林雪梅，胡勁松，劉 倩

(西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 四川 成都 610039)

在研究弱非線性離子聲波和空間帶電波的傳播時(shí)，文獻(xiàn)[1]提出了正則長(zhǎng)波(RLW)方程的對(duì)稱描述，即對(duì)稱正則長(zhǎng)波(SRLW)方程：

uxxt-ut=ρx+uux

(1)

ρt+ux=0

(2)

并給出了方程(1)、(2)的雙曲正割平方(sech2形式)孤立波解(v是速度，且v2>1)：

(3)

顯然，SRLW方程(3)式關(guān)于x和t的導(dǎo)數(shù)是對(duì)稱的，并且與描述淺水波及等離子漂移波的正則長(zhǎng)波方程非常相似[2-3]。SRLW方程(1)、(2)、(3)式也出現(xiàn)在許多其他數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域[4-6]。數(shù)值考察表明其孤立波的相互作用是非彈性的[7]，因此，SRLW方程的孤立波不是孤立子。關(guān)于SRLW方程的定解問(wèn)題的適定性及數(shù)值方法的研究也引起了廣泛關(guān)注。郭柏靈在文獻(xiàn)[8]中研究了一類廣義SRLW方程周期初值問(wèn)題解的存在性、唯一性和正則性，并得到了譜逼近解的誤差估計(jì)。文獻(xiàn)[9-16]分別用Fourier擬譜配點(diǎn)方法、擬譜方法、有限差分方法等研究了SRLW方程的初邊值問(wèn)題。

在實(shí)際問(wèn)題中，粘性耗散是不可避免的，而且與色散一樣起著十分重要的作用；因此，研究帶有耗散的對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程

uxxt-ut+βuxx=ρx+uux

(4)

ρt+ux=0

(5)

(其中β>0是耗散系數(shù))是非常有意義的。在考慮耗散時(shí)，方程(4)、(5)是反映非線性離子聲波運(yùn)動(dòng)本質(zhì)現(xiàn)象的合理模型[17]。文獻(xiàn)[17-21]分別討論了方程(4)、(5)的解的適定性和整體存在唯一性，但其解析解很難求出，于是，研究方程(4)、(5)的定解問(wèn)題的數(shù)值解就很有價(jià)值。文獻(xiàn)[22-24]分別用有限差分方法和混合有限元方法討論了一類帶有阻尼項(xiàng)的耗散對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程的初邊值問(wèn)題。

本文考慮方程(4)、(5)有如下的初始條件和邊界條件：

u(x,0)=u0(x)，ρ(x,0)=ρ0(x)，x∈[xL,xR]

(6)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，ρ(xL,t)=ρ(xR,t)=0，t∈[0,T]

(7)

不難證明，問(wèn)題(4)—(7)具有如下守恒律：

(8)

(9)

文獻(xiàn)[25-26]分別研究了初邊值問(wèn)題(4)—(7)的差分近似解，并分別對(duì)其提出了一個(gè)具有二階精度的兩層非線性差分格式和三層線性差分格式，且三層線性差分格式在數(shù)值求解時(shí)不需要迭代，計(jì)算時(shí)間比較節(jié)省,但都沒(méi)有考慮問(wèn)題本身的守恒量。本文利用文獻(xiàn)[27]處理Rosenau-RLW方程的技巧，引入加權(quán)系數(shù)θ，對(duì)問(wèn)題(4)—(7)提出了一個(gè)加權(quán)平均隱式差分格式，合理地模擬了問(wèn)題本身的2個(gè)守恒量(8)和(9)，通過(guò)適當(dāng)?shù)卣{(diào)整加權(quán)系數(shù)θ，從而使計(jì)算結(jié)果具有更高精度。

1 差分格式的守恒律和差分解的估計(jì)

對(duì)問(wèn)題(4)—(7)考慮如下的有限差分格式：

(10)

(11)

(12)

(13)

從而有

引理2[12](離散的Sobolev不等式[12])存在常數(shù)C1和C2，使得

定理1 設(shè)u0∈H1，ρ0∈L2,則差分格式(10)—(13)關(guān)于以下離散能量是守恒的，即

(14)

(15)

證明： 將(10)式與h相乘，并對(duì)j從1到J-1進(jìn)行求和，由邊界條件(13)和引理1得

(16)

將(16)式遞推可得(14)式。

同理，將(11)式與h相乘，并對(duì)j從1到J-1進(jìn)行求和，得

(17)

將(17)式遞推可得(15)式。

定理2 設(shè)u0∈H1，ρ0∈L2,則差分格式(10)—(13)的解滿足：

‖un‖≤C,‖ρn‖≤C,‖un‖∞≤C,(n=1,2,…,N).

(18)

由邊界條件(13)式，利用引理1,有

(19)

又

(20)

(21)

將(19)、(20)式代入(18)式并與(21)式作和，整理得

(22)

令

則由(22)式可得：

Bn≤Bn-1≤Bn-2≤…≤B0=C，又

所以

只要取足夠小的τ，滿足1-Cτ>0,就有

再由引理2，得

‖un‖∞≤C

2 差分格式的可解性

定理3 差分格式(10)—(13)是唯一可解的。

證明： 用數(shù)學(xué)歸納法。顯然u0,ρ0是初值條件(12)式唯一確定的，再用兩層格式[25]計(jì)算出二階精度的u1,ρ1(即u0,ρ0和u1,ρ1是被唯一確定的)。假設(shè)u0,u1,…,un和ρ0,ρ1,…,ρn是唯一可解的，現(xiàn)在考慮方程(10)和(11)中的un+1和ρn+1，

(23)

(24)

將(23)式與un+1作內(nèi)積，得

(25)

所以，(25)式即為

(26)

再將(24)式與ρn+1作內(nèi)積，得

(27)

將(26)式與(27)式相加，得

也就是說(shuō)，方程(23)和(24)僅有零解。因此，差分格式(10)—(13)中的un+1和ρn+1是唯一可解的。證畢。

3 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

(28)

(29)

定理4 設(shè)u0∈H1，ρ0∈L2,則差分格式(10)—(13)的解un以‖·‖∞，ρn以‖·‖L2收斂到初邊值問(wèn)題(4)—(7)的解，且收斂階為O(τ2+h2)。

證明： 用(28)式減去(10)式，(29)式減去(11)式，并記：

(30)

(31)

(32)

又因?yàn)?/p>

(33)

由引理1有

(34)

再用類似于(20)式的推導(dǎo)過(guò)程，有

(35)

由(33)—(35)式，得

由定理3以及Schwarz不等式，得

(36)

又

(37)

(38)

(39)

將(36)—(39)式代入(32)式,得

(40)

(41)

將(40)式與(41)式相加，有

(42)

令

‖ηn+1‖2+‖ηn‖2

則(42)式變?yōu)?/p>

Dn-Dn-1≤2τ‖rn‖2+2τ‖sn‖2+Cτ(Dn+Dn-1)

即

(1-Cτ)(Dn-Dn-1)≤2τ‖rn‖2+

2τ‖sn‖2+2CτDn-1

只要取足夠小的τ，滿足1-Cτ=δ>0,就有

(Dn-Dn-1)≤Cτ‖rn‖2+Cτ‖sn‖2+

CτDn-1

(43)

對(duì)(43)式從1到n求和，得

先用兩層格式[25]計(jì)算出具有二階精度的u1和ρ1，使之滿足D0≤O(τ2+h2)2，由

由引理3可得

Dn≤O(τ2+h2)2

即

再有引理2有

‖en‖∞≤O(τ2+h2)

證畢。

與定理4類似，可以證明：

定理5 在定理4的條件下，則差分格式(10)—(13)的解un以‖·‖∞，ρn以‖·‖L2穩(wěn)定。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在t=0時(shí)，由于耗散還沒(méi)有產(chǎn)生，所以在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們把問(wèn)題(4)—(7)中的初值函數(shù)取為SRLW方程(1)、(2)的初值函數(shù)(t=0時(shí))：

表1 τ=h=0.1時(shí)，就不同參數(shù)θ，在幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差

表2 τ=h=0.05時(shí)，就不同參數(shù)θ，在幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差

表3 τ=h=0.025時(shí)，就不同參數(shù)θ，在幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差

表4 在不同時(shí)刻對(duì)守恒量(8)和(9)的數(shù)值模擬和

表5 在不同時(shí)刻對(duì)守恒量(8)和(9)的數(shù)值模擬和

從數(shù)值算例可以看出，本文格式明顯具有二階精度，且適當(dāng)?shù)卣{(diào)整加權(quán)系數(shù)θ，可以大幅度提高計(jì)算的精度。另外，差分格式也合理地模擬了問(wèn)題本身的2個(gè)守恒量，故本文對(duì)初邊值問(wèn)題(4)—(7)提出的差分格式(10)—(13)是有效的。

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