吳 振，范曉燕

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136； 2.遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論

吳 振1,2，范曉燕1

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136； 2.遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

考慮橫法向熱變形和自由表面條件，發(fā)展了C0型Reddy層合梁理論?？紤]了橫法向熱應(yīng)變，發(fā)展的C0型Reddy層合梁理論沒(méi)有增加額外位移變量。發(fā)展模型的位移場(chǎng)不含有橫向位移一階導(dǎo)數(shù)，方便構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階單元。基于虛位移原理，推導(dǎo)出復(fù)合材料層合梁的平衡方程并分析簡(jiǎn)支復(fù)合材料層合/夾層梁熱膨脹問(wèn)題。數(shù)值結(jié)果表明，建立的模型能準(zhǔn)確分析復(fù)合材料層合/夾層梁熱膨脹問(wèn)題。然而，忽略橫法向熱應(yīng)變的理論誤差較大。

C0型Reddy層合梁理論；熱膨脹；層合/夾層梁；解析解；熱應(yīng)力

由于其具有高強(qiáng)度和低密度、抗疲勞和耐腐蝕等優(yōu)良特性，復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于先進(jìn)的飛行器和航空航天結(jié)構(gòu)中。復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)通常處于熱環(huán)境狀態(tài)，這使得復(fù)合材料構(gòu)件不僅受力載荷作用，還受溫度載荷作用。由于溫度變化和各層的熱膨脹系數(shù)不協(xié)調(diào)，復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)較大熱變形和熱應(yīng)力，從而可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞失效。因此，復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中必須考慮溫度變化引起的熱應(yīng)力。

通過(guò)使用橫向剪切應(yīng)力自由表面條件，Reddy[1]發(fā)展了三階理論，即Reddy理論。Reddy理論不需使用剪切修正系數(shù)，橫向剪應(yīng)力沿板厚度方向呈拋物線分布。Khdeir和Reddy[2]研究了正交鋪設(shè)復(fù)合材料矩形層合板的熱彈性響應(yīng)?；赗eddy理論，Shahrokh 等[3]提出了圓形/環(huán)形板壓電層自由振動(dòng)的精確解。陳萬(wàn)吉等[4]建立了基于新修正偶應(yīng)力理論的復(fù)合材料Reddy板理論模型?；赗eddy理論各國(guó)學(xué)者正開展大量研究及應(yīng)用[5]。由于Reddy理論有效且簡(jiǎn)單，Reddy理論廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)中。然而，Reddy理論位移場(chǎng)含有橫向位移一階導(dǎo)數(shù)，難以構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階單元。

為了解決Reddy理論難以構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階協(xié)調(diào)單元問(wèn)題，Bhar等[6]發(fā)展了C0型Reddy理論，并分析了復(fù)合材料層合/夾層結(jié)構(gòu)的彎曲問(wèn)題。此理論位移場(chǎng)不含有橫向位移一階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造有限元時(shí)避免使用C1型插值函數(shù)，便于構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階協(xié)調(diào)單元。然而，C0型Reddy理論[6]忽略了橫法向熱應(yīng)變，以至于不能準(zhǔn)確分析復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的熱膨脹問(wèn)題。為了推廣C0型Reddy理論[6]分析復(fù)合材料層合/夾層結(jié)構(gòu)熱膨脹問(wèn)題，本文建立了考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論模型。由于考慮了橫法向熱應(yīng)變，本文建議的理論模型能準(zhǔn)確分析復(fù)合材料層合/夾層梁熱膨脹問(wèn)題，而且不增加額外位移變量。如果不考慮溫度載荷，此理論能自動(dòng)退化為C0型Reddy層合梁理論[6]。數(shù)值結(jié)果表明：對(duì)于復(fù)合材料層合/夾層梁熱膨脹問(wèn)題，本文建議的模型精度高于C0型Reddy層合梁理論[6]。

1 理論公式

為了考慮橫法向應(yīng)變，本文將溫度變化引起的橫法向熱應(yīng)變引入到橫向位移場(chǎng)。由溫度變化引起的橫法向熱應(yīng)變可寫為[7]：

(1)

ΔT(x,z)=f(z)T(x)

其中，f(z)為沿厚度方向分布溫度構(gòu)形，T(x)為溫度面內(nèi)分布函數(shù)。

沿厚度方向積分方程(1)，可得到溫度變化產(chǎn)生的橫法向熱變形：

(2)

1.1 三階理論(TOT)

使用泰勒級(jí)數(shù)展開，面內(nèi)位移沿厚度方向取三次多項(xiàng)式，而橫向位移沿厚度方向假定為常數(shù)。則三階理論(TOT)的位移場(chǎng)為[8]：

u=u0+zu1+z2u2+z3u3

w=w0

(3)

1.2 Reddy層合梁理論(RT)

基于三階理論(TOT)，使用橫向剪切自由表面條件，可獲得Reddy層合梁理論[1]：

w=w0

(4)

1.3 C0型Reddy層合梁理論(RT-C0)[6]

基于三階理論(TOT)，使用橫向剪切自由表面條件消去橫向位移的一階導(dǎo)數(shù)獲得C0型Reddy層合梁理論的位移場(chǎng)：

u=u0+Ψ1u1+Ψ2u3

w=w0

(5)

其中，Ψ1=z，Ψ2=z2。

1.4 考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論

為了分析復(fù)合材料層合/夾層梁的熱膨脹問(wèn)題，通過(guò)將橫法向熱應(yīng)變引入三階理論(TOT)的橫向位移中，考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論初始位移場(chǎng)可寫為：

u=u0+zu1+z2u2+z3u3

橫向剪切應(yīng)變表達(dá)式為：

(6)

通過(guò)使用橫向剪切應(yīng)變自由表面條件，消去橫向位移一階導(dǎo)數(shù)，考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論公式為：

(7)

其中，

公式(7)表明，如果不考慮溫度載荷，本文發(fā)展的模型自動(dòng)退化為不考慮橫法向應(yīng)變的C0型Reddy理論[6]。根據(jù)位移-應(yīng)變關(guān)系，可得到考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論的應(yīng)變：

(8)

公式(8)表明，溫度項(xiàng)對(duì)面內(nèi)應(yīng)變和橫向剪切應(yīng)變均有影響，因此C0型Reddy層合梁理論分析復(fù)合材料層合/夾層梁的熱膨脹問(wèn)題精度較高。

1.5 考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論的解析解

考慮橫向剪切變形的熱彈性本構(gòu)關(guān)系可表示為：

(9)

αx表示為沿x軸方向的熱膨脹系數(shù)，ΔT表示溫度變化，Q為偏軸剛度系數(shù)矩陣，

其中m=cosφk，n=sinφk,(φk為鋪設(shè)角)

使用虛位移原理可得到平衡方程。虛功方程可寫成：

δU-δW=0

(10)

其中：δU為變形所產(chǎn)生的變形能，δW為外力所做的虛功。

(11)

其中，Px和Pz分別為作用在x和z方向上的外載荷，對(duì)于只有熱載荷作用下的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，Px=Pz=0，因此δW=0，從而δU=0。

把公式(7)代入幾何方程，然后代入公式(11)，并使用分步積分，可得到平衡方程為：

(12)

為檢驗(yàn)本文發(fā)展的考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論的性能，將研究在熱載荷作用下的簡(jiǎn)支梁，其邊界條件為[9]：

(13)

滿足邊界條件的未知位移變量可假設(shè)如下形式：

(14)

其中，α=mπ/l，(位移模數(shù)m=1,2,3,…,∞)

(15)

其中，

通過(guò)求解方程(15)得到u0m,u1m,u3m,w0m。

面內(nèi)位移和面內(nèi)應(yīng)力可分別表示為：

(16)

x=l/2

由于考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論為單層理論，沒(méi)有考慮層間應(yīng)力連續(xù)條件。因此，不能直接應(yīng)用本構(gòu)方程計(jì)算層間應(yīng)力。為了獲得準(zhǔn)確橫向剪切應(yīng)力，三維平衡方程方法將被使用。后處理得到的橫向剪切應(yīng)力可表示為：

(17)

2 算例與分析

為驗(yàn)證考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論性能，將研究?jī)蛇吅?jiǎn)支復(fù)合材料層合/夾層梁的熱膨脹問(wèn)題。梁的長(zhǎng)度為l，厚度為h。圖1給出受熱載荷作用下的簡(jiǎn)支梁。

圖1 簡(jiǎn)支梁的受力示意圖

2.1 復(fù)合材料層合梁的熱膨脹問(wèn)題

在溫度場(chǎng)函數(shù)ΔT=T0sin(πx/l)的影響下，分析兩邊簡(jiǎn)支三層[0°/90°/0°]復(fù)合材料層合梁的熱膨脹問(wèn)題。材料常數(shù)[10]：EL=181 GPa，ET=10.3 GPa，GLT=7.17 GPa，GTT=2.87 GPa，vLT=0.28，vTT=0.33，αL=0.02×10-6/K，αT=22.5×10-6/K；其中L表示纖維方向，T表示垂直纖維方向。

圖2給出對(duì)稱三層梁[0°/90°/0°]面內(nèi)應(yīng)力沿厚度方向分布。結(jié)果表明，考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論的計(jì)算結(jié)果與解析解[11]基本一致。然而，忽略橫法向熱應(yīng)變的Reddy理論(RT)和C0型Reddy理論(RT-C0)計(jì)算的結(jié)果精度較低。圖3給出了基于不同理論模型

圖2 沿厚度方向分布面內(nèi)應(yīng)力(l/h=5)

計(jì)算的橫向剪切應(yīng)力比較，數(shù)值結(jié)果表明三種理論計(jì)算橫向剪切應(yīng)力精度相當(dāng)。

圖3 沿厚度方向分布橫向剪切應(yīng)力(l/h=5)

2.2 復(fù)合材料夾層梁熱膨脹問(wèn)題

在熱載荷ΔT=T0sin(πx/l)作用下復(fù)合材料夾層梁熱膨脹問(wèn)題。材料常數(shù)[11]：表面層(h/10×2)：EL=E0，ET=0.04E0，GLT=0.008E0，GTT=0.02E0，vLT=0.25，E0=144.8 GPa，αL=0.139×10-6/K，αT=9×10-6/K；

位移和應(yīng)力進(jìn)行無(wú)量綱化：

此例題研究復(fù)合材料夾層梁[0°/core/0°]熱膨脹問(wèn)題，圖4-6分別是夾層梁面內(nèi)位移，面內(nèi)應(yīng)力和橫向剪切應(yīng)力沿厚度方向的分布圖，結(jié)果表明考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論計(jì)算結(jié)果與解析解[11]符合較好。而Reddy理論(RT)和C0型Reddy理論(RT-C0)計(jì)算的結(jié)果精度較低。對(duì)于復(fù)合材料夾層梁的熱膨脹問(wèn)題，不能忽略橫法向熱應(yīng)變。

圖4 沿厚度方向分布面內(nèi)位移(l/h=5)

圖5 沿厚度方向分布面內(nèi)應(yīng)力(l/h=5)

圖6 沿厚度方向分布橫向剪切應(yīng)力(l/h=5)

3 結(jié)論

為推廣C0型Reddy層合梁理論分析復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的熱膨脹問(wèn)題，本文發(fā)展了考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論?；谔撐灰圃恚疚耐茖?dǎo)了復(fù)合材料層合梁平衡方程，并給出了簡(jiǎn)支梁熱膨脹問(wèn)題的解析解。通過(guò)分析復(fù)合材料層合/夾層梁熱膨脹問(wèn)題，可得出如下結(jié)論：

(1)由于忽略橫法向熱應(yīng)變，Reddy理論(RT)和C0型Reddy理論(RT-C0)不能準(zhǔn)確計(jì)算在溫度載荷作用下復(fù)合材料層合梁的面內(nèi)應(yīng)力，不能準(zhǔn)確計(jì)算夾層梁面內(nèi)位移，面內(nèi)應(yīng)力和橫向剪切應(yīng)力。

(2)考慮橫法向熱應(yīng)變并滿足橫向剪切應(yīng)力自由表面條件，本文考慮橫法向熱應(yīng)變的C0型Reddy層合梁理論能準(zhǔn)確分析復(fù)合材料層合/夾層梁的熱膨脹問(wèn)題。發(fā)展的模型與C0型Reddy層合梁理論位移變量個(gè)數(shù)同樣。

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(責(zé)任編輯：宋麗萍 英文審校：劉紅江)

C0-typeReddy′sbeamtheoryconsideringtransversenormalthermalstrain

WU Zhen1,2,FAN Xiao-yan1

(1.Foculty of Aerospace Engineering,Shenyang erospace University,Shenyang 110136,China;2.Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang 110136,China)

By considering the transverse normal thermal deformation and the free surface conditions,a C0-type Reddy′s theory for laminated composite beams is proposed.Although transverse normal strain is taken into account,the number of the unknown offset variables in the proposed model is not increased.Moreover,the first derivatives of transverse displacement are taken out from the in-plane displacement fields,so that it is convenient to construct higher-order elements.Based on the principle of virtual displacement,the equations of equilibrium for laminated composite beams are presented,and the thermal expansion problems of laminated composite and sandwich beams are studied.Numerical results show that C0-type Reddy′s beam theory considering transverse normal thermal strain can accurately analyze the thermal expansion problems of laminated composite structures.However,the models neglecting transverse normal strain are less accurate.

C0-type Reddy′s beam theory;thermal expansion;laminated composite and sandwich beams;analytical solution;thermal stress

2014-01-03

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11272217)；遼寧高校優(yōu)秀人才支持項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：LR201033)

吳振(1977-)，男，黑龍江佳木斯人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向：復(fù)合材料力學(xué)研究，E-mail:wuzhenhk@163.com。

2095-1248(2014)03-0009-05

TB12

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2014.03.002