魏艷艷，陳子春,徐福成

(西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610039)

1986年，保加利亞學(xué)者Atanassov[1]對模糊集進(jìn)行了拓展，把僅考慮隸屬度的模糊集推廣到同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個方面信息的直覺模糊集[2]，它在處理模糊性和不確定性等實際問題方面更具靈活性和實用性。目前直覺模糊集理論已被廣泛應(yīng)用于決策、模式識別、機(jī)器學(xué)習(xí)、醫(yī)療診斷、市場預(yù)測等領(lǐng)域，取得了豐碩的研究成果[3-13]。由于直覺模糊集的隸屬度與非隸屬度有時很難用精確的數(shù)值來表達(dá)，Atanassov和Gargov又對直覺模糊集進(jìn)行推廣，提出了區(qū)間直覺模糊集[3],同時定義了區(qū)間直覺模糊集的一些基本運算法則。文獻(xiàn)[4]定義了區(qū)間直覺模糊數(shù)概念，提出了區(qū)間直覺模糊加權(quán)平均算子與幾何算子，并通過引入?yún)^(qū)間直覺模糊的得分函數(shù)和精確函數(shù)，給出了一種基于區(qū)間直覺模糊信息的決策方法。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[5-6]給出了區(qū)間直覺模糊加權(quán)與有序加權(quán)平均算子及混合平均算子、加權(quán)與有序加權(quán)幾何算子及混合幾何算子等。在區(qū)間直覺模糊信息環(huán)境下進(jìn)行多屬性決策問題研究時，區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序是前提。文獻(xiàn)[5]基于得分函數(shù)和精確函數(shù)給出了區(qū)間直覺模糊數(shù)的一種排列方法。最近，文獻(xiàn)[7]通過再引入隸屬不確定性指標(biāo)和猶豫不確定性指標(biāo)，給出了區(qū)間直覺模糊數(shù)的一種全序排列方法。

直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)與精確函數(shù)分別表達(dá)的是隸屬度與非隸屬度的代數(shù)和與差，它們是一個確定的值。 區(qū)間直覺模糊數(shù)的隸屬度與非隸屬度不是一個確定值，而是落在某個區(qū)間,反映了隸屬度與非隸屬度的不確定性。 當(dāng)用一些確定指標(biāo)值, 比如得分函數(shù)、精確函數(shù)、隸屬不確定性指標(biāo)和猶豫不確定性指標(biāo)對區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序時，并不能夠體現(xiàn)區(qū)間直覺模糊數(shù)的這種不確定性；因此，本文提出一種用區(qū)間數(shù)表達(dá)的得分函數(shù)和精確函數(shù)定義，然后基于可能度引入?yún)^(qū)間直覺模糊數(shù)的一種新的排序方法，并基于這種新的排序，給出了區(qū)間直覺模糊信息環(huán)境下的多屬性決策方法。

1 區(qū)間直覺模糊集的基本知識

為了便于討論，下面介紹區(qū)間直覺模糊集的基本定義與運算性質(zhì)。

定義1[2]設(shè)X為一非空論域，一個X上的直覺模糊集A定義為

A={|x∈X}

其中：函數(shù)μA:X→[0,1]與υA:X→[0,1]滿足：0≤μA(x)+υA(x)≤1,?x∈X；μA(x)和υA(x)分別表示元素x屬于直覺模糊集A的隸屬度和非隸屬度。πA(x)=1-μA(x)-υA(x)，通常稱為x屬于A的直覺模糊指標(biāo)，表示x屬于A的不確定程度。

Xu等在文獻(xiàn)[8]中稱(μ,υ)為直覺模糊數(shù)，其中μ∈[0,1],υ∈[0,1],μ+υ≤1，給出了直覺模糊數(shù)α=(μ,υ)的得分函數(shù)S(α)=μ-υ和精確函數(shù)H(α)=μ+υ，并利用得分函數(shù)和精確函數(shù)給出了直覺模糊數(shù)的排序方法。

由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性，隸屬度與非隸屬度的值往往難以用精確的實數(shù)值來表達(dá)，而用區(qū)間數(shù)形式表達(dá)則比較適合；因此，Atanassov等[1-3]又對直覺模糊集進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了區(qū)間直覺模糊概念。

定義2[3]設(shè)X為一非空論域，D[0,1]是[0,1]區(qū)間中所有閉子區(qū)間之集合。一個X上的區(qū)間直覺模糊集A定義為

為了利用方便，徐澤水等在文獻(xiàn)[4-6]中稱序?qū)?[a,b],[c,d])是所謂的區(qū)間直覺模糊數(shù)，其中[a,b]?[0,1]，[c,d]?[0,1],b+d≤1，并給出了區(qū)間直覺模糊數(shù)的運算法則與集成方法，其中集成方法有區(qū)間直覺模糊加權(quán)與有序加權(quán)算術(shù)平均算子及混合平均算子、加權(quán)與有序加權(quán)幾何算子及混合幾何算子等，本文主要用到區(qū)間直覺模糊數(shù)的加權(quán)平均算子和加權(quán)幾何算子。

為了對區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行比較，以便得到滿足要求的最佳方案，徐澤水等在文獻(xiàn)[4]中給出區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)的定義。

2 區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)與精確函數(shù)

其中，μ是R×R上的面積測度。

根據(jù)定義，容易得到：

基于得分函數(shù)可能度和精確函數(shù)可能度，下面給出2個區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序方法。

其中pij≥0,pij+pji=1,pii=0.5,i,j=1,2,…,n。稱p是得分函數(shù)互補矩陣。

其中：qij≥0,qij+qji=1,qii=0.5,i,j=1,2,…,n。稱q是精確函數(shù)互補矩陣。

運用定義14給出的區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序方法，下面給出一種基于加權(quán)平均算子和加權(quán)幾何算子下的區(qū)間直覺模糊多屬性決策法，具體如下：

步驟1 利用區(qū)間直覺模糊數(shù)的加權(quán)平均算子

或加權(quán)幾何算子

3 實例分析

下面利用一個投資決策問題來說明我們提出的方法的可行性和有效性。

假設(shè)一個基金經(jīng)理在一個財富管理公司評估4個投資機(jī)會，X={x1,x2,x3,x4}。選擇每種投資機(jī)會都有4個屬性：冒險(a1)、增長(a2)、政治問題(a3)和環(huán)境因素(a4)，基金經(jīng)理提供了各投資機(jī)會在各屬性下的評估信息，經(jīng)過統(tǒng)計處理后可表示為區(qū)間直覺模糊數(shù)，決策矩陣[9]如下

這個矩陣中的每個元素都是一個區(qū)間直覺模糊數(shù)，代表了基金經(jīng)理評估一種替代方案的隸屬度和非隸屬度。例如，矩陣的左上角的元素([0.42,0.48],[0.4,0.5])反映了基金經(jīng)理認(rèn)為在冒險(a1)遠(yuǎn)景下選擇投資x1是優(yōu)越的概率為42%～48%，不優(yōu)越程度在40%～50%之間。假設(shè)基金經(jīng)理提供出了各屬性的權(quán)重信息：ω1=0.150 0(冒險)，ω2=0.175 0(增長)，ω3=0.375 0(政治問題)，ω4=0.300 0(環(huán)境因素)。下面根據(jù)本文所給出的區(qū)間直覺模糊信息環(huán)境下的多屬性決策方法計算出4種投資機(jī)會的排序。

步驟4求得

因此最終排序為x3?x4?x2?x1。

對于這個投資問題，利用加權(quán)平均算子得到的排序為x3?x4?x2?x1，利用幾何算子得到的排序為x4?x3?x2?x1，因此總的來說x3和x4是首要選擇，x1和x2作為次要選擇。

4 結(jié)束語

本文對模糊數(shù)問題進(jìn)行了研究，為區(qū)間直覺模糊數(shù)提出了一種新的排序方法，該方法利用得分函數(shù)區(qū)間和精確函數(shù)區(qū)間求出得分函數(shù)可能度和精確函數(shù)可能度，然后對區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序。本文還給出了基于直覺模糊信息的一種新的決策方法，將區(qū)間直覺模糊決策矩陣轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)的決策矩陣，再運用得分函數(shù)區(qū)間的可能度求和得到排序。

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