郭曉玲， 唐國(guó)強(qiáng),2， 劉名名， 呂 林,3， 滕 斌

(1．大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024；2．韓國(guó)海洋科學(xué)技術(shù)研究所，大田 305-343；3．大連理工大學(xué) 深海工程研究中心，大連 116024)

在海洋工程中，當(dāng)水流經(jīng)過(guò)海洋平臺(tái)的樁柱、支撐結(jié)構(gòu)、立管及海底管線等這些非流線型結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)在尾流區(qū)內(nèi)產(chǎn)生交替的旋渦脫落，使作用在結(jié)構(gòu)上的流體作用力表現(xiàn)出明顯的周期性特征，進(jìn)而誘發(fā)渦激振動(dòng)(Vortex-Induced Vibration，VIV)。當(dāng)渦旋的脫落頻率與結(jié)構(gòu)的固有頻率相接近時(shí)，將發(fā)生“鎖定”現(xiàn)象。此時(shí)，結(jié)構(gòu)物會(huì)以較大的振幅振動(dòng)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)物的壽命急劇降低。在過(guò)去的幾十年中，均勻流中單個(gè)圓柱的渦激振動(dòng)問(wèn)題得到廣泛的關(guān)注[1-6]。人們通過(guò)對(duì)高雷諾數(shù)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，在低質(zhì)量-阻尼比(m*ξ)下，圓柱的位移響應(yīng)可以分為三個(gè)階段[1]：初始分支(Initial branch)、上分支(Upper branch)及下分支(Lower branch)，而在高質(zhì)量-阻尼比(m*ξ)情況下，圓柱的位移響應(yīng)只存在初始分支和下分支[2]。通過(guò)強(qiáng)迫振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)[3]：對(duì)于僅發(fā)生橫流向受迫振動(dòng)的圓柱結(jié)構(gòu)，其尾渦脫落模式通常可劃分為2P、2S和P+S三種形式，從Khalak等[1]中可以看到，位移響應(yīng)的初始分支對(duì)應(yīng)的渦脫落模式為2S，下分支對(duì)應(yīng)的為2P模式。

對(duì)于海洋工程結(jié)構(gòu)中近距離放置的多個(gè)圓柱的情況，由于圓柱之間存在明顯的水動(dòng)力干涉作用，相應(yīng)的渦激振動(dòng)響應(yīng)與單個(gè)圓柱的情況存在顯著的差別[7-11]。針對(duì)上游圓柱固定不動(dòng)，下游圓柱發(fā)生渦激振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究表明[7]，由于受到上游圓柱尾跡區(qū)的影響，下游圓柱開(kāi)始發(fā)生鎖定時(shí)所對(duì)應(yīng)的約化速度大于單個(gè)圓柱的情況。并且，下游圓柱的鎖定帶寬與兩圓柱的間距有關(guān)。例如，Brika等[7]的結(jié)果表明，當(dāng)兩圓柱間的相對(duì)圓心距L/D=10.0時(shí)，以約化速度表征的下游圓柱的鎖定區(qū)間約為單圓柱情況的2倍。Carmo等[8]分別計(jì)算了二維(Re = 150)和三維(Re = 300)條件下，彈性支撐圓柱在上游固定圓柱尾流干涉作用下的橫流向單自由度振動(dòng)問(wèn)題。計(jì)算條件為圓心間距分別為L(zhǎng)X/D=1.5、3.0、5.0和8.0，質(zhì)量比為m*=2.0，阻尼比為ξ=0.007。數(shù)值結(jié)果表明，在Re=150條件下，當(dāng)發(fā)生共振時(shí)，下游圓柱的振幅較單圓柱情況增大近50%，而對(duì)于三維情況，在不同的圓心間距下，下游圓柱的振動(dòng)幅值隨約化速度的變化趨勢(shì)與對(duì)應(yīng)的二維情況類(lèi)似。在以往的研究工作中，考慮到圓柱發(fā)生渦激振動(dòng)時(shí)順流向位移的振幅比較小，因此，順流向的振動(dòng)往往被忽略[8-9]。而Vandiver等[10]的研究工作表明，順流向和橫流向存在明顯的相互作用。陳文曲等[11]也對(duì)這一方面開(kāi)展了數(shù)值分析工作。但是，人們對(duì)低雷諾數(shù)流動(dòng)中，處于固定圓柱尾跡干涉作用下，同時(shí)具有順流向和橫流向雙自由度的圓柱渦激振動(dòng)問(wèn)題仍缺乏深刻的認(rèn)識(shí)，特別是圓柱間距及質(zhì)量比對(duì)圓柱受力和渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響還需要更加細(xì)致的研究。

以目前現(xiàn)有的計(jì)算能力，對(duì)大尺度(幾千米水深)范圍內(nèi)的實(shí)際立管渦激振動(dòng)開(kāi)展全場(chǎng)三維數(shù)值分析還面臨很大的挑戰(zhàn)，計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，不能滿(mǎn)足實(shí)際工程設(shè)計(jì)的需要。但有關(guān)低雷諾數(shù)下，多圓柱渦激振動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值研究對(duì)于發(fā)展可靠的數(shù)值模型以及建立快捷的近似工程分析預(yù)報(bào)方法是有借鑒意義的。因此本文的工作主要在于加深對(duì)多圓柱渦激振動(dòng)現(xiàn)象物理本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，更側(cè)重于基礎(chǔ)理論方面的研究。本文采用三步有限元數(shù)值方法對(duì)二維Navier-Stokes方程進(jìn)行了求解，并結(jié)合任意拉格朗日-歐拉(ALE)動(dòng)網(wǎng)格方法，建立和開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的數(shù)值模型和計(jì)算程序，以Re=150為代表，重點(diǎn)研究了兩個(gè)等直徑串聯(lián)圓柱的渦激振動(dòng)問(wèn)題，其中上游圓柱固定不動(dòng)，下游圓柱在彈性支撐和阻尼作用下允許同時(shí)發(fā)生順流向和橫流向振動(dòng)。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，來(lái)研究圓柱間隙比、質(zhì)量比以及約化速度等因素對(duì)下游圓柱渦激振動(dòng)特性的影響。

1 數(shù)值模型

1.1 流動(dòng)控制方程

二維不可壓縮均勻粘性牛頓流體運(yùn)動(dòng)的基本控制方程為連續(xù)性方程和Navier-Stokes方程，在ALE參考坐標(biāo)系下，可以表示成如下的無(wú)量綱形式：

(1)

(2)

其中，xi表示笛卡爾坐標(biāo)(二維情況下i= 1、2，分別對(duì)應(yīng)x和y方向)，ui為xi方向的流速分量，p為壓力，Re=UD/υ為雷諾數(shù)，U為均勻來(lái)流流速，D為圓柱直徑，υ為流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù),cj為對(duì)流速度，并有:

(3)

應(yīng)用三步有限元方法[12-13]，可得到如下離散形式的動(dòng)量方程：

(4)

(5)

(6)

(7)

對(duì)于時(shí)間推進(jìn)，本文根據(jù)CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)條件，采用如下的動(dòng)態(tài)時(shí)間步長(zhǎng)：

式中，Se為網(wǎng)格的面積，ue為網(wǎng)格中心點(diǎn)的流速，min(*)表示在計(jì)算域內(nèi)取最小值，Cs為安全系數(shù)，文中取為Cs= 0.2。

由于上述離散格式具有高階Tayler-Galerkin性質(zhì)，同時(shí)速度與壓力通過(guò)投影(Projection)過(guò)程進(jìn)行了解耦，因此式(4)～式(6)以及式(7)均可采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)Galerkin有限元方法進(jìn)行空間離散，相關(guān)的離散方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[12～14]。

當(dāng)獲得流場(chǎng)和壓力場(chǎng)后，圓柱所受到的流體作用力可通過(guò)對(duì)圓柱表面的壓力及粘性剪切力進(jìn)行表面積分求得，無(wú)量綱化的拖曳力系數(shù)CD和升力系數(shù)CL分別為：

(8)

(9)

式中，p,u,v分別為圓柱表面上某點(diǎn)的壓力、x方向速度、y方向速度，θ為該點(diǎn)與圓心的連線與x軸正向之間的夾角。

1.2 圓柱的運(yùn)動(dòng)方程

(10)

(11)

當(dāng)圓柱的位移確定后，本文通過(guò)微分網(wǎng)格變換方法進(jìn)行網(wǎng)格更新[15]，進(jìn)而獲得新的網(wǎng)格坐標(biāo)以及網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)速度，用于下一時(shí)間步的流場(chǎng)求解。

1.3 計(jì)算模型及邊界條件

計(jì)算模型及邊界條件如圖1所示。兩等直徑圓柱串聯(lián)放置，無(wú)量綱的圓柱直徑為d=1。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于下游圓柱的初始圓心，兩圓柱圓心間距為L(zhǎng)X，相應(yīng)的無(wú)量綱參數(shù)為L(zhǎng)X/D。計(jì)算域的順流向長(zhǎng)度為55D，橫流向?qū)挾葹?0D。在入口處指定無(wú)量綱的速度u=1，v=0；側(cè)壁采用了對(duì)稱(chēng)邊界條件?u/?y=0，v= 0；出口處的速度邊界條件為?ui/?t+c?ui/?xi=0，其中c為局部平均流速；圓柱表面施加不可滑移邊界條件u=dx/dt，v=dy/dt。計(jì)算中，在出口處指定相對(duì)壓力p= 0，在其他邊界采用?p/?n=0的壓力邊界條件，n為指出流體域的外法向單位矢量。在初始時(shí)刻，流場(chǎng)中的速度及相對(duì)壓力分布均設(shè)為零(即初始速度場(chǎng)滿(mǎn)足連續(xù)方程)。

圖1 計(jì)算域及邊界條件示意圖

2 模型驗(yàn)證

2.1 網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證

表1 網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證結(jié)果

2.2 圓柱橫流向渦激振動(dòng)的數(shù)值驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文數(shù)值模型的可靠性，同時(shí)考慮到在之前的工作中已對(duì)固定單圓柱繞流問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的驗(yàn)證[13]，以下僅對(duì)單個(gè)圓柱(Isolated)橫流向自激振動(dòng)以及上游圓柱固定，下游圓柱(直徑同于上游圓柱)的橫流向自激振動(dòng)問(wèn)題分別進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算的過(guò)程中，均采用了相同的雷諾數(shù)Re=150、質(zhì)量比m*=2.0和阻尼比ξ=0.007。圖2給出了單圓柱橫流向最大振幅(Amax/D)隨約化速度(Ur)的變化及其與Carmo等[8]的對(duì)比結(jié)果。對(duì)于串聯(lián)雙圓柱的情況，考慮了LX/D= 1.5和3.0兩種條件下，下游圓柱的橫流向最大振幅對(duì)約化速度的依賴(lài)關(guān)系。從圖2中可以看出，本文的數(shù)值計(jì)算結(jié)果(present)與已有數(shù)值結(jié)果吻合良好，表明本文的數(shù)值模型具有良好的數(shù)值精度。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

在Carmo等[8]的數(shù)值分析工作中，考慮了上游圓柱固定不動(dòng)的情況下，下游圓柱只在橫流向發(fā)生渦激振動(dòng)的問(wèn)題。本文將對(duì)下游圓柱同時(shí)發(fā)生橫流向和順流向雙自由度渦激振動(dòng)的問(wèn)題進(jìn)行研究。為便于與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，本文選擇與該文相同的雷諾數(shù)Re=150、阻尼比ξ=0.007以及圓心間距比LX/D=3.0、5.0和8.0，在約化速度Ur= 3.0 ～ 12.0的范圍內(nèi)對(duì)下游圓柱的兩自由度渦激振動(dòng)響應(yīng)特性開(kāi)展研究。同時(shí)，本文進(jìn)一步以m*= 5.0、10.0、20.0為例，研究質(zhì)量比對(duì)下游圓柱發(fā)生渦激振動(dòng)時(shí)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

圖2 單圓柱及下游圓柱橫流向最大振幅Amax /D隨約化速度Ur的變化(與文獻(xiàn)[8]的對(duì)比，Re=150，m* = 2.0，ξ = 0.007)

3.1 圓心間距比的影響

根據(jù)固定串聯(lián)圓柱的不同渦脫落模態(tài)[16-17]，本文選擇了三個(gè)代表性的圓心間距比，LX/D= 3.0、5.0和8.0，并與相同雷諾數(shù)Re=150下的單圓柱(Isolated)渦激振動(dòng)情況進(jìn)行了比較，分析了圓柱的位移響應(yīng)、振動(dòng)頻率、受力特性、尾渦脫落模式及運(yùn)動(dòng)軌跡的情況。

3.1.1 下游圓柱的位移及振動(dòng)頻率

圖3(a)以質(zhì)量比m*=10.0、阻尼比ξ=0.007為例，給出不同圓心間距下，下游圓柱橫流向位移均方根YRMS/D隨Ur的變化。從圖中可以看出，當(dāng)Lx/D=3.0時(shí)，其橫流向位移響應(yīng)曲線同單圓柱類(lèi)似，只有一個(gè)峰，而Lx/D=5.0和8.0的YRMS/D曲線均出現(xiàn)了兩個(gè)峰值。在Lx/D=3.0時(shí)，下游圓柱的最大位移均方根比單圓柱的情況增大近50%，而對(duì)于Lx/D=5.0和8.0，最大位移均方根約等于單圓柱的位移。從圖3(a)中還可以看出，在Ur> 7.0的高約化速度范圍內(nèi)，與單圓柱的位移響應(yīng)相比，下游圓柱的橫流向位移依然維持在比較高的水平，并且Lx/D=5.0和8.0的位移均方根在幅值和變化趨勢(shì)上都很接近，二者均比Lx/D=3.0所對(duì)應(yīng)的位移明顯偏大。

圖3 不同圓心間距比LX / D下，下游圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)特性隨約化速度Ur的變化關(guān)系(Re = 150，m* = 10.0，ξ = 0.007)

由圖3(b)中下游圓柱的順流向平均位移XM/D隨約化速度Ur的變化曲線可以看到，隨著Ur的增大，下游圓柱的順流向平均位移也逐漸增大。同時(shí)，由于受到上游固定圓柱遮蔽效應(yīng)的影響，下游圓柱的順流向平均位移在各圓心間距下都小于單圓柱的情況。對(duì)于Lx/D=3.0的情況，在Ur≤5.5時(shí)，下游圓柱的XM/D出現(xiàn)負(fù)值，即下游圓柱向上游偏移，當(dāng)發(fā)生鎖定時(shí)，XM/D明顯增大，在Ur>7.0后，XM/D基本隨Ur呈線性增加。對(duì)于Lx/D=5.0和8.0的情況，順流向平均位移與橫流向位移均方根的變化趨勢(shì)類(lèi)似，在發(fā)生鎖定前各出現(xiàn)一個(gè)次峰，鎖定后，二者接近重合，并且隨著Ur的增大基本呈線性增加，在量值上與Lx/D=3.0的情況接近。

圖4給出了不同圓心間距比下，下游圓柱相對(duì)振動(dòng)頻率f/fn隨Ur的變化關(guān)系及其與單圓柱情況的比較。對(duì)于圓柱結(jié)構(gòu)的渦激振動(dòng)問(wèn)題，當(dāng)圓柱的振動(dòng)頻率與固有頻率接近時(shí)(即f/fn趨近于1.0，以下以0.95≤f/fn≤1.05為界)，一般可認(rèn)為發(fā)生鎖定[18]。圖4表明，單圓柱的鎖定區(qū)間約為5.0 ≤Ur≤6.5，而對(duì)于串聯(lián)雙圓柱的情況，在Lx/D=3.0時(shí)，下游圓柱的鎖定區(qū)間為6.0≤Ur≤7.0，當(dāng)Lx/D=5.0和8.0時(shí)，在本文考慮的約化速度范圍內(nèi)，鎖定區(qū)間分別為 6.0≤Ur≤12.0和6.5≤Ur≤12.0。圖4關(guān)于鎖定區(qū)間的結(jié)果與圖3 (a)的位移響應(yīng)呈現(xiàn)出良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即圓柱振動(dòng)的鎖定區(qū)間對(duì)應(yīng)著橫流向位移比較大的區(qū)間。從圖4中同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，隨著Lx/D的增大，開(kāi)始發(fā)生鎖定的臨界約化速度也呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)，并且對(duì)于Lx/D=5.0和8.0的情況，鎖定區(qū)間明顯大于單圓柱及Lx/D=3.0的情況。值得注意的是，在Lx/D=5.0和8.0時(shí)，橫流向位移的第一個(gè)峰值出現(xiàn)在鎖定發(fā)生之前。

圖4 不同圓心間距比LX / D下，下游圓柱橫流向相對(duì)振動(dòng)頻率f/fn隨約化速度Ur的變化關(guān)系(Re = 150，m* = 10.0，ξ = 0.007)

3.1.2 下游圓柱的受力特性

圖5 不同圓心間距比LX / D下，下游圓柱受力特性隨約化速度Ur的變化關(guān)系(Re=150，m*=10.0，ξ= 0.007)

3.1.3 尾渦脫落模式

圖6分析了Lx/D及Ur對(duì)尾渦脫落模式的影響作用。對(duì)于Lx/D=3.0的串聯(lián)雙圓柱，數(shù)值結(jié)果表明，在Ur<6.0的范圍內(nèi)，上游固定圓柱后方?jīng)]有渦旋脫落，圓柱系統(tǒng)尾流區(qū)內(nèi)的旋渦以圖6(a1)和6(a2)的模式進(jìn)行整體脫落；當(dāng)Ur≥6.0，即開(kāi)始發(fā)生鎖定后，上游圓柱后方開(kāi)始出現(xiàn)渦脫落，如圖6(a3)所示；隨著Ur的進(jìn)一步增大，下游圓柱不再發(fā)生鎖定時(shí)，其尾渦脫落模式(參見(jiàn)圖6(a4))相對(duì)鎖定區(qū)內(nèi)的圖6(a3)未見(jiàn)明顯變化。當(dāng)Lx/D=5.0時(shí)，在Ur<5.5的范圍內(nèi)，典型尾渦脫落模式如圖6(b1)所示，上游固定圓柱后方發(fā)生交替的渦旋脫落，而下游圓柱的尾渦則整齊地排成兩排；當(dāng)Ur=5.5時(shí)，尾渦模式如圖6(b2)所示，整體上與圖6(a1)及6(a2)的情況類(lèi)似；當(dāng)Ur≥6.0后，尾渦模式如圖6(b3)和6(b4)所示，上、下游圓柱尾流區(qū)內(nèi)分別可見(jiàn)旋渦的脫落。從前文的圖3和圖5中看到，在Lx/D=5.0，Ur=5.5的條件下，其位移和受力會(huì)突然變小，這正是由于當(dāng)Ur=5.5時(shí)，尾渦脫落模式的突然改變所致。對(duì)于Lx/D=8.0，由于圓柱間距比較大，隨著Ur的變化，上下游圓柱的尾流區(qū)內(nèi)始終同時(shí)存在旋渦的脫落，參見(jiàn)圖6(c1)-(c4)，上游圓柱脫落的渦旋經(jīng)充分發(fā)展后，與下游圓柱的尾渦發(fā)生更為明顯的干涉作用。

3.1.4 下游圓柱的運(yùn)動(dòng)軌跡

為說(shuō)明下游圓柱在x和y兩個(gè)自由度方向運(yùn)動(dòng)的相互影響作用，圖7給出了不同圓心間距比和約化速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡。其中，圖7(a1)、圖7(a2)、圖7(b1)和圖7(c1)中右下角分別給出了放大后的軌跡曲線。從圖7(a1)-(a4)中可以看到，在相同的圓心間距比Lx/D=3.0下，隨著Ur的增大，下游圓柱的運(yùn)動(dòng)軌跡始終是“8”字形的封閉曲線。而對(duì)于Lx/D=5.0和8.0，當(dāng)Ur≤5.0時(shí)，下游圓柱的運(yùn)動(dòng)軌跡類(lèi)似于Lx/D=3.0的情況，也為“8”字形。當(dāng)Ur>5.0后，圓柱的軌跡則變?yōu)椴环忾]的且不規(guī)則的曲線，如圖7(b3)-(b4)及7(c3)-(c4)所示。這說(shuō)明圓心間距比和約化速度對(duì)下游圓柱的運(yùn)動(dòng)有明顯的影響。當(dāng)Lx/D比較小時(shí)，下游圓柱在兩自由度方向上運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性并不隨約化速度有明顯的變化。而當(dāng)Lx/D較大時(shí)，Ur> 5.0后，圓柱在x和y方向運(yùn)動(dòng)的相互影響作用則由簡(jiǎn)單變得復(fù)雜。

圖6 不同圓心間距比Lx /D及約化速度Ur下的尾渦脫落模式(Re = 150，m*=10.0，ξ=0.007)

圖7 不同圓心間距比Lx / D及約化速度Ur下下游圓柱的運(yùn)動(dòng)軌跡(Re=150，m* = 10.0，ξ = 0.007)

3.2 質(zhì)量比對(duì)下游圓柱渦激振動(dòng)的影響

質(zhì)量比是圓柱結(jié)構(gòu)渦激振動(dòng)響應(yīng)的重要影響因素之一，但對(duì)于多圓柱問(wèn)題，相對(duì)于前述的間隙比和約化速度，人們對(duì)質(zhì)量比的影響作用還缺乏細(xì)致的研究和足夠的了解。在此，本文將以Lx/D=5.0為例，考慮三種不同的質(zhì)量比m*= 5.0、10.0和20.0，對(duì)這一問(wèn)題開(kāi)展進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算，分析質(zhì)量比對(duì)圓柱的位移響應(yīng)、振動(dòng)頻率、鎖定區(qū)間、受力特性、尾渦脫落模式及運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

3.2.1 下游圓柱的位移及振動(dòng)頻率

圖8首先給出了下游圓柱橫流向相對(duì)振動(dòng)頻率f/fn隨約化速度Ur的變化情況。從圖中可以看出，在本文所考慮的參數(shù)范圍內(nèi)，質(zhì)量比對(duì)鎖定區(qū)間的影響作用不大，三種質(zhì)量比下，鎖定區(qū)間所對(duì)應(yīng)的約化速度范圍均為6.0≤Ur≤12.0。

圖9給出了不同質(zhì)量比下，下游圓柱的振動(dòng)響應(yīng)隨約化速度的變化情況。圖9(a)的結(jié)果表明，在鎖定區(qū)間內(nèi)，下游圓柱的橫流向位移均方根總體上隨約化速度的增大而逐漸減小。同時(shí)，在相同Ur下，m*越小，YRMS/D越大。而在未發(fā)生鎖定的低約化速度范圍內(nèi)，在m*=20.0的條件下，YRMS/D隨著Ur的增大持續(xù)增大，直到發(fā)生鎖定時(shí)達(dá)到極值；對(duì)于相對(duì)較小的質(zhì)量比m*=5.0和10.0，二者的YRMS/D在發(fā)生鎖定前均出現(xiàn)跳躍。進(jìn)一步的流場(chǎng)分析結(jié)果表明，m*=5.0，Ur=4.5和m*=10.0，Ur=5.5兩個(gè)跳躍點(diǎn)均由尾渦脫落模式的改變所致，這說(shuō)明質(zhì)量比的變化也會(huì)對(duì)渦激振動(dòng)過(guò)程中的流動(dòng)模式和位移響應(yīng)產(chǎn)生影響作用。

圖9(b)考察了下游圓柱順流向平均位移XM/D隨Ur的變化情況。從圖中可以看出，順流向平均位移總體上均隨著Ur的增大呈上升趨勢(shì)，質(zhì)量比越大，圓柱向下游偏移的平均位移越小。對(duì)于m*=5.0和10.0，XM/D也分別在Ur=4.5和5.5處發(fā)生跳躍，這與圖9(a)的情況類(lèi)似。

值得說(shuō)明的是，在m*=5.0和20.0的情況下，相對(duì)于m*=10.0，下游圓柱在x,y兩個(gè)方向的聯(lián)合位移形態(tài)沒(méi)有本質(zhì)性的改變，與圖7(b1)-(b4)所給出的運(yùn)動(dòng)形式在總體上基本一致。這表明，在本文所考查的參數(shù)范圍內(nèi)，質(zhì)量比對(duì)下游圓柱縱向-橫向運(yùn)動(dòng)的相干性的影響作用有限。

圖8 不同質(zhì)量比m*下，下游圓柱橫流向相對(duì)振動(dòng)頻率f / fn隨約化速度Ur的變化關(guān)系(Re = 150，Lx / D = 5.0，ξ = 0.007)

圖9 不同質(zhì)量比m*下，下游圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)特性隨約化速度Ur的變化關(guān)系(Re =150，Lx / D = 5.0，ξ = 0.007)

3.2.2 下游圓柱的受力特性

圖10 不同質(zhì)量比m*下，下游圓柱受力特性隨約化速度Ur的變化關(guān)系(Re=150，Lx/D=5.0，ξ=0.007)

4 結(jié) 論

本文利用迎風(fēng)有限元數(shù)值方法對(duì)不可壓縮粘性流體的Navier-Stokes方程進(jìn)行了求解，并結(jié)合ALE動(dòng)網(wǎng)格方法，對(duì)Re=150條件下，串聯(lián)雙圓柱的渦激振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了二維數(shù)值分析。其中，上游圓柱固定不動(dòng)，下游圓柱在彈簧和阻尼約束下允許同時(shí)發(fā)生順流向和橫流向的運(yùn)動(dòng)。在對(duì)數(shù)值模型的可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究了兩等直徑圓柱圓心間距、質(zhì)量比以及約化速度對(duì)下游圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響作用，包括位移響應(yīng)、振動(dòng)頻率特征、鎖定區(qū)間、流體作用力、尾渦模式以及運(yùn)動(dòng)軌跡等方面。數(shù)值結(jié)果表明，在本文的計(jì)算范圍內(nèi)，隨著兩圓柱間相對(duì)圓心間距Lx/D的增大，下游圓柱開(kāi)始發(fā)生鎖定時(shí)對(duì)應(yīng)的約化速度增大，在較大的間距比下(Lx/D=5.0和8.0)，鎖定區(qū)間較單圓柱及小間距情況(Lx/D=3.0)明顯變寬。在Lx/D=3.0的小間距下，下游圓柱的橫流向振動(dòng)位移可達(dá)到單圓柱情況下的1.5倍，同時(shí)下游圓柱的順流平均位移出現(xiàn)負(fù)值，即下游圓柱的平衡位置向上游圓柱移動(dòng)。數(shù)值結(jié)果也表明，隨著約化速度和間距比的變化，串聯(lián)圓柱的尾渦模式會(huì)發(fā)生顯著改變，進(jìn)而深刻影響圓柱的受力和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。本文還以Lx/D= 5.0為典型間距，研究了質(zhì)量比對(duì)下游圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)和受力特性的影響。結(jié)果表明，質(zhì)量比對(duì)鎖定區(qū)間的影響不明顯，但當(dāng)鎖定發(fā)生時(shí)，在相同約化速度下，隨著質(zhì)量比的增大，下游圓柱的橫流向運(yùn)動(dòng)位移響應(yīng)會(huì)有所減小。進(jìn)一步的流場(chǎng)分析表明，質(zhì)量比的變化也會(huì)導(dǎo)致尾渦脫落模式的改變，進(jìn)而影響到圓柱的受力和運(yùn)動(dòng)特性，這在進(jìn)入鎖定區(qū)間前非常明顯。

目前關(guān)于兩自由度渦激振動(dòng)問(wèn)題的研究，通常固定雷諾數(shù)，考慮運(yùn)動(dòng)響應(yīng)等對(duì)約化速度的依賴(lài)關(guān)系。但對(duì)實(shí)際問(wèn)題而言，往往是圓柱結(jié)構(gòu)形式和流體物性一定，來(lái)流流速發(fā)生改變，此時(shí)雷諾數(shù)和約化速度同時(shí)發(fā)生變化。因此，固定雷諾數(shù)而僅改變約化速度的研究方法不能滿(mǎn)足全面了解渦激振動(dòng)特性的需要，這是在以后的研究工作中需要加以關(guān)注的問(wèn)題。另一方面，隨著雷諾數(shù)的不斷增加，二維模型將不再適用，需要開(kāi)展三維數(shù)值計(jì)算。本文的計(jì)算結(jié)果也表明，即便是在簡(jiǎn)單的二維低雷諾數(shù)條件下，約化速度的微小變化也會(huì)引起渦激振動(dòng)響應(yīng)特性的劇烈改變，這就要求采用很小的約化速度增量來(lái)開(kāi)展細(xì)致的數(shù)值分析工作，這些都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的激增，對(duì)現(xiàn)有的計(jì)算條件提出了較大的挑戰(zhàn)。此外，在高雷諾數(shù)條件下，直接數(shù)值模擬(Direct Numerical Simulation)在理論上是可靠的，但計(jì)算量巨大。采用湍流模型雖可緩解計(jì)算量的壓力，但湍流模式本身的適用性問(wèn)題至今仍是全人類(lèi)共同面對(duì)科學(xué)難題之一。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Khalak A，Williamson C H K.Motions,forces and mode transitions in vortex-induced vibrations at low mass-damping [J].Journal of Fluids and Structures，1999，13(7-8)：813-851.

[2]Feng C C.The measurement of vortex induced effects in flow past stationary and oscillating circular and D-section cylinders [D].Vancouver：University of British Columbia，1968.

[3]Williamson C H K，Roshko A.Vortex formation in the wake of an oscillating cylinder [J].Journal of Fluids and Structures，1988，2(4)：355-381.

[4]何長(zhǎng)江，段忠東.二維圓柱渦激振動(dòng)的數(shù)值模擬 [J].海洋工程，2008，26(1)：57-63.

HE Chang-jiang，DUAN Zhong-dong.Numerical simulation of vortex-induced vibration on 2D circular cylinders [J].The Ocean Engineering，2008，26(1)：57-63.

[5]方平治，顧 明.圓柱兩自由度渦激振動(dòng)的數(shù)值模擬研究 [J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，36(3)：295-298.

FANG Ping-zhi，GU Ming.Numerical simulation for vortex-induced vibration of circular cylinder with two degree of freedoms [J].Journal of Tongji University (Nature Science)，2008，36(3)：295-298.

[6]唐國(guó)強(qiáng).立管渦激振動(dòng)數(shù)值模擬方法及物理模型實(shí)驗(yàn) [D].大連：大連理工大學(xué)，2011.

[7]Brika D，Laneville A.The flow interaction between a stationary cylinder and a downstream flexible cylinder [J].Journal of Fluids and Structures，1999，13(5)：579-606.

[8]Carmo B S，Sherwin S J，Bearman P W，et al.Flow-induced vibration of a circular cylinder subjected to wake interference at low Reynolds number [J].Journal of Fluids and Structures，2011，27(4)：503-522.

[9]Bao Y，Zhou D，Tu J H.Flow interference between a stationary cylinder and an elastically mounted cylinder arranged in proximity [J].Journal of Fluids and Structures.2011，27(8)：1425-1446.

[10]Vandiver J K，Jong J Y.The relationship between in-line and cross-flow vortex-induced vibration of cylinders [J].Journal of Fluids and structures，1987，1(4)：381-399.

[11]陳文曲，任安祿，李廣望.串聯(lián)雙圓柱繞流下游圓柱兩自由度渦致振動(dòng)研究 [J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(6)：732-738.

CHEN Wen-qu，REN An-lu，LI Guang-wang.The Numerical study of two-degree-of -freedom vortex-induced vibration of the downstream cylinder in tandem arrangement [J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2004，36(6)：732-738.

[12]Jiang C B，Kawahara M.The analysis of unsteady incompressible flows by a three-step finite element method [J].International Journal for Numerical Methods in Fluids，1993，16(9)：793-811.

[13]Lu L，Qin J M，Teng B，et al.Numerical investigations of life suppression by feedback rotary oscillation of circular cylinder at low Reynolds number [J].Physics of Fluids，2011，23(3)：033601.

[14]Lu L，Cheng L， Teng B，et al.Numerical investigation of fluid resonance in two narrow gaps of three identical rectangular structures [J].Applied Ocean Research，2010，32(2)：177-190.

[15]呂 林.海洋工程中小尺度物體的相關(guān)水動(dòng)力數(shù)值計(jì)算 [D].大連：大連理工大學(xué)，2006.

[16]Zdravkovich M M.The effects of interference between circular cylinders in cross flow [J].Journal of Fluids and Structures，1987，1(2)：239-261.

[17]Carmo B S，Meneghini J R，Sherwin S J.Secondary instabilities in the flow around two circular cylinders in tandem [J].Journal of Fluid Mechanics，2010，644：395-431.

[18]Leontini J S，Stewart B E，Thompson M C，et al.Predicting vortex-induced vibration from driven oscillation results [J].Applied Mathematical Modelling，2006，30(10)：1096-1102.