位秀雷，林瑞霖，劉樹勇，楊愛波

（海軍工程大學 動力工程學院，武漢430033）

Volterra小波變換最優(yōu)閾值的混沌去噪方法

位秀雷，林瑞霖，劉樹勇，楊愛波

（海軍工程大學 動力工程學院，武漢430033）

針對混沌信號小波去噪中難以確定最優(yōu)閾值的問題，提出一種Volterra小波變換最優(yōu)閾值的判定方法。利用小波變換將混沌信號分解，對不同尺度下的小波信號設定浮動因子以調節(jié)閾值大小，最后根據(jù)混沌序列Volterra自適應預測的相對誤差選取最優(yōu)閾值。利用該方法對不同維度的Lorenz混沌時間序列進行了去噪研究，結果表明所提方法是有效的。

振動與波；混沌信號；最優(yōu)閾值；小波變換；Volterra級數(shù)

Volterra級數(shù)[8]是一種泛函數(shù)，在滿足輸入信號能量有限的條件下，大多數(shù)非線性系統(tǒng)都可以用Volterra級數(shù)逼近到任意準確程度?；赩olterra的非線性刻畫能力和小波的多分辨分析特性[9]，建立小波—Volterra去噪模型，根據(jù)混沌序列Volterra自適應預測的相對誤差大小選取最優(yōu)閾值，能最大限度保留各個尺度下的有用信息，改善濾波效果。利用該模型對不同維度的Lorenz混沌時間序列進行了去噪研究，結果表明所提方法能非常有效濾除混沌信號中的噪聲。

1 小波—Volterra去噪

假設含噪信號x(t)=s(t)+ω(t)，其中ω(t)為噪聲信號，去噪的目的是從x(t)中恢復s(t)。對信號x(t)進行二進制離散小波變換[4]

說明二進制小波WT2k(τ)構成了L2(R)的一個框架，故它的小波逆變換公式存在。

二進制小波重建公式為：

對?f(t)∈L2(R)有關系式

小波變換可以確定函數(shù)奇異點的位置和奇異性指數(shù)，Mallat等人已經(jīng)證明，信號奇異性與Lipshitz指數(shù)α間關系在二進小波時有

式中k為常數(shù)，j為二進尺度。式（4）指出，當Lipshitz指數(shù)α≥0時，小波變換模極大值的幅度隨尺度增大而增大；當Lipshitz指數(shù)α≤0時，小波變換模極大值的幅度隨尺度的增大而減小。由于信號在其奇異點處得奇異指數(shù)α一般都大于零，而噪聲具有負的奇異指數(shù)。因此，當小波變換尺度參數(shù)變化時，對混疊在一起的信號和噪聲會產(chǎn)生不同的作用效果，可由小波變換模極大值點的衰減來判別信號小波尺度范圍的取舍，再通過設定閾值對小波系數(shù)進行量化處理，最后對信號進行重構便可以達到降低噪聲的目的。

顯然，在小波去噪中，閾值的選取是一個關鍵問題，它直接影響著去噪效果。閾值選取過高，會過多地將信號當作噪聲去掉；閾值選取過低,則保留的噪聲信號過多，影響信號的進一步分析。傳統(tǒng)的廣義閾值去噪方法大都根據(jù)噪聲能量估計信號信噪比來確定閾值大小，估計過程有一定的誤差，其改進的閾值方法也是定量的逼近最優(yōu)閾值，在小波分解的各個尺度上和最優(yōu)閾值還有一定的偏差，尚不能實現(xiàn)最優(yōu)濾波。為了使選取的閾值在各個尺度下都具有最佳的去噪效果，本文提出一種改進閾值方法：

其中j為小波分解尺度，ti為響應尺度的閾值，N為信號長度，μi為相應尺度調節(jié)因子，μi∈(0:0.01:n)，步長為0.01，n為正常數(shù)，σ為信號在最高尺度上的方差。

同時，利用2階Volterra自適應濾波器構造預測混沌時間序列的非線性預測模型，對不同信噪比的混沌信號預測得到相對預測誤差和信噪比的關系如圖1所示，可以看出信噪比大于10，相對誤差Perr接近于0；信噪比小于-50時，相對誤差也趨近平緩。因此可利用混沌序列Volterra自適應預測效果作為（5）式中的調節(jié)因子 μi的選擇依據(jù)，從而調節(jié)各個尺度閾值大小，即預測相對誤差Perr最小值所對應的閾值即為各尺度小波信號的最優(yōu)閾值。

圖1 信號信噪比和預測相對誤差關系

其中Np為濾波器的長度。

最優(yōu)閾值法去噪步驟如下：

（1）對含噪信號進行j層小波分解，得到小波分解的近似部分an和細節(jié)部分d；

（2）保持近似部分不變，對各個細節(jié)部分d1、d2…dn按式（5）進行閾值量化處理，各尺度的調節(jié)因子μi在（0,n）范圍浮動，由于調節(jié)因子在10-2數(shù)量級浮動對預測誤差Perr的影響較小，因此設定浮動步長為0.01；

（3）對閾值量化后的信號利用Volterra混沌自適應預測方法進行分析處理，預測的相對誤差為Perr，每一個Perr對應一組各分解尺度上的閾值t1、t2…tn，選取Perr最小時所對應的閾值t1、t2…tn作為最優(yōu)閾值，其所對應的細節(jié)部分為d1、d2…dn，對細節(jié)部分進行重構，重構后的各個尺度上的信號為d11、d22…dnn；

（4）去噪后的信號為：s=d11+d22+...dnn+an。

相對誤差定義為

2 仿真分析研究

實驗信號為Lorenz方程產(chǎn)生的混沌信號，然后疊加白噪聲作為有噪聲污染的信號進行分析。Lorenz方程

選取參數(shù)的值為σ=10，r=28，b=8/3，用4階龍格—庫塔法進行迭代求值運算,設定積分步長為0.01，刪除前6 000個暫態(tài)點，對其后2 000個穩(wěn)態(tài)點進行分析。在相空間重構基礎上，選擇尺度J小于等于m，m為嵌入維數(shù)，τ為重構延遲。m=5，τ= 10時，Lorenz系統(tǒng)的混沌特性可以很好地重構于相空間中，因此取J=4，采用正交緊支集(Daubechies)函數(shù)的改進小波函數(shù)sym 8作為小波基函數(shù)對混沌序列進行4尺度分解，使用本文方法對每一尺度上的信號進行閾值濾波，其中最小預測誤差Perr= 8.1513×10-4所對應（5）式中的調節(jié)因子分別為μ1=1.53、μ2=0.97、μ3=1.02、μ4=1.04。去噪后的序列圖如圖2所示，其中‘*’代表無噪信號，‘-’代表去噪信號。

圖2 最優(yōu)閾值方法去噪后的時間序列

分別使用廣義閾值及其改進方法、閾值決策方法和本文提出的最優(yōu)閾值方法對信噪比為8 dB的混沌信號進行降噪處理，降噪后的信噪比[6]和最小均方誤差[6]如表1所示，可以看出經(jīng)最優(yōu)閾值方法處理后的混沌信號信噪比最高，最小均方誤差最小，表明本文方法能夠更加有效地濾除隱藏在混沌信號內的噪聲，提高了信噪比，減小了誤差，更加適合工程需要。

表1 去噪后信號的信噪比及最小均方誤差

為進一步檢驗本文方法的去噪效果，基于產(chǎn)生于低維動力學系統(tǒng)的混沌信號關聯(lián)維數(shù)相對較小，而產(chǎn)生高維系統(tǒng)的噪聲的關聯(lián)維數(shù)相對較大、且關聯(lián)維數(shù)較小的其對應的關聯(lián)維曲線斜率較小這一思想[10]，計算利用本文方法和閾值決策方法去噪后的混沌序列關聯(lián)維數(shù)的大小來比較兩者的去噪效果。選擇重構延遲時間為4，嵌入維數(shù)為5，去噪后序列的ln C(r)/ln(r)圖如圖3所示，‘-’表示利用本文方法去噪后混沌序列的ln C(r)/ln(r)曲線；‘—’表示利用閾值決策方法去噪后混沌序列l(wèi)n C(r)/ln(r)曲線。由局部擴大曲線圖可以看出由本文方法去噪后的混沌序列關聯(lián)維曲線斜率相對較小，進一步證明了最優(yōu)閾值方法的有效性。

圖3 去噪序列的InC(r)/In(r)曲線圖

3 結語

本文基于小波多分辨分析原理，針對小波去噪中最優(yōu)閾值難以確定的問題，將Volterra級數(shù)理論和小波理論結合起來，利用混沌時間序列Volterra自適應預測和混沌信號信噪比大小的關系，對小波信號各個尺度的最優(yōu)閾值大小確定，克服了以往小波去噪閾值選擇的盲目性，實驗仿真結果表明該方法能夠有效地去除信號中噪聲，并保留序列的混沌特性。

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Chaotic Signal Denoising Based on Optimal Threshold of Volterra and Wavelet Transforms

WEI Xiu-lei,LIN Rui-lin,LIU Shu-yong,YANG Ai-bo

（College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China）

How to determine the optimal threshold of chaotic signal based on wavelet transform is an important topic in chaotic identification.In this paper,a method for choosing the optimal threshold based on Volterra and wavelet transform is proposed.The chaotic signal is decomposed by wavelet transform.Then,a floating parameter is set to regulate the threshold of the wavelet signal in different scales according to the prediction error of the chaotic time series from the Volterra adaptive prediction.Denoising for chaotic time series generated by Lorenz system is simulated and the result is compared w ith those of the other methods.It is shown that the proposed method is effective.

vibration and wave;chaotic signal;the optimal threshold;wavelet transform;Volterra series

1006-1355(2014)04-0101-03+118

TB53；O322；TN911.7 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.022

混沌信號是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的非周期有界信號，在時域中顯示出類似噪聲的特點，在頻域里表現(xiàn)出寬帶的特征，這些特征使其在工程實踐中有廣闊的應用前景[1]。但由于混沌信號具有功率譜寬帶性和類噪聲性，其頻帶與混迭的其他信號的頻帶往往部分或者全部重疊，因而在實際應用中采用傳統(tǒng)的線性濾波和頻譜方法很難將其分開。近年來混沌降噪方法的研究愈來愈受到重視。常用的混沌信號去噪方法如局部投影法[2]和奇異譜分析法[3]，但這些方法在計算過程中需要進行大量的矩陣計算，而且算法中涉及混沌參數(shù)如嵌入維數(shù)、鄰域半徑的確定等，導致噪聲背景下的計算難度較大，因而受到一定的限制。小波閾值降噪法[4]計算簡單且有分析信號局部特征的能力，但是涉及到的閾值選取比較困難，常用的閾值方法有廣義閾值法[4]及其改進算法[5]，隨后韓敏等人又提出了一種閾值決策方法選取閾值[6]，劉艷霞[7]等人兼顧軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點，改進了閾值去噪方法。這些方法對閾值選取提供了很好的參考，但是選取的閾值并不是在各個尺度下小波信號的最優(yōu)閾值，不能實現(xiàn)最優(yōu)濾波。

2013-11-18

國家自然科學基金（51179197）；海洋工程國家重點實驗室（上海交通大學）開放課題（1009）

位秀雷（1988-），男，河南省獲嘉人，博士生，目前從事非線性動力學研究。

Email:wxlcln@163.com