彭富明，汪正杰，張 雨，王玉國，吳 凱

（1.南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，南京210094；2.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京211167）

用混沌參數(shù)甄別車輛懸架振動信號的周期性

彭富明1，汪正杰1，張 雨2，王玉國2，吳 凱1

（1.南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，南京210094；2.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京211167）

懸架—車輪系統(tǒng)隔振參數(shù)選擇的正確與否取決于系統(tǒng)振動信號周期性的好壞，而單純用肉眼無法有效判別振動信號周期性的差別。用Grassberger-Procaccia（G-P）算法和小數(shù)據(jù)量法合理選擇嵌入維數(shù)、延遲時間和序列平均周期等重要參數(shù)，并且在對數(shù)曲線圖中準(zhǔn)確劃定無標(biāo)度區(qū)，以得到比較客觀的關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)。結(jié)果表明：采用關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)作為判據(jù)，可以對懸架—車輪系統(tǒng)振動信號作周期性甄別，從而更準(zhǔn)確地評價汽車懸架隔振性能。

振動與波；懸架—車輪系統(tǒng)；周期性甄別；關(guān)聯(lián)維；Lyapunov指數(shù)；汽車隔振參數(shù)

運用混沌特征參數(shù)描述車輛懸架系統(tǒng)的振動響應(yīng)信號，是基于非穩(wěn)態(tài)非線性動力學(xué)系統(tǒng)的混沌性質(zhì)。關(guān)聯(lián)維數(shù)D2能夠定量地描述事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，最大Lyapunov指數(shù)λmax是刻畫奇異吸引子性質(zhì)的一種測度和統(tǒng)計量，是針對系統(tǒng)的運動軌道而言的。它們反映了混沌系統(tǒng)中奇異吸引子的整體變化情況，適合于描述屬于非穩(wěn)態(tài)非線性動力學(xué)系統(tǒng)的車輛懸架系統(tǒng)的混沌性質(zhì)。本文對懸架—車輪系統(tǒng)的振動信號進(jìn)行相空間重構(gòu)，計算其關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)來甄別振動信號周期性好壞，從而引入了一類新的車輛懸架系統(tǒng)振動信號周期性判據(jù)。

1 甄別懸架—車輪系統(tǒng)振動響應(yīng)信號周期性的原理

對懸架-車輪系統(tǒng)振動響應(yīng)信號進(jìn)行計算處理，能夠得到懸架隔振參數(shù)族，包括阻尼比、懸架效率、左-右輪懸架效率差、固有頻率。

計算懸架隔振參數(shù)的正確性有賴于對懸架-車輪系統(tǒng)振動響應(yīng)信號計算某超調(diào)量下阻尼比ξ的準(zhǔn)確性，其前提是懸架—車輪系統(tǒng)屬于2階線性欠阻尼系統(tǒng)[3]，即懸架阻尼比ξ＜1。當(dāng)對該系統(tǒng)施以擬脈沖激勵后，其振動響應(yīng)信號的理想形態(tài)以有阻尼固定頻率做產(chǎn)生等周期衰減振動，如圖1所示。但是對于實際的懸架—車輪系統(tǒng)，汽車懸架的剛度和阻尼往往設(shè)計成非線性，以適應(yīng)不同的路況和載重量，所以上述前提并不存在。因此，施以擬脈沖激勵后，振動響應(yīng)信號實際上具有變周期衰減振動的形態(tài)，振動過程中振幅越來越小，周期也越來越小。

為了計算某超調(diào)量下的阻尼比ξ，可采用關(guān)聯(lián)維D2和最大Lyapunov指數(shù)λmax作為判據(jù)，對懸架—車輪系統(tǒng)振動響應(yīng)信號作周期性甄別。根據(jù)混沌理論[4,5]，對周期性強的信號，D2近于1，而λmax較??；反之，對于周期性弱的信號，D2遠(yuǎn)離1，而λmax較大。

2 基于關(guān)聯(lián)維與最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)行周期性判別

2.1 G-P算法

G-P算法[6,7]是Gtassberger和Procaccia提出的一種比較普遍的求取系統(tǒng)關(guān)聯(lián)維的方法，其中的關(guān)聯(lián)維指的是吸引子真正維數(shù)的估計值。相空間重構(gòu)之后，定義關(guān)聯(lián)積分函數(shù)為

式（1）中：ri，j=d(Xi-Xj)=‖Xi-Xj‖，即任選一個基準(zhǔn)向量Xi，計算Xi到其余各點之間的距離，對所有Xi(i=1，2，...，N）重復(fù)這一過程，得到所有點對的間距；r為無標(biāo)度觀測尺度；θ(u)為Heaviside函數(shù)，即

圖1 懸架—車輪系統(tǒng)振動理想響應(yīng)信號

關(guān)聯(lián)積分函數(shù)表示當(dāng)變量r一定時，重構(gòu)相空間X中的所有點對之間距離小于r的點個數(shù)占所有點的多少。適當(dāng)?shù)剡x取r，在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)存在D為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

計算關(guān)聯(lián)積分后繪制l nCm(r)-l n(r)曲線，對其用直線擬合后的直線斜率即為相空間中奇異吸引子的關(guān)聯(lián)維。

混沌系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)維D2為一個正的分?jǐn)?shù)。不同的D2值對應(yīng)不同的系統(tǒng)狀態(tài)：D2=1系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期振蕩狀態(tài)，在相空間中是一條封閉曲線；D2=2系統(tǒng)是有兩個不可約頻率的周期振蕩；D2是分?jǐn)?shù)時，系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。

2.2 小數(shù)據(jù)量方法計算最大Lyapunov指數(shù)

在重構(gòu)的相空間中，尋找每個參考點Xj的最近鄰點即

為了避免參考點Xj和最近鄰點位于同一軌線上，這里采用限制短暫分離，即要求

其中p為時間序列的平均周期，它可以通過功率譜的平均頻率的倒數(shù)估計出來。對相空間中的每個點，計算出該臨近點對的第i個離散時間步長后的

距離

假定第j個最近鄰點近似以λ1的速率指數(shù)發(fā)散，即

對其兩邊取對數(shù)，得

由(7)式可以看出，ln[dj(i)]—i曲線在一定范圍內(nèi)滿足線性關(guān)系，其曲線的斜率為λ1Δt。

因此固定i，對所有j對應(yīng)的ln[dj(i)]求平均再除以Δt，得到y(tǒng)(i)

2.3 驗證程序的正確性

根據(jù)上述關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)的算法，在MATLAB軟件中編寫了計算混沌參數(shù)的程序，對于編寫的算法程序，又采用正弦信號作為考核案例，來驗證它的準(zhǔn)確性。圖2為不同嵌入維數(shù)雙對數(shù)曲線，從圖中可以看出，最小嵌入相空間維數(shù)m從2開始，無標(biāo)度區(qū)曲線開始趨于一致，關(guān)聯(lián)維數(shù)處于穩(wěn)定狀態(tài)，故選擇m=2。圖3為最小嵌入維數(shù)為m=2時的y(i)—i曲線，無標(biāo)度區(qū)直線斜率即為最大Lyapunov指數(shù)。由程序計算得關(guān)聯(lián)維數(shù)D2=1.056 416，最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.010 3。可以看出，D2接近于1，λmax接近于0，考核結(jié)果基本符合確定的周期系統(tǒng)的特性，從而驗證了程序的正確性。

圖2 不同嵌入維數(shù)雙對數(shù)曲線圖

圖3 m=2時的y(i)—i曲線圖

3 懸架—車輪系統(tǒng)振動信號的周期性判別

3.1 懸架—車輪系統(tǒng)振動時域信號

每次人工按壓后獲得的時域波形相似，單純用肉眼無法判別出信號周期性差異。如圖4所示為懸架—車輪系統(tǒng)振動信號時域圖，圖（a）為信號周期性好的時域圖，圖（b）為信號周期性差的時域圖，兩圖形非常相似，差別不明顯，無法用肉眼判別周期性好壞。由此，可用已驗證正確的MATLAB程序計算出關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)，來判別信號周期性好壞。

3.2 參數(shù)選擇

（1）一維數(shù)據(jù)序列長度n的確定

圖4 懸架—車輪系統(tǒng)振動信號時域圖

Eckmann等人1992年曾指出計算關(guān)聯(lián)維數(shù)與所用數(shù)據(jù)的長度有關(guān)，近似為其中d為重構(gòu)吸引子的直徑，D為關(guān)聯(lián)維數(shù)D2的估計值，r為標(biāo)量。由以上所得的數(shù)據(jù)序列長度的值一般較大，在關(guān)聯(lián)維計算中，實際的數(shù)據(jù)序列長度往往受許多客觀條件的限制如數(shù)據(jù)來源的限制。所以，數(shù)據(jù)序列長度的選取須根據(jù)數(shù)據(jù)來源等具體情況和分形數(shù)值分析的需要來定。

考慮被測懸架系統(tǒng)的固有頻率上限小于25 Hz，設(shè)定采樣頻率為50 Hz，采樣點數(shù)為512點，所以采樣時間為1/50×512=10.24(s)，而施加擬脈沖激勵后汽車懸架振動過程僅需兩三秒鐘，所以數(shù)據(jù)采集卡能完全采集到懸架振動的信號全過程。而采集512個點，對于本實驗已經(jīng)足夠。

（2）時間延遲的確定

延遲時間的選取原則是讓時間序列內(nèi)元素之間的相關(guān)性減弱，同時又要保證時間序列包含的原系統(tǒng)的信息不會丟失。研究表明，當(dāng)關(guān)聯(lián)函數(shù)的值第一次為0（或近似為0）對應(yīng)的延遲時間比較合適，設(shè)定為最佳時延。經(jīng)過驗證，不同懸架—車輪振動信號樣本的延遲時間相差不大。在τ=11情況下，懸架—車輪振動信號的自相關(guān)函數(shù)圖如圖5所示。

圖5 自相關(guān)函數(shù)曲線

（3）嵌入維數(shù)m的確定

嵌入維數(shù)m是指能完全包容吸引子的最小子空間維數(shù)，它是重構(gòu)相空間的一個重要參數(shù)。當(dāng)關(guān)聯(lián)維達(dá)到飽和以前隨著相空間維數(shù)m的增加，所得到的關(guān)聯(lián)維數(shù)也在增加。取飽和時對應(yīng)的m為嵌入維。對于本實驗測得的懸架—車輪振動信號數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得出關(guān)聯(lián)維飽和時對應(yīng)的嵌入維數(shù)為6。

3.3 無標(biāo)度區(qū)的確定

3.3.1 關(guān)聯(lián)維無標(biāo)度區(qū)判定

將雙對數(shù)曲線中直線度較好的區(qū)間定義為無標(biāo)度區(qū)。一般無標(biāo)度區(qū)的確定采用肉眼判別法，簡單快速。例如圖8中無標(biāo)度區(qū)可選取[0.4，0.7]。

對于懸架—車輪振動響應(yīng)同一組信號，不同嵌入維數(shù)雙對數(shù)曲線變化圖及無標(biāo)度區(qū)，如圖6所示。圖中曲線從上到下對應(yīng)嵌入維m分別為2、4、6、…，20，依次相差2。從圖8可知：無標(biāo)度區(qū)曲線隨著m的增加趨于平行或者重合，也驗證了隨著m的增大，關(guān)聯(lián)維數(shù)趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)m為6時，雙對數(shù)曲線趨于一致，故在懸架—車輪振動數(shù)據(jù)處理時，選擇m=6。

圖6 不同嵌入維數(shù)雙對數(shù)曲線變化圖及無標(biāo)度區(qū)

3.3.2 最大Lyapunov指數(shù)無標(biāo)度區(qū)判定

前面指出，選擇曲線y(i)—i的一段線性區(qū)域，并用最小二乘法作出回歸直線，該直線的斜率就是最大Lyapunov指數(shù)λmax。考慮f=y(i)的1階導(dǎo)數(shù)

理想情況下，如果y(i)—i滿足線性關(guān)系，那么f′應(yīng)該為一常值。因此，在曲線y(i)—i最終達(dá)到飽和之前，選取曲線y(i)-y(i-1)—i隨i的變化相對較小的區(qū)域即是理想的線性區(qū)域。圖7中，圖（a）為y(i)—i曲線圖，圖（b）為y(i)的1階導(dǎo)數(shù)曲線圖。

圖7 最大Lyapunov指數(shù)

在圖7（b）中，當(dāng)i=50—150時，曲線y(i)-y(i-1)—i幾乎為一常值，說明曲線y(i)—i的斜率相對穩(wěn)定。因此，懸架—車輪振動信號的線性區(qū)域取[50，150]。

3.4 實例分析

通過加速度傳感器獲得按壓車體時懸架-車輪系統(tǒng)振動的加速度，得到8個信號樣本。用已驗證正確的matlab程序分別對8個樣本進(jìn)行計算處理，得到8組D2和λmax值。表1所示是8個樣本按計算出的D2值由大到小排序的結(jié)果。

根據(jù)混沌理論，對周期性強的信號，D2近于1，而λmax較?。环粗?，對于周期性弱的信號，D2遠(yuǎn)離1，而λmax較大。

表1 一汽大眾響應(yīng)信號樣本的D2和λmax

由表1可見：樣本1—8的λmax都接近于0，差別太小，且考慮計算結(jié)果誤差的原因，不具可比性，不能獨立反映周期性強弱，可用來輔助D2進(jìn)行判斷；而D2依次減小，差別明顯，說明周期性越來越差。我們設(shè)定D2＞0.7的樣本是合格的樣本，可依此挑選出周期性比較好的樣本，即樣本1、2、3，而剔除掉其余周期性較差的樣本。

4 結(jié)語

1）單純用肉眼無法判別懸架-車輪振動信號時域圖的周期性差異，可采用關(guān)聯(lián)維D2和最大Lyapunov指數(shù)λmax作為判據(jù)，對懸架—車輪系統(tǒng)振動響應(yīng)信號作周期性甄別；

2）合理選擇嵌入維數(shù)、數(shù)據(jù)長度、延遲時間、序列平均周期等重要參數(shù)，并且在曲線圖中準(zhǔn)確劃定無標(biāo)度區(qū)才能得到比較客觀的關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)，從而正確評價信號的周期性；

3）在曲線最終達(dá)到飽和之前，曲線[y(i)-y(i-1)]—i隨i的變化相對較小的區(qū)域即是理想的線性區(qū)域；

4）未知matlab程序是否正確的情況下，先用正弦信號進(jìn)行驗證。對正弦信號的計算結(jié)果表明，編寫的matlab程序是正確可行的；

5）本文所用周期性判別方法不只用于懸架-車輪系統(tǒng)，對其它信號也適用，具有廣泛用途。

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Distinguishing the Vibration Signal’s Periodicity of Vehicle’s Suspension System Based on Chaotic Parameters

PENG Fu-m ing1,WANG Zheng-jie1,ZHANG Yu2, WANG Yu-guo2,WU Kai1

(1.School ofAutomation,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China; 2.School of Mechanical Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China)

The correctness for calculating the anti-vibration parameters of a suspension-wheel system depends on the quality of periodicity of the vibration signals of the system.But simply using the naked eyes can not effectively distinguish the periodicity differences of the vibration signals.In this article,the Grassberger-Procaccia(G-P)algorithm w ith small data sets is adopted to reasonably choose the embedding dimension,reconstruction delay,mean period of the time series and some other important parameters.And the scale-free zone is accurately delim ited in the logarithm ic-curve diagrams to get fairly objective correlation dimension and the maximum Lyapunov exponent.The results show that the correlation dimension and the maximum Lyapunov exponent can be used as criteria to distinguish the periodicity of the vibration signals for the suspension-wheel system,so that the vibration isolation performance of automobile’s suspensions can be evaluated more accurately.

vibration and wave;suspension-wheel system;periodicity distinction;correlation dimension;Lyapunov exponent;anti-vibration parameters of auto

1006-1355(2014)04-0104-05

TB53；U463.33；O415.5 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.023

自混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以來，混沌已被證實是廣泛地存在于自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)當(dāng)中的一種非線性現(xiàn)象。汽車懸架是典型的非線性系統(tǒng)，由于結(jié)構(gòu)的復(fù)沌?；煦缣卣鲄?shù)關(guān)聯(lián)維因其良好的特征性，通過重構(gòu)相空間與非線性問題建立了聯(lián)系，近年在水聲信號處理[1]、地震信號處理[2]、機(jī)械故障診斷等領(lǐng)域得到應(yīng)用。最大Lyapunov指數(shù)在腐蝕深度預(yù)測、城市用水量預(yù)測、邊坡位移預(yù)測等領(lǐng)域獲得了很好的效果。因此，關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)作為解決復(fù)雜非線性問題的重要方法具有廣闊的應(yīng)用前景。

2013-10-10

2012年度江蘇省高?？蒲谐晒a(chǎn)業(yè)化推進(jìn)工程項目（項目編號：JHZD2012-6）江蘇省自然科學(xué)基金B(yǎng)K20130746

彭富明（1965-），男，江蘇宜興人，高級工程師，碩士生導(dǎo)師?，F(xiàn)從事車輛測量與控制、汽車電子研究。

汪正杰，男，碩士研究生。

E-mail:842956715@qq.com