摘 要：隨著社會(huì)的發(fā)展，人類生活水平的不斷提高，人口數(shù)量在不斷的增長(zhǎng)。由于地球的資源有限，隨著人口的增加，人與人的矛盾日漸突出，人口問題已成為當(dāng)今世界最備關(guān)注的問題之一，當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的探究以及對(duì)人口總量的預(yù)測(cè)在一個(gè)國(guó)家定制長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃上面有著非常重要的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：人口；人口模型；人口增長(zhǎng)；Leslie模型分析

引言

人口增長(zhǎng)模型是人口發(fā)展過程的定量推測(cè)，需要推測(cè)出在未來的人口增長(zhǎng)趨勢(shì)。通過對(duì)Leslie人口模型的更細(xì)的結(jié)構(gòu)化，再通過歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以擬合求出未來的人口總數(shù)據(jù)、人口的性別比例、年齡比例和城鎮(zhèn)農(nóng)村的城鄉(xiāng)構(gòu)成，還有未來人口中勞動(dòng)力比例人們的撫養(yǎng)水平及老齡化比例，從而可以指定政策來進(jìn)行宏觀調(diào)控。決定人口增長(zhǎng)的要素為出生率、死亡率和上一年的人口數(shù)，但人口分布，人口素質(zhì)，宏觀政策和人口結(jié)構(gòu)（如：年齡結(jié)構(gòu)，性別比例等）等眾多因素能夠影響出生率與死亡率的波動(dòng)，從而從根本上影響人口的增長(zhǎng)。由于對(duì)世界人口的研究，每個(gè)時(shí)間段的世界人口沒有人口的流動(dòng)，故可以認(rèn)為世界人口為一個(gè)封閉的系統(tǒng)。對(duì)于封閉的系統(tǒng)來說，計(jì)算人口中數(shù)時(shí)沒有遷入遷出這個(gè)因素。所以某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，人們的生活質(zhì)量得到了不斷地提高，人口增長(zhǎng)模型也不斷地發(fā)生著改變。從最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型，世界的人口增長(zhǎng)隨著社會(huì)的發(fā)展在各個(gè)時(shí)期都發(fā)生著不一樣的變化。有些時(shí)候人口增長(zhǎng)模型也會(huì)因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情而發(fā)上變化。

1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯Malthus，1766--1834）

1.1 模型假設(shè)

時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率，即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量，與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，即人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以N（t）表示t時(shí)刻某地區(qū)（或國(guó)家）的人口數(shù)，假設(shè)人口總數(shù)N（t）足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理，且N（t）關(guān)于t連續(xù)可微。

1.2 模型建立及求解

顯然此時(shí)人口數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)地增長(zhǎng)，故模型稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型（或Malthus模型）。

1.3 模型檢驗(yàn)

19世紀(jì)以前對(duì)于歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與人口指數(shù)增長(zhǎng)模型可以很好的契合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家，模型出現(xiàn)了很大的誤差。

注意到，地球資源是有限的，故指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）對(duì)未來人口總數(shù)預(yù)測(cè)非常荒謬，不合常理，應(yīng)該給以修正。

1.4 模型討論

為了做進(jìn)一步的討論， 闡明此模型組建過程中所做的假設(shè)和限制非常必要。

把人口數(shù)量?jī)H僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略了個(gè)體間的差異（如年齡，性別，大小等）對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。

假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的，可認(rèn)為是近似成立的。

人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的環(huán)境當(dāng)中。

模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。

不難看出，這些假設(shè)是苛刻的，不現(xiàn)實(shí)的，所以模型只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來人口。

2 阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic）

一個(gè)模型的缺陷，通常可以在模型假設(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在--或者說，模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過程中起著至關(guān)重要的作用，它決定了一個(gè)模型究竟可以走多遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中，我們只考慮了人口數(shù)量本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率，事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源（包括自然資源，環(huán)境條件等因素）。隨著人口的增長(zhǎng)，資源量對(duì)人口開始起阻滯作用，因而人口增長(zhǎng)率會(huì)逐漸下降。許多國(guó)家的實(shí)際情況都是如此。定性的分析，人口數(shù)與資源量對(duì)人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

2.1 模型假設(shè)

因?yàn)榈厍蛸Y源是有限的，假設(shè)為一個(gè)定值1 （這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承擔(dān)人口數(shù)為1）；

在t時(shí)刻，人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，為簡(jiǎn)單方便也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比；比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率；假設(shè)人口總數(shù)N（t）足夠大，可以視做連續(xù)變量處理，且N（t）關(guān)于t連續(xù)可微。

2.2 模型建立及求解

由模型假設(shè)，可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)N（t）的函數(shù)，由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制，應(yīng)是N（t）的減函數(shù)，特別是當(dāng)N（t）達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí)，應(yīng)有凈增長(zhǎng)率，當(dāng)人口數(shù)N（t）超過時(shí)， 由于受到資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用，人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率會(huì)下降，不會(huì)一直呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)，再次引入常數(shù)Nm，用來表示自然資源和環(huán)境條件下所能容許的最大人口數(shù)量。此時(shí)的人口增長(zhǎng)率得到修正，修正的人口自然增長(zhǎng)率為：

在這個(gè)模型中，考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用，因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型（或Logistic模型）。

2.3 模型檢驗(yàn)

2.4 模型討論

阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足，可以被用來處理較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè)，而指數(shù)增長(zhǎng)模型在處理人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。

3 Leslie人口模型

3.1 模型的建立

Leslie模型是將人口按年齡大小間隔地劃分成m個(gè)年齡組（比如以每10歲為一組），模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布，對(duì)時(shí)間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為。設(shè)在時(shí)間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni（t），i=1，2，…m，定義向量n（t）=[n1（t），n2（t），…nm（t）]T，模型要研究的是女性的人口分布n（t）隨t的變化規(guī)律，從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。

設(shè)第i年齡組的生育率為bi，即bi是單位時(shí)間第i年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù)；第i年齡組的死亡率為di，即di是單位時(shí)間內(nèi)第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，si=1-di稱為存活率。設(shè)bi、si不隨時(shí)間t變化，根據(jù)bi、si和ni（t）的定義寫出ni（t）與ni（t+1）應(yīng)滿足關(guān)系：

只要求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n（0），就可以求出t時(shí)段的人口分布向量n（t）。

3.2 模型的討論

現(xiàn)如今人們對(duì)于人口模型的要求已經(jīng)不單單的只是它能求出人口總數(shù)而已。在人口預(yù)測(cè)中經(jīng)常需要知道各年齡段的人口，在當(dāng)今社會(huì)中這個(gè)比人口總數(shù)更加有用。例如， 通過不同年齡段的人數(shù)，來進(jìn)行對(duì)城鎮(zhèn)房屋的建設(shè)、學(xué)校、醫(yī)院等福利設(shè)施的數(shù)目、地點(diǎn)設(shè)置等。這些都可以通過Leslie人口模型檢點(diǎn)且準(zhǔn)確地做到。此方法適用于物種、動(dòng)物種類繁衍預(yù)測(cè)。

4 結(jié)束語

隨著人類對(duì)問題的更加廣泛的研究人口模型不斷的變換，產(chǎn)生了不同的類別，但這些模型終究是圍繞著某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)+/-遷入/遷出數(shù)來得到的。對(duì)于不同部分的拆分能求出不同的結(jié)論能運(yùn)用到不同的實(shí)際條件中，從而可以寫出應(yīng)對(duì)方法。

參考文獻(xiàn)

[1]楊莉.人口預(yù)測(cè)中的數(shù)學(xué)模型探析[Z].2006（12）.

[2]李自珍.人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型綜述[Z].1982（03）.

[3]趙翌.關(guān)于人口模型的幾點(diǎn)教學(xué)探討[Z].2009（06）.

[4]李永勝.人口預(yù)測(cè)中的模型選擇與參數(shù)認(rèn)定[Z].2004（03）.

[5]方亞玲.對(duì)人口模型的研究[Z].2000（05）.

作者簡(jiǎn)介：侯焱 （1993-），男，遼寧省大連市人，遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院在讀學(xué)士。endprint

摘 要：隨著社會(huì)的發(fā)展，人類生活水平的不斷提高，人口數(shù)量在不斷的增長(zhǎng)。由于地球的資源有限，隨著人口的增加，人與人的矛盾日漸突出，人口問題已成為當(dāng)今世界最備關(guān)注的問題之一，當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的探究以及對(duì)人口總量的預(yù)測(cè)在一個(gè)國(guó)家定制長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃上面有著非常重要的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：人口；人口模型；人口增長(zhǎng)；Leslie模型分析

引言

人口增長(zhǎng)模型是人口發(fā)展過程的定量推測(cè)，需要推測(cè)出在未來的人口增長(zhǎng)趨勢(shì)。通過對(duì)Leslie人口模型的更細(xì)的結(jié)構(gòu)化，再通過歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以擬合求出未來的人口總數(shù)據(jù)、人口的性別比例、年齡比例和城鎮(zhèn)農(nóng)村的城鄉(xiāng)構(gòu)成，還有未來人口中勞動(dòng)力比例人們的撫養(yǎng)水平及老齡化比例，從而可以指定政策來進(jìn)行宏觀調(diào)控。決定人口增長(zhǎng)的要素為出生率、死亡率和上一年的人口數(shù)，但人口分布，人口素質(zhì)，宏觀政策和人口結(jié)構(gòu)（如：年齡結(jié)構(gòu)，性別比例等）等眾多因素能夠影響出生率與死亡率的波動(dòng)，從而從根本上影響人口的增長(zhǎng)。由于對(duì)世界人口的研究，每個(gè)時(shí)間段的世界人口沒有人口的流動(dòng)，故可以認(rèn)為世界人口為一個(gè)封閉的系統(tǒng)。對(duì)于封閉的系統(tǒng)來說，計(jì)算人口中數(shù)時(shí)沒有遷入遷出這個(gè)因素。所以某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，人們的生活質(zhì)量得到了不斷地提高，人口增長(zhǎng)模型也不斷地發(fā)生著改變。從最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型，世界的人口增長(zhǎng)隨著社會(huì)的發(fā)展在各個(gè)時(shí)期都發(fā)生著不一樣的變化。有些時(shí)候人口增長(zhǎng)模型也會(huì)因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情而發(fā)上變化。

1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯Malthus，1766--1834）

1.1 模型假設(shè)

時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率，即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量，與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，即人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以N（t）表示t時(shí)刻某地區(qū)（或國(guó)家）的人口數(shù)，假設(shè)人口總數(shù)N（t）足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理，且N（t）關(guān)于t連續(xù)可微。

1.2 模型建立及求解

顯然此時(shí)人口數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)地增長(zhǎng)，故模型稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型（或Malthus模型）。

1.3 模型檢驗(yàn)

19世紀(jì)以前對(duì)于歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與人口指數(shù)增長(zhǎng)模型可以很好的契合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家，模型出現(xiàn)了很大的誤差。

注意到，地球資源是有限的，故指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）對(duì)未來人口總數(shù)預(yù)測(cè)非?；闹?，不合常理，應(yīng)該給以修正。

1.4 模型討論

為了做進(jìn)一步的討論， 闡明此模型組建過程中所做的假設(shè)和限制非常必要。

把人口數(shù)量?jī)H僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略了個(gè)體間的差異（如年齡，性別，大小等）對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。

假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的，可認(rèn)為是近似成立的。

人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的環(huán)境當(dāng)中。

模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。

不難看出，這些假設(shè)是苛刻的，不現(xiàn)實(shí)的，所以模型只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來人口。

2 阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic）

一個(gè)模型的缺陷，通?？梢栽谀Ｐ图僭O(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在--或者說，模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過程中起著至關(guān)重要的作用，它決定了一個(gè)模型究竟可以走多遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中，我們只考慮了人口數(shù)量本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率，事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源（包括自然資源，環(huán)境條件等因素）。隨著人口的增長(zhǎng)，資源量對(duì)人口開始起阻滯作用，因而人口增長(zhǎng)率會(huì)逐漸下降。許多國(guó)家的實(shí)際情況都是如此。定性的分析，人口數(shù)與資源量對(duì)人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

2.1 模型假設(shè)

因?yàn)榈厍蛸Y源是有限的，假設(shè)為一個(gè)定值1 （這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承擔(dān)人口數(shù)為1）；

在t時(shí)刻，人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，為簡(jiǎn)單方便也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比；比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率；假設(shè)人口總數(shù)N（t）足夠大，可以視做連續(xù)變量處理，且N（t）關(guān)于t連續(xù)可微。

2.2 模型建立及求解

由模型假設(shè)，可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)N（t）的函數(shù)，由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制，應(yīng)是N（t）的減函數(shù)，特別是當(dāng)N（t）達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí)，應(yīng)有凈增長(zhǎng)率，當(dāng)人口數(shù)N（t）超過時(shí)， 由于受到資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用，人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率會(huì)下降，不會(huì)一直呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)，再次引入常數(shù)Nm，用來表示自然資源和環(huán)境條件下所能容許的最大人口數(shù)量。此時(shí)的人口增長(zhǎng)率得到修正，修正的人口自然增長(zhǎng)率為：

在這個(gè)模型中，考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用，因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型（或Logistic模型）。

2.3 模型檢驗(yàn)

2.4 模型討論

阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足，可以被用來處理較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè)，而指數(shù)增長(zhǎng)模型在處理人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。

3 Leslie人口模型

3.1 模型的建立

Leslie模型是將人口按年齡大小間隔地劃分成m個(gè)年齡組（比如以每10歲為一組），模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布，對(duì)時(shí)間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為。設(shè)在時(shí)間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni（t），i=1，2，…m，定義向量n（t）=[n1（t），n2（t），…nm（t）]T，模型要研究的是女性的人口分布n（t）隨t的變化規(guī)律，從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。

設(shè)第i年齡組的生育率為bi，即bi是單位時(shí)間第i年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù)；第i年齡組的死亡率為di，即di是單位時(shí)間內(nèi)第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，si=1-di稱為存活率。設(shè)bi、si不隨時(shí)間t變化，根據(jù)bi、si和ni（t）的定義寫出ni（t）與ni（t+1）應(yīng)滿足關(guān)系：

只要求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n（0），就可以求出t時(shí)段的人口分布向量n（t）。

3.2 模型的討論

現(xiàn)如今人們對(duì)于人口模型的要求已經(jīng)不單單的只是它能求出人口總數(shù)而已。在人口預(yù)測(cè)中經(jīng)常需要知道各年齡段的人口，在當(dāng)今社會(huì)中這個(gè)比人口總數(shù)更加有用。例如， 通過不同年齡段的人數(shù)，來進(jìn)行對(duì)城鎮(zhèn)房屋的建設(shè)、學(xué)校、醫(yī)院等福利設(shè)施的數(shù)目、地點(diǎn)設(shè)置等。這些都可以通過Leslie人口模型檢點(diǎn)且準(zhǔn)確地做到。此方法適用于物種、動(dòng)物種類繁衍預(yù)測(cè)。

4 結(jié)束語

隨著人類對(duì)問題的更加廣泛的研究人口模型不斷的變換，產(chǎn)生了不同的類別，但這些模型終究是圍繞著某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)+/-遷入/遷出數(shù)來得到的。對(duì)于不同部分的拆分能求出不同的結(jié)論能運(yùn)用到不同的實(shí)際條件中，從而可以寫出應(yīng)對(duì)方法。

參考文獻(xiàn)

[1]楊莉.人口預(yù)測(cè)中的數(shù)學(xué)模型探析[Z].2006（12）.

[2]李自珍.人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型綜述[Z].1982（03）.

[3]趙翌.關(guān)于人口模型的幾點(diǎn)教學(xué)探討[Z].2009（06）.

[4]李永勝.人口預(yù)測(cè)中的模型選擇與參數(shù)認(rèn)定[Z].2004（03）.

[5]方亞玲.對(duì)人口模型的研究[Z].2000（05）.

作者簡(jiǎn)介：侯焱 （1993-），男，遼寧省大連市人，遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院在讀學(xué)士。endprint

摘 要：隨著社會(huì)的發(fā)展，人類生活水平的不斷提高，人口數(shù)量在不斷的增長(zhǎng)。由于地球的資源有限，隨著人口的增加，人與人的矛盾日漸突出，人口問題已成為當(dāng)今世界最備關(guān)注的問題之一，當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的探究以及對(duì)人口總量的預(yù)測(cè)在一個(gè)國(guó)家定制長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃上面有著非常重要的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：人口；人口模型；人口增長(zhǎng)；Leslie模型分析

引言

人口增長(zhǎng)模型是人口發(fā)展過程的定量推測(cè)，需要推測(cè)出在未來的人口增長(zhǎng)趨勢(shì)。通過對(duì)Leslie人口模型的更細(xì)的結(jié)構(gòu)化，再通過歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以擬合求出未來的人口總數(shù)據(jù)、人口的性別比例、年齡比例和城鎮(zhèn)農(nóng)村的城鄉(xiāng)構(gòu)成，還有未來人口中勞動(dòng)力比例人們的撫養(yǎng)水平及老齡化比例，從而可以指定政策來進(jìn)行宏觀調(diào)控。決定人口增長(zhǎng)的要素為出生率、死亡率和上一年的人口數(shù)，但人口分布，人口素質(zhì)，宏觀政策和人口結(jié)構(gòu)（如：年齡結(jié)構(gòu)，性別比例等）等眾多因素能夠影響出生率與死亡率的波動(dòng)，從而從根本上影響人口的增長(zhǎng)。由于對(duì)世界人口的研究，每個(gè)時(shí)間段的世界人口沒有人口的流動(dòng)，故可以認(rèn)為世界人口為一個(gè)封閉的系統(tǒng)。對(duì)于封閉的系統(tǒng)來說，計(jì)算人口中數(shù)時(shí)沒有遷入遷出這個(gè)因素。所以某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，人們的生活質(zhì)量得到了不斷地提高，人口增長(zhǎng)模型也不斷地發(fā)生著改變。從最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型，世界的人口增長(zhǎng)隨著社會(huì)的發(fā)展在各個(gè)時(shí)期都發(fā)生著不一樣的變化。有些時(shí)候人口增長(zhǎng)模型也會(huì)因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情而發(fā)上變化。

1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯Malthus，1766--1834）

1.1 模型假設(shè)

時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率，即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量，與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，即人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以N（t）表示t時(shí)刻某地區(qū)（或國(guó)家）的人口數(shù)，假設(shè)人口總數(shù)N（t）足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理，且N（t）關(guān)于t連續(xù)可微。

1.2 模型建立及求解

顯然此時(shí)人口數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)地增長(zhǎng)，故模型稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型（或Malthus模型）。

1.3 模型檢驗(yàn)

19世紀(jì)以前對(duì)于歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與人口指數(shù)增長(zhǎng)模型可以很好的契合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家，模型出現(xiàn)了很大的誤差。

注意到，地球資源是有限的，故指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）對(duì)未來人口總數(shù)預(yù)測(cè)非?；闹?，不合常理，應(yīng)該給以修正。

1.4 模型討論

為了做進(jìn)一步的討論， 闡明此模型組建過程中所做的假設(shè)和限制非常必要。

把人口數(shù)量?jī)H僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略了個(gè)體間的差異（如年齡，性別，大小等）對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。

假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的，可認(rèn)為是近似成立的。

人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的環(huán)境當(dāng)中。

模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。

不難看出，這些假設(shè)是苛刻的，不現(xiàn)實(shí)的，所以模型只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來人口。

2 阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic）

一個(gè)模型的缺陷，通常可以在模型假設(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在--或者說，模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過程中起著至關(guān)重要的作用，它決定了一個(gè)模型究竟可以走多遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中，我們只考慮了人口數(shù)量本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率，事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源（包括自然資源，環(huán)境條件等因素）。隨著人口的增長(zhǎng)，資源量對(duì)人口開始起阻滯作用，因而人口增長(zhǎng)率會(huì)逐漸下降。許多國(guó)家的實(shí)際情況都是如此。定性的分析，人口數(shù)與資源量對(duì)人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

2.1 模型假設(shè)

因?yàn)榈厍蛸Y源是有限的，假設(shè)為一個(gè)定值1 （這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承擔(dān)人口數(shù)為1）；

在t時(shí)刻，人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，為簡(jiǎn)單方便也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比；比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率；假設(shè)人口總數(shù)N（t）足夠大，可以視做連續(xù)變量處理，且N（t）關(guān)于t連續(xù)可微。

2.2 模型建立及求解

由模型假設(shè)，可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)N（t）的函數(shù)，由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制，應(yīng)是N（t）的減函數(shù)，特別是當(dāng)N（t）達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí)，應(yīng)有凈增長(zhǎng)率，當(dāng)人口數(shù)N（t）超過時(shí)， 由于受到資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用，人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率會(huì)下降，不會(huì)一直呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)，再次引入常數(shù)Nm，用來表示自然資源和環(huán)境條件下所能容許的最大人口數(shù)量。此時(shí)的人口增長(zhǎng)率得到修正，修正的人口自然增長(zhǎng)率為：

在這個(gè)模型中，考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用，因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型（或Logistic模型）。

2.3 模型檢驗(yàn)

2.4 模型討論

阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足，可以被用來處理較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè)，而指數(shù)增長(zhǎng)模型在處理人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。

3 Leslie人口模型

3.1 模型的建立

Leslie模型是將人口按年齡大小間隔地劃分成m個(gè)年齡組（比如以每10歲為一組），模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布，對(duì)時(shí)間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為。設(shè)在時(shí)間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni（t），i=1，2，…m，定義向量n（t）=[n1（t），n2（t），…nm（t）]T，模型要研究的是女性的人口分布n（t）隨t的變化規(guī)律，從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。

設(shè)第i年齡組的生育率為bi，即bi是單位時(shí)間第i年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù)；第i年齡組的死亡率為di，即di是單位時(shí)間內(nèi)第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，si=1-di稱為存活率。設(shè)bi、si不隨時(shí)間t變化，根據(jù)bi、si和ni（t）的定義寫出ni（t）與ni（t+1）應(yīng)滿足關(guān)系：

只要求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n（0），就可以求出t時(shí)段的人口分布向量n（t）。

3.2 模型的討論

現(xiàn)如今人們對(duì)于人口模型的要求已經(jīng)不單單的只是它能求出人口總數(shù)而已。在人口預(yù)測(cè)中經(jīng)常需要知道各年齡段的人口，在當(dāng)今社會(huì)中這個(gè)比人口總數(shù)更加有用。例如， 通過不同年齡段的人數(shù)，來進(jìn)行對(duì)城鎮(zhèn)房屋的建設(shè)、學(xué)校、醫(yī)院等福利設(shè)施的數(shù)目、地點(diǎn)設(shè)置等。這些都可以通過Leslie人口模型檢點(diǎn)且準(zhǔn)確地做到。此方法適用于物種、動(dòng)物種類繁衍預(yù)測(cè)。

4 結(jié)束語

隨著人類對(duì)問題的更加廣泛的研究人口模型不斷的變換，產(chǎn)生了不同的類別，但這些模型終究是圍繞著某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)+/-遷入/遷出數(shù)來得到的。對(duì)于不同部分的拆分能求出不同的結(jié)論能運(yùn)用到不同的實(shí)際條件中，從而可以寫出應(yīng)對(duì)方法。

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作者簡(jiǎn)介：侯焱 （1993-），男，遼寧省大連市人，遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院在讀學(xué)士。endprint