張申貴

(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院,甘肅 蘭州 730030)

一類次線性Hamilton系統(tǒng)的周期解*

張申貴

(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院,甘肅 蘭州 730030)

Hamilton系統(tǒng)是一類比較重要的微分方程模型.利用臨界點理論中的鞍點定理研究非自治Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性.在具有次線性增長非線性項時,給出了相關(guān)周期解存在的充分條件,推廣了Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件.

非自治Hamiltonian系統(tǒng);次線性增長非線性項;周期解;臨界點

Hamilton系統(tǒng)廣泛存在于數(shù)理科學、生命科學以及社會科學的整個領(lǐng)域,特別是天體力學、等離子物理、航天科學以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系統(tǒng)(或它的擾動系統(tǒng))的形式出現(xiàn),因此對該系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實際意義.非自治Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性一直是人們所關(guān)注的重要問題[1-6].

1 問題的提出

考慮非自治Hamilton系統(tǒng)

(1)

文獻[2]中假設存在正常數(shù)M1,M2及0≤α<1,使得

|H(t,u)|≤M1|u|α+M2,

(2)

且H滿足Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件

(3)

成立時,得到了非自治Hamiltonian系統(tǒng)周期解的存在性.

文獻[3]在H滿足(2),(3)式時,研究了系統(tǒng)(1)多重周期解的存在性.

定理1 設H滿足(2)式,且假設H滿足

(4)

注1 (2)式表明非線性項H(t,u)是次線性增長的.(3)式推廣了Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件,易見在(3)式中極限可以是下方有界的,極限值放寬為].

定理2 設H滿足(2)式,且假設H滿足

2 預備知識

u,v

‖u‖L2≤C‖u‖ ?u∈X.

(5)

令{e1,e2,...,e2N}是R2N中的典范基,對于j∈Z,

X(j)=span{sin(jt)el-cos(jt)el+N,cos(jt)el+sin(jt)el+N|1≤l≤N}，

在X上定義泛函φ為

則φ是連續(xù)可微的,且

φ′(u),v=(-J,v)dt-(H(t,u),v)dt=(u+-u-,v)-

從而u是問題(1)的解當且僅當u是φ的臨界點.

定義1 設X為Banach空間,若對任何點列{un}?X,由{φ(un)}有界,φ′(un)→0,可推得{un}有收斂子列,則稱泛函φ∈C1(X,R)滿足(PS)條件.

(ⅰ) 存在e∈Bρ∩E1和常數(shù)ω>σ,使得φ|e+E2≥ω.

(ⅱ) 存在常數(shù)σ和ρ,使得φ|?Bρ∩E1≤σ.

3 定理的證明

定理1的證明利用引理4來證明定理1.下面用c表示常量.

第1步證明(PS)條件成立.即指對任何點列{un}?X,由{φ(un)}有界,φ′(un)→0(n→∞),可推得{un}有收斂子列.下面證明(PS)條件成立,先證{un}在X中有界.

對?u∈X,有u=u-+u0+u+,其中u-∈X-,u0∈X0,u+∈X+.設{un}?X,使得

|φ(un)|≤c,φ′(un)→0n→∞.

(6)

由(6)式,有

φ′(u),φ=(-J,φ)dt-(H(t,u),φ)dt=o(‖φ‖) ?φ∈X.

(7)

(8)

由(7),(8)式,有

(9)

同理可證

(10)

(11)

由(11)式,并注意到0≤α<1,有

(12)

(13)

(14)

反設{un}在X中有無界,當n→∞時,‖un‖→∞.

由ε的任意性,由(12)式,當n→∞時,φ(un)→-∞,這與(6)式矛盾.故{un}在X中有界,由標準討論知φ滿足(PS)條件.

第2步根據(jù)引理4,要證明定理1,僅需證明下面事實:

(ⅱ) 當‖u‖→+∞時,φ(u)→-∞，對u∈X-⊕X0成立.

先證(ⅰ)成立.由(2),(5)式,對u∈X+,有

由0≤α<1,當‖u‖→∞時,有φ(u)→+∞,從而條件(ⅰ)成立.

(15)

由(14),(15)式,有

令ε充分小,由0<α<1,當‖u‖→∞時,有φ(u)→-∞,從而條件(ⅱ)成立.

定理2的證明方法與定理1類似,文中不再給出證明.

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(責任編輯 向陽潔)

PeriodicSolutionofaClassofSublinearHamiltonianSystem

ZHANG Shengui

(College of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

Hamiltonian System is an important model of differential equation.In this paper,the author investigates the existence of periodic solution for nonautonmous Hamiltonian System with sublinear nonlinearity by saddle point theorem in critical point theory.Some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained,and the results improve the Ahmad-Lazer-Paul’s coercive condition.

nonautonmous Hamiltonian system;sublinear nonlinearity;periodic solution;critical point

1007-2985(2014)01-004-04

2013-04-24

國家自然科學基金資助項目(31260098)；西北民族大學中青年科研項目(12XB38)

張申貴(1980-)，男,甘肅蘭州人,西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院副教授,主要從事非線性泛函分析研究.

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.002