王 丹， 陳予恕， 曹慶杰， 熊冶平

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.南安普頓大學(xué) 工程與環(huán)境學(xué)院, 南安普頓 SO17 1BJ英國(guó))

葉輪機(jī)械所處的工況十分復(fù)雜，葉片和流經(jīng)的流體之間時(shí)刻進(jìn)行能量的傳輸或轉(zhuǎn)換，因此這類機(jī)械的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作原理決定了其內(nèi)部流動(dòng)的復(fù)雜性。柔性葉片較之剛性葉片，更容易受到氣動(dòng)力的作用，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，發(fā)生共振，因而存在著巨大的安全隱患。為了提高葉片與流體進(jìn)行能量傳輸?shù)男剩瑫r(shí)預(yù)防葉片發(fā)生顫振，對(duì)葉片的氣動(dòng)彈性問(wèn)題進(jìn)行研究是非常必要的。由于葉片本身結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，實(shí)際工程應(yīng)用中多采用數(shù)值模擬如邊界元、有限元的方法研究其氣動(dòng)彈性問(wèn)題。Jadic等[1]利用時(shí)間推進(jìn)方法分別研究了流體-葉片在帶有連續(xù)渦和不帶有連續(xù)渦的一致均勻流作用下的耦合運(yùn)動(dòng)。其研究表明，顫振的發(fā)生不會(huì)導(dǎo)致災(zāi)難性的失效問(wèn)題，而是葉片會(huì)發(fā)生極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，并且其振幅很大程度上依賴于結(jié)構(gòu)的非線性因素。So等[2]利用邊界元方法研究了在兩列平行渦激作用下，NACA0012翼型的流體激振響應(yīng)問(wèn)題。他們的研究結(jié)果表明，空氣動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)共振發(fā)生在相同的共振參數(shù)比c/d，而與截面的幾何形狀和作用到的葉片上的平均氣動(dòng)力載荷無(wú)關(guān)。Lau等[3]利用時(shí)間推進(jìn)邊界元方法詳細(xì)的研究了兩個(gè)參數(shù)s/c(靜子的幾何設(shè)計(jì)參數(shù)，靜子葉片排葉片間距與葉片弦長(zhǎng)之比)和c/d(歸一化頻率參數(shù)，與轉(zhuǎn)子尾流的通過(guò)頻率有關(guān))對(duì)于葉片與漩渦耦合作用的影響。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，對(duì)由于流固耦合作用引起的渦輪機(jī)械葉片的疲勞壽命預(yù)測(cè)是非常重要的。Sanders等[4]從理論上分析了轉(zhuǎn)子葉片在轉(zhuǎn)子-靜子耦合作用下受到的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩。在以前的研究中,轉(zhuǎn)子尾流是作用到靜子葉片上的一個(gè)主要的外激勵(lì)源[5]。Hodson等[6-7]研究了轉(zhuǎn)子尾跡擾流的主要特點(diǎn)。Cicatell等[8-9]研究了渦輪葉片的尾跡流對(duì)靜子葉片的作用。Lau等[3]研究了一個(gè)由五個(gè)葉片組成的線性葉片排在尾流激振作用下的疲勞壽命預(yù)測(cè)。

本文的主要目的是在亞音速、低馬赫數(shù)條件下,通過(guò)定性分析方法，對(duì)受準(zhǔn)定常氣動(dòng)力作用的葉片發(fā)生臨界顫振進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。建立了一個(gè)二自由度具有立方非線性渦輪機(jī)械葉片的截面模型，根據(jù)Lagrange原理建立了葉片發(fā)生顫振時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程；通過(guò)數(shù)值模擬研究來(lái)流速度對(duì)振幅的影響；利用平均法理論研究了葉片顫振時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)行為；利用能量法分析了葉片在能量輸入和輸出情況下的穩(wěn)定特性。

1 建模

1.1 二自由度葉片截面模型

圖1 二自由度葉片頂端截面模型

1.2 彎扭耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

由圖1利用拉格朗日定理，得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程，

(1)

根據(jù)Grossman’s 的準(zhǔn)定常氣動(dòng)力模型,得到二自由度系統(tǒng)受到的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩如下:

進(jìn)一步,假設(shè)振動(dòng)為小角度, cosα≈1,sinα≈α

對(duì)方程組(1)進(jìn)行無(wú)量綱化,得到如下方程組:

(2a)

(2b)

無(wú)量綱參數(shù)變換為,

1.3 耦合系統(tǒng)的數(shù)值分析

圖2 無(wú)量綱來(lái)流速度對(duì)彎曲、扭轉(zhuǎn)振幅的影響(a1為彎曲振動(dòng)振幅，a2為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅)

圖3 當(dāng)時(shí)的時(shí)間歷程圖和相圖：彎曲振動(dòng) (a), (b)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(c), (d)

圖4 當(dāng)時(shí)的時(shí)間歷程圖和相圖：彎曲振動(dòng)(a), (b)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(c), (d)

圖5 當(dāng)時(shí)的時(shí)間歷程圖和相圖：彎曲振動(dòng)(a), (b)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(c), (d)

2 動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平均法分析

工程技術(shù)中，平均法由于很好的保持了系統(tǒng)的一階近似穩(wěn)態(tài)解，因此常被用來(lái)研究強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)、自激振動(dòng)系統(tǒng)等動(dòng)態(tài)特性，尤其在非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。在氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩的作用下，葉片極易發(fā)生顫振，因?yàn)轭澱袷且环N結(jié)構(gòu)與氣流相互耦合作用下的自激振動(dòng)，所以其解具有穩(wěn)態(tài)臨界性質(zhì)。根據(jù)平均法原理,設(shè)系統(tǒng)(2)在兩個(gè)自由度上的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)形式分別為，

ξ=Acos(ωτ+φ1)
α=Bcos(ωτ+φ2)

(3)

其中A,B,φ1,φ2是關(guān)于時(shí)間τ的慢變參數(shù)。根據(jù)平均法的思想，得到A,B,φ1,φ2關(guān)于時(shí)間τ的一階導(dǎo)數(shù)分別為:

(4)

其中φ1=ωτ+φ1,φ2=ωτ+φ2以及

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

通過(guò)(9)式，得到振動(dòng)頻率的表達(dá)式為:

(11)

其中，

將得到頻率表達(dá)式代到等式(10)中，得到振幅A,B與振動(dòng)頻率ω的關(guān)系，如圖6、圖7所示。

根據(jù)式(11)，得到振動(dòng)頻率與無(wú)量綱來(lái)流速度、頻率比之間的關(guān)系如圖8、圖9所示。

圖6 彎曲振動(dòng)方向上的振幅A與振動(dòng)頻率ω關(guān)系圖:參數(shù)為=0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rξ=0.5,Rα=0.5,ζξ=0.016,ζα=0.021,=0.365,B=0.2,=11

圖9 振動(dòng)頻率ω與頻率比之間的關(guān)系圖，綠線為ω1，紅線為

將式(11)代到式(10)中，得到振幅A,B和系統(tǒng)參數(shù)的非線性關(guān)系圖如圖10～圖15所示。

這些關(guān)系圖定性的反映了該耦合系統(tǒng)的振動(dòng)特性，通過(guò)上述圖中給出的結(jié)果，可以對(duì)其振動(dòng)進(jìn)行預(yù)測(cè)與控制。

2.2 系統(tǒng)的能量傳遞分析

能量流方法近年來(lái)被廣泛用于工程中復(fù)雜結(jié)構(gòu)以及振動(dòng)控制系統(tǒng)的振動(dòng)分析，性能評(píng)估、振動(dòng)控制以及動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)等[10-13]。其中，很多研究都是基于線性理論，而利用能量流方法對(duì)于非線性系統(tǒng)的研究有限。該部分根據(jù)能量流研究非線性系統(tǒng)的理論與方法[15]，通過(guò)研究系統(tǒng)在每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的平均能量，可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而避免系統(tǒng)因吸收能量發(fā)生大幅顫振所對(duì)結(jié)構(gòu)造成巨大的破壞。系統(tǒng)(1)在每個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的平均輸入能量為:

圖10 彎曲振動(dòng)方向振幅A與非線性剛度系數(shù)Rξ的非線性關(guān)系,=0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rα=0.2,=0.365,ζξ=0.016,ζα=0.021,=10.4,A=0.2,B=0.5

(12)

系統(tǒng)由于阻尼作用,在每個(gè)周期內(nèi)消耗的平均能量為:

(13)

圖13 彎曲振動(dòng)方向振幅B與非線性剛度系數(shù)Rα的非線性關(guān)系, =0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rξ=0.5,ζξ=0.016,ζα=0.021,=11,=0.365,A=0.2

圖16 相位差取θ(π/2,π/4,0)不同值時(shí)系統(tǒng)每個(gè)周期內(nèi)平均吸收能量Pin與無(wú)量綱來(lái)流速關(guān)系：系統(tǒng)參數(shù)分別為=0.75,μ=640,ω=0.5,A=0.5,B=0.5

系統(tǒng)每個(gè)周期內(nèi)平均耗散的能量與振動(dòng)頻率ω之間的關(guān)系如圖18所示。

從圖18可以看出，當(dāng)相位差θ分別取0,π/4,π/2時(shí)，系統(tǒng)消耗能量Pd都隨著振動(dòng)頻率ω的增加而增大。

3 結(jié) 論

文章針對(duì)渦輪機(jī)械葉片所處的復(fù)雜的工作環(huán)境，建立了二自由度彎扭耦合并且具有立方非線性的葉片截面模型，并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。在葉片顫振過(guò)程中，當(dāng)來(lái)流速度超過(guò)臨界值時(shí)，其振動(dòng)幅值隨著來(lái)流速度的增加而增大。利用平均法得到了系統(tǒng)振動(dòng)的幅值及其頻率之間的關(guān)系以及兩個(gè)自由度上振幅與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)能量法分析了系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的穩(wěn)定性情況，從而為預(yù)測(cè)實(shí)際系統(tǒng)中葉片發(fā)生顫振提供了理論依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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