張強　倪科社　吳黎軍

摘 要 在經(jīng)典的信度保費模型中，得到的信度保費估計均是考慮的是純保費，然而在保險實務中，保險公司收取的保費不可能是純保費，必須具有正的安全負荷.在平衡指數(shù)損失函數(shù)下，研究了多合同的信度保費模型.利用正交投影方法，得到了未來保費的信度估計. 最后對估計進行了數(shù)值模擬.

關鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻標識碼 A

1 引 言

信度理論作為非壽險精算學的核心內容之一，已成為非壽險保險公司精算部門重要的工具.經(jīng)典的信度理論得到的信度保費為個體保單的索賠平均與保單組合的組平均的加權和，最初是由Bühlmann （1967）從Bayes觀點出發(fā)，建立無分布的信度模型，得到該模型下的信度保費公式，之后Bühlmann 和 Straub（1970）從實際出發(fā)，引進保單索賠的自然權重，得到非齊次和齊次的信度估計.關于經(jīng)典信度理論的介紹可以參考文獻[1] .然而，采用經(jīng)典信度理論得到的信度保費估計均是純保費原理下得到的，不具有保費的安全負荷，不能直接運用于實際的保險中.在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)，如果將經(jīng)典的信度模型中的平方損失函數(shù)改為其他的損失函數(shù)，采用這種方式得到的某些保費原理下的信度保費將具有安全負荷.最初是由Gerber^[2]在加權平方損失函數(shù)下建立了Esscher保費原理下的信度模型，文獻[3]對Gerber的結果進行了修正，給出了Esscher保費的相合性.之后Wen等^[4]在廣義加權保費原理下建立了信度模型以及Wen^[5，6]在指數(shù)保費下建立的信度保費原理.這一方法推廣了信度理論在保險實務中的理論意義.

對于保險公司在制定下一年保費時，總希望與某個目標（如上一年的保費等）相差較小為解決這一問題，許多學者采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費與風險的適合程度，然而得到的估計并不準確，為了得到更精確的估計，Zellner^[7]提出了一種新的衡量參數(shù)估計優(yōu)良性的標準，其推廣形式稱為平衡損失函數(shù).之后，利用平衡損失函數(shù)考察信度估計得到了廣泛應用，溫利民等^[8]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計，并討論了估計的性質.黃維忠^[9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風險等相關與共同效應的回歸信度估計.張強^[10]在廣義加權平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費估計.

6 結 論

本文通過正交投影方法在平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的信度估計，一方面滿足了保險公司在制定未來保費時希望的目標保費，另一方面，可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來的誤差過高或過低的不足.所得到的信度估計依然為經(jīng)典信度模型的加權形式，這一結果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險保險公司制定下期保費提供理論依據(jù).

參考文獻

[1] H BUHLMANN，A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].New York：Springer Press， 2005.

[2] H U GERBER，A ARBOR. Credibility for Esscher premium [J]. Mitteilungen der VSVM，2005， 80（3）： 307-312.

[3] Maolin PAN， Rongming WANG， Xianyi WU. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（1）： 119-126.

[4] Limin WEN， Xianyi WU， Xiaobing ZHAO. The credibility premiums under generalized weighted loss functions [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2009， 5（4）： 893-910.

[5] Limin WEN， Wei WANG， Jinglong WANG.The credibility premiums for exponential principle[J]. Acta Mathematica Sinica，English Series， 2011， 27（11）， 2217-2228.

[6] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費原理下的經(jīng)驗厘定[J].中國科學：數(shù)學，2011，41（10）： 861-876.

[7] A ZELLNER. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions [M].New York： Springer Press， 1994， 377-390.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J].應用概率統(tǒng)計，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013， （2013）1：30-40.

[10]張強，吳黎軍. 廣義加權平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費[J].統(tǒng)計與決策，2013， （373）1：89-91.

[11]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在經(jīng)典的信度保費模型中，得到的信度保費估計均是考慮的是純保費，然而在保險實務中，保險公司收取的保費不可能是純保費，必須具有正的安全負荷.在平衡指數(shù)損失函數(shù)下，研究了多合同的信度保費模型.利用正交投影方法，得到了未來保費的信度估計. 最后對估計進行了數(shù)值模擬.

關鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻標識碼 A

1 引 言

信度理論作為非壽險精算學的核心內容之一，已成為非壽險保險公司精算部門重要的工具.經(jīng)典的信度理論得到的信度保費為個體保單的索賠平均與保單組合的組平均的加權和，最初是由Bühlmann （1967）從Bayes觀點出發(fā)，建立無分布的信度模型，得到該模型下的信度保費公式，之后Bühlmann 和 Straub（1970）從實際出發(fā)，引進保單索賠的自然權重，得到非齊次和齊次的信度估計.關于經(jīng)典信度理論的介紹可以參考文獻[1] .然而，采用經(jīng)典信度理論得到的信度保費估計均是純保費原理下得到的，不具有保費的安全負荷，不能直接運用于實際的保險中.在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)，如果將經(jīng)典的信度模型中的平方損失函數(shù)改為其他的損失函數(shù)，采用這種方式得到的某些保費原理下的信度保費將具有安全負荷.最初是由Gerber^[2]在加權平方損失函數(shù)下建立了Esscher保費原理下的信度模型，文獻[3]對Gerber的結果進行了修正，給出了Esscher保費的相合性.之后Wen等^[4]在廣義加權保費原理下建立了信度模型以及Wen^[5，6]在指數(shù)保費下建立的信度保費原理.這一方法推廣了信度理論在保險實務中的理論意義.

對于保險公司在制定下一年保費時，總希望與某個目標（如上一年的保費等）相差較小為解決這一問題，許多學者采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費與風險的適合程度，然而得到的估計并不準確，為了得到更精確的估計，Zellner^[7]提出了一種新的衡量參數(shù)估計優(yōu)良性的標準，其推廣形式稱為平衡損失函數(shù).之后，利用平衡損失函數(shù)考察信度估計得到了廣泛應用，溫利民等^[8]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計，并討論了估計的性質.黃維忠^[9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風險等相關與共同效應的回歸信度估計.張強^[10]在廣義加權平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費估計.

6 結 論

本文通過正交投影方法在平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的信度估計，一方面滿足了保險公司在制定未來保費時希望的目標保費，另一方面，可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來的誤差過高或過低的不足.所得到的信度估計依然為經(jīng)典信度模型的加權形式，這一結果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險保險公司制定下期保費提供理論依據(jù).

參考文獻

[1] H BUHLMANN，A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].New York：Springer Press， 2005.

[2] H U GERBER，A ARBOR. Credibility for Esscher premium [J]. Mitteilungen der VSVM，2005， 80（3）： 307-312.

[3] Maolin PAN， Rongming WANG， Xianyi WU. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（1）： 119-126.

[4] Limin WEN， Xianyi WU， Xiaobing ZHAO. The credibility premiums under generalized weighted loss functions [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2009， 5（4）： 893-910.

[5] Limin WEN， Wei WANG， Jinglong WANG.The credibility premiums for exponential principle[J]. Acta Mathematica Sinica，English Series， 2011， 27（11）， 2217-2228.

[6] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費原理下的經(jīng)驗厘定[J].中國科學：數(shù)學，2011，41（10）： 861-876.

[7] A ZELLNER. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions [M].New York： Springer Press， 1994， 377-390.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J].應用概率統(tǒng)計，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013， （2013）1：30-40.

[10]張強，吳黎軍. 廣義加權平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費[J].統(tǒng)計與決策，2013， （373）1：89-91.

[11]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在經(jīng)典的信度保費模型中，得到的信度保費估計均是考慮的是純保費，然而在保險實務中，保險公司收取的保費不可能是純保費，必須具有正的安全負荷.在平衡指數(shù)損失函數(shù)下，研究了多合同的信度保費模型.利用正交投影方法，得到了未來保費的信度估計. 最后對估計進行了數(shù)值模擬.

關鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻標識碼 A

1 引 言

信度理論作為非壽險精算學的核心內容之一，已成為非壽險保險公司精算部門重要的工具.經(jīng)典的信度理論得到的信度保費為個體保單的索賠平均與保單組合的組平均的加權和，最初是由Bühlmann （1967）從Bayes觀點出發(fā)，建立無分布的信度模型，得到該模型下的信度保費公式，之后Bühlmann 和 Straub（1970）從實際出發(fā)，引進保單索賠的自然權重，得到非齊次和齊次的信度估計.關于經(jīng)典信度理論的介紹可以參考文獻[1] .然而，采用經(jīng)典信度理論得到的信度保費估計均是純保費原理下得到的，不具有保費的安全負荷，不能直接運用于實際的保險中.在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)，如果將經(jīng)典的信度模型中的平方損失函數(shù)改為其他的損失函數(shù)，采用這種方式得到的某些保費原理下的信度保費將具有安全負荷.最初是由Gerber^[2]在加權平方損失函數(shù)下建立了Esscher保費原理下的信度模型，文獻[3]對Gerber的結果進行了修正，給出了Esscher保費的相合性.之后Wen等^[4]在廣義加權保費原理下建立了信度模型以及Wen^[5，6]在指數(shù)保費下建立的信度保費原理.這一方法推廣了信度理論在保險實務中的理論意義.

對于保險公司在制定下一年保費時，總希望與某個目標（如上一年的保費等）相差較小為解決這一問題，許多學者采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費與風險的適合程度，然而得到的估計并不準確，為了得到更精確的估計，Zellner^[7]提出了一種新的衡量參數(shù)估計優(yōu)良性的標準，其推廣形式稱為平衡損失函數(shù).之后，利用平衡損失函數(shù)考察信度估計得到了廣泛應用，溫利民等^[8]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計，并討論了估計的性質.黃維忠^[9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風險等相關與共同效應的回歸信度估計.張強^[10]在廣義加權平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費估計.

6 結 論

本文通過正交投影方法在平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的信度估計，一方面滿足了保險公司在制定未來保費時希望的目標保費，另一方面，可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來的誤差過高或過低的不足.所得到的信度估計依然為經(jīng)典信度模型的加權形式，這一結果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險保險公司制定下期保費提供理論依據(jù).

參考文獻

[1] H BUHLMANN，A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].New York：Springer Press， 2005.

[2] H U GERBER，A ARBOR. Credibility for Esscher premium [J]. Mitteilungen der VSVM，2005， 80（3）： 307-312.

[3] Maolin PAN， Rongming WANG， Xianyi WU. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（1）： 119-126.

[4] Limin WEN， Xianyi WU， Xiaobing ZHAO. The credibility premiums under generalized weighted loss functions [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2009， 5（4）： 893-910.

[5] Limin WEN， Wei WANG， Jinglong WANG.The credibility premiums for exponential principle[J]. Acta Mathematica Sinica，English Series， 2011， 27（11）， 2217-2228.

[6] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費原理下的經(jīng)驗厘定[J].中國科學：數(shù)學，2011，41（10）： 861-876.

[7] A ZELLNER. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions [M].New York： Springer Press， 1994， 377-390.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J].應用概率統(tǒng)計，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013， （2013）1：30-40.

[10]張強，吳黎軍. 廣義加權平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費[J].統(tǒng)計與決策，2013， （373）1：89-91.

[11]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint