱碰撞沖擊接觸力曲線可得圓柱碰撞沖擊剛體加速度曲線。節(jié)點(diǎn)加速度低通濾波處理后曲線及剛體加速度曲線如圖5所示。對比分析剛體加速度及濾波加速度曲線可知圓柱碰撞沖擊噪聲主要是由于剛體加速度輻射噪聲產(chǎn)生。

2.2 輻射噪聲瞬態(tài)邊界元仿真

本文采用LMS Virtual Lab軟件邊界元法進(jìn)行圓柱碰撞沖擊瞬態(tài)輻射噪聲研究。邊界元法基本思想是將微分方程轉(zhuǎn)化為邊界上定義的邊界積分方程，并將邊界離散化，使積分方程成為只含有邊界積分節(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程組，通過求解獲得邊界節(jié)點(diǎn)參數(shù)，進(jìn)一步求得分析域內(nèi)部參數(shù)。

圖6 瞬態(tài)聲學(xué)邊界元模型

圓柱碰撞沖擊瞬態(tài)聲學(xué)邊界元模型如圖6所示。邊界元網(wǎng)格及場點(diǎn)網(wǎng)格都是在ANSYS軟件中生成為CDB格式文件導(dǎo)入Virtual Lab Acoustics。邊界元網(wǎng)格為圓柱碰撞沖擊有限元模型的表面網(wǎng)格，采用三角形單元劃分網(wǎng)格。場點(diǎn)網(wǎng)格為半徑500 mm圓形區(qū)域。

將ANSYS/LS-DYNA軟件計算得到的圓柱碰撞沖擊振動位移導(dǎo)入Virtual Lab Acoustics進(jìn)行瞬態(tài)邊界元分析,實現(xiàn)瞬態(tài)沖擊噪聲輻射聲波的可視化。圓柱碰撞沖擊瞬態(tài)輻射聲波傳播過程如圖7所示。由圖可知，圓柱碰撞沖擊噪聲存在明顯的波動過程，在碰撞沖擊方向聲壓幅值較大，垂直于碰撞沖擊方向聲壓較小。隨著輻射聲波傳播，沖擊噪聲輻射能量發(fā)生擴(kuò)散，輻射聲壓幅值逐漸降低。

圖7 瞬態(tài)輻射聲波傳播

為了驗證圓柱碰撞沖擊噪聲理論模型，提取聲場中節(jié)點(diǎn)1的輻射聲壓時間歷程曲線并進(jìn)行對比如圖8所示。圖中實線為數(shù)值仿真結(jié)果，虛線為公式(18)理論預(yù)估結(jié)果，點(diǎn)劃線為Hertz點(diǎn)接觸模型計算結(jié)果。對比數(shù)值仿真結(jié)果、理論預(yù)估結(jié)果可知理論分析結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合較好。而Hertz點(diǎn)接觸模型計算結(jié)果聲壓幅值較小，持續(xù)時間較長。分析原因為Hertz點(diǎn)接觸模型將圓柱體線接觸簡化為點(diǎn)接觸問題，使接觸碰撞時間延長，接觸碰撞力幅值降低，從而導(dǎo)致加速度幅值降低，而圓柱碰撞沖擊噪聲主要由加速度輻射產(chǎn)生，因而預(yù)估聲壓幅值較小。

為了研究圓柱碰撞瞬態(tài)聲輻射特性，提取場點(diǎn)網(wǎng)格上同一聲輻射方向不同距離節(jié)點(diǎn)node1和node5的聲壓時間歷程曲線如圖9所示。分析可知，同一輻射方向上，場點(diǎn)聲壓隨著距離增大而降低。提取場點(diǎn)網(wǎng)格上不同聲輻射方向距離相同的兩個節(jié)點(diǎn)node1和node2的聲壓時間歷程曲線如圖10所示。分析可知不同輻射方向上距離碰撞沖擊聲源等距的場點(diǎn)聲壓不同，即圓柱碰撞輻射聲場具有方向性。根據(jù)圓柱碰撞沖擊輻射聲場輻射特性可知，圓柱碰撞輻射聲場可以理解為平面偶極源的輻射聲場，在距離聲源較遠(yuǎn)處輻射聲壓與距離成反比，且輻射聲場具有明顯的方向性。

圖8 輻射聲壓時間歷程曲線

圖11 接觸力時間歷程曲線

3 圓柱碰撞沖擊參數(shù)分析

3.1 圓柱碰撞沖擊速度影響

為了研究沖擊速度對圓柱碰撞沖擊的影響，對比分析五種沖擊速度條件下圓柱碰撞沖擊力及輻射聲壓變化情況。不同沖擊速度條件下圓柱碰撞沖擊接觸力時間曲線如圖11所示，接觸力與沖擊速度關(guān)系曲線如圖12所示，輻射聲壓與沖擊速度關(guān)系如圖13所示。由圖可知在彈性接觸碰撞范圍內(nèi)，圓柱碰撞沖擊接觸力以及輻射聲壓與沖擊速度成正比，接觸沖擊時間不隨沖擊速度變化而變化。

圖14 輻射聲壓時間歷程曲線

3.2 圓柱材料彈性模量影響

為了研究材料彈性模量對圓柱碰撞沖擊的影響，對比分析了不同材料彈性模量條件下圓柱碰撞沖擊噪聲變化情況。圖14為兩種材料彈性模量條件下輻射聲壓時間歷程曲線。由圖發(fā)現(xiàn)，雖然圓柱碰撞輻射加速度噪聲與材料彈性模量呈指數(shù)關(guān)系，然而總輻射聲壓與彈性模量并不是呈指數(shù)關(guān)系變化。分析原因為材料彈性模量變化改變了圓柱固有頻率，材料彈性模量減小，固有頻率降低，導(dǎo)致圓柱碰撞的自鳴噪聲增大，頻率成分降低。人耳感知碰撞噪聲頻率成分不再僅僅是加速度噪聲，而是加速度噪聲和自鳴噪聲疊加。

4 結(jié) 論

(1) 基于接觸動力學(xué)相關(guān)理論及彈性體線接觸理論模型，推導(dǎo)了圓柱碰撞沖擊理論模型，結(jié)合聲學(xué)理論對圓柱碰撞沖擊噪聲進(jìn)行了理論預(yù)估。

(2) 采用有限元法(FEM)與瞬態(tài)邊界元法(TBEM)相結(jié)合的瞬態(tài)噪聲數(shù)值仿真方法，對圓柱碰撞沖擊噪聲進(jìn)行數(shù)值仿真，實現(xiàn)了瞬態(tài)輻射聲波的可視化。分析圓柱碰撞沖擊噪聲機(jī)理可知圓柱碰撞沖擊噪聲主要由加速度輻射噪聲產(chǎn)生。圓柱碰撞沖擊噪聲存在明顯的波動過程，在碰撞沖擊方向聲壓幅值較大，垂直于碰撞沖擊方向聲壓較小，輻射聲場具有明顯指向性。隨著輻射聲波傳播，沖擊噪聲輻射能量發(fā)生擴(kuò)散，輻射聲壓幅值逐漸降低。

(3) 對比理論分析結(jié)果、數(shù)值仿真結(jié)果以及Hertz點(diǎn)接觸模型計算結(jié)果可知，理論分析結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合較好，而Hertz點(diǎn)接觸模型將圓柱體線接觸模型簡化為點(diǎn)接觸模型，導(dǎo)致接觸時間延長，接觸力和沖擊噪聲幅值降低。表明基于圓柱體線彈性接觸模型相較Hertz點(diǎn)接觸理論模型能夠更準(zhǔn)確實現(xiàn)接觸力和沖擊噪聲理論預(yù)估。

(4) 研究了沖擊速度和材料彈性模量對圓柱碰撞沖擊的影響。結(jié)果表明在彈性碰撞條件下，圓柱碰撞沖擊接觸力以及輻射聲壓與沖擊速度成正比，接觸沖擊時間不隨沖擊速度變化而變化。材料彈性模量減小，圓柱體固有頻率降低，導(dǎo)致圓柱碰撞的自鳴噪聲增大，頻率成分降低。此時圓柱碰撞沖擊噪聲不再僅僅是加速度輻射噪聲產(chǎn)生，而是加速度噪聲和自鳴噪聲疊加。

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