胡有婧,紀(jì)永強(qiáng)

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,銀川 750021； 2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

deSitter空間中的緊致極大類時(shí)子流形

胡有婧1,紀(jì)永強(qiáng)2

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,銀川 750021； 2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

采用活動(dòng)標(biāo)架法,得到de Sitter空間中類時(shí)子流形的Ricci恒等式和第二基本形式長(zhǎng)度平方的Laplacian,并得到de Sitter空間中緊致極大類時(shí)子流形成為全測(cè)地子流形的一些充分條件.

de Sitter空間； Ricci恒等式； 類時(shí)； 全測(cè)地

1 主要結(jié)果

對(duì)于de Sitter空間中的緊致類空子流形,目前已有許多研究結(jié)果[1-4].文獻(xiàn)[5-6]將de Sitter空間中的子流形分類為類空、 類光和類時(shí)子流形.本文參考文獻(xiàn)[7-12],通過(guò)計(jì)算de Sitter空間中類時(shí)子流形的Ricci恒等式和第二基本形式長(zhǎng)度平方的Laplacian,獲得了如下de Sitter空間中的緊致極大類時(shí)子流形成為全測(cè)地子流形的充分條件.

2 de Sitter空間中的類時(shí)子流形

約定各類指標(biāo)范圍如下:

1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p; 1≤A,B,C,…≤n+p.

將ω1,…,ωn+p限制到Mn上,由于ωα(e1)=…=ωα(en)=0,于是有

對(duì)式(6)外微分并利用Cartan引理[8]得

又由式(2),(3),(4),(6),(7),經(jīng)過(guò)計(jì)算可得[8]

在偽Riemann標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架下,有[5-8]

從而可得de Sitter空間中類時(shí)子流形的Ricci恒等式[9]:

設(shè)曲率張量場(chǎng)Kαijk的一階共變導(dǎo)數(shù)為Kαijk;l,類似式(8),則有

由式(5),(9),(11),得

經(jīng)過(guò)計(jì)算有

仿文獻(xiàn)[10-11]的技巧,對(duì)一切實(shí)數(shù)A,有

3 定理的證明

3.1定理1的證明

將式(13)代入式(12)得

將式(15)兩邊關(guān)于α求和,再由式(13)得

經(jīng)過(guò)計(jì)算易得

將式(17)兩邊關(guān)于α,β求和,有

此外,有如下Lincoln不等式[8]成立:

在式(14)中,令A(yù)≥1>0,又由式(16),(18),(19),得

從而

3.2定理2的證明

由文獻(xiàn)[7],有

在式(14)中,令A(yù)≥1>0,由式(16),(18)和(21),得

從而

當(dāng)σ=n(c-2Rmax)時(shí),不等式(16),(18),(21)均為等式,從而有:

Rijij=Rmax,

[1] 許志才.de Sitter空間中具有常均曲率的類空超曲面(Ⅱ) [J].數(shù)學(xué)雜志,1998,18(4): 466-468.(XU Zhicai.Spacelike Hypersurfaces with Constant Mean Curvature in de Sitter Space(Ⅱ) [J].Journal of Mathematics,1998,18(4): 466-468.)

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[5]劉海明,苗佳晶,許宏文,等.廣義de Sitter空間中的類時(shí)超曲面 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(16)： 193-200.(LIU Haiming,MIAO Jiajing,XU Hongwen,et al.Timelike Hypersurfaces in General de Sitter Space [J].Mathematics in Practice and Theory,2011,41(16)： 193-200.)

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

TheCompactTimelikeSubmanifoldsinthedeSitterSpace

HU Youjing1,JI Yongqiang2
(1.CollegeofMathematicsandComputerScience,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,China;
2.CollegeofScience,HuzhouTeachersCollege,Huzhou313000,ZhejiangProvince,China)

Based on the moving frams,the Ricci identity and the Laplacian about the squared norm of the second fundamental form for the timelike submanifolds in de Sitter space were calculated,and some necessary conditions for the compact maximal timelike submanifold in de Sitter space were given.

de Sitter space; Ricci identity; timelike; totally geodesic

2013-12-05.

胡有婧(1978—),女,漢族,碩士,講師,從事子流形幾何的研究,E-mail: hyq@nxu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金(批準(zhǔn)號(hào)： 11201253)和國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)基金(批準(zhǔn)號(hào)： 11261042).

O186.12

A

1671-5489(2014)05-0895-06