范云鋒 惠 軼 邱令存

上海機電工程研究所，上海201109

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一種利用小波分析進行航跡相關性判斷的方法研究

范云鋒 惠 軼 邱令存

上海機電工程研究所，上海201109

對多傳感器多目標的航跡相關性判斷問題進行了討論，利用小波分析的方法對航跡數(shù)據(jù)進行了多層次的分析，并充分利用了小波變換良好的去噪性質。建立了一種新型的航跡相關性判斷方法，該方法能夠從航跡的整體走勢和局部細節(jié)2個方面綜合判斷航跡的相關性。仿真試驗表明了該方法的可行性和有效性。

航跡相關；小波分析；整體走勢；局部細節(jié)

對某一空域進行觀察監(jiān)視，往往是使用多部雷達或多種傳感器對該空域進行掃描。由于不同傳感器的精度、觀測噪聲等因素的不同，造成它們對同一目標的測量航跡往往不能完全重合，因此航跡相關性判斷是多傳感器多目標跟蹤領域的一項關鍵技術，是數(shù)據(jù)融合的基礎。只有識別出哪些觀測數(shù)據(jù)序列來自同一目標，才能進行后續(xù)的融合處理。

而在以往的處理方法中，加權法和修正法僅在目標比較稀疏時效果較好，雙門限法不能直接推廣到多局部節(jié)點的情況，序貫法[1-4]的計算相對比較復雜，基于模糊數(shù)學[5-6]的相關方法在隸屬函數(shù)的選取和規(guī)則的制定方面也沒有嚴格的理論指導。

近年來，小波理論以其多尺度多分辨特性在諸多領域備受關注，并得到了廣泛應用。本文結合小波分析的多分辨特性和良好的去噪能力，由粗到精，從航跡的整體走勢和局部細節(jié)建立了航跡相關性判斷的方法。

1 小波分析理論

與傅里葉變換相比，應用小波變換進行時頻分析能夠同時反映信號在時間域和頻率域上的局部性質。小波分析方法在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率[7]，因此小波變換對信號具有自適應性。目標的航跡數(shù)據(jù)序列實際上是一個非平穩(wěn)隨機過程，在航跡的特征向量中，低頻部分反映了航跡的整體走勢，高頻部分反映了局部細節(jié)和噪聲干擾。所以可以利用小波分析的上述性質完成目標航跡在整體走勢和局部細節(jié)上的相關性判斷。

設信號f(t)∈L2(R)，可以將它分解為細節(jié)部分W1和大尺度逼近部分V1，接著可以將大尺度逼近部分進一步分解為W2和V2，如此重復就能得到任意尺度(分辨率)上的逼近部分和細節(jié)部分。而且，上述過程是可逆的，即只要知道Vj和Wj,Wj-1,…,W1便可以重構得到f(t)，即如式(1)所示：

(1)

在實際應用中，通常將尺度函數(shù)和小波函數(shù)進行離散化處理，以減少小波變換后的信息冗余。以二進離散小波變換為例，其尺度函數(shù)和小波函數(shù)的定義分別為：

(2)

2 航跡的低頻信息相關性準則

所謂的航跡低頻信息，即為對航跡數(shù)據(jù)進行小波分解后最終得到的逼近部分，可通過尺度函數(shù)系數(shù)得以反映，它能反映航跡的整體走勢。

假設X1(t)和X2(t)為2個不同的傳感器對同一個目標的觀測曲線，且已在空間和時間上進行了對準，則可以使用Mallat快速算法[8-9]分別對X1(t)和X2(t)進行多尺度小波變換，得到尺度函數(shù)系數(shù)CX1和CX2，尺度函數(shù)系數(shù)就能表征信號的概貌。因此，判斷兩條航跡的整體走勢是否相同，就是對2條航跡序列的尺度函數(shù)系數(shù)進行比較。因此，可采用如式(3)所示的判斷準則：

(3)

在此，應用小波變換進行航跡低頻信息的相關性判斷時，還有一些問題需要考慮。首先是對航跡序列長度的確定，它既要滿足小波分析的需要，又要使算法的數(shù)據(jù)處理量不至于太大。為了保證在每一層分解的過程中，數(shù)據(jù)的長度大于或等于所用濾波器的支撐長度，數(shù)據(jù)長度應該滿足：

L≥2N-1×M

(4)

其中，L為序列的長度；M為所選擇小波的濾波器的支撐長度。在處理的開始階段數(shù)據(jù)點數(shù)不足的情況下，可采用傳統(tǒng)的判斷方法，當送來的航跡點數(shù)達到要求的長度時，轉而采用小波變換的方法，并以滑窗的形式進行后續(xù)處理。

另外，式(4)中M的大小與所選擇的小波函數(shù)密切相關，而且同一個工程問題，選擇不同的小波函數(shù)進行分析時，結果有時相差甚遠。通過文獻和仿真試驗發(fā)現(xiàn)，選擇db3小波函數(shù)進行3層分解的效果較好。

3 航跡的高頻信息相關性準則

所謂航跡高頻信息，即為對航跡數(shù)據(jù)進行小波分解后得到的各個尺度上的逼近部分，可通過小波函數(shù)系數(shù)得以反映，它包含了航跡的細節(jié)信息和噪聲。

3.1 去噪處理

如果對X1(t)和X2(t)進行多尺度小波變換后，得到的各尺度上的小波系數(shù)向量可以表示為：

(5)

為了使上述向量能夠充分體現(xiàn)航跡的細節(jié)信息，就需要對其進行濾波處理，去除噪聲帶來的干擾。為此，本文引入相鄰尺度系數(shù)積作為顯著性函數(shù)[10]，利用有用信號在相鄰尺度間的相關性，使有用信號能夠積累，便于與噪聲分離。相鄰尺度系數(shù)積的定義如式(6)所示：

(6)

其中，l表示參與乘積運算的尺度數(shù)；j為起始尺度。由于信號突變部分的寬度會隨尺度的增大而增大，以至于相鄰突變點在粗尺度上會相互影響，因此一般可以取l=2，則：

Pj,2f(n)=WTjf(n)·WTj+1f(n)

(7)

用ω(t)表示高斯噪聲，則其小波變換系數(shù)WTjω(t)仍然服從高斯分布，可用“3σ準則”確定作用于小波系數(shù)WTjω(t)的閾值，而作用于噪聲的相鄰尺度積系數(shù)的閾值還需要進一步分析。

記噪聲的相鄰尺度積系數(shù)為

Yj=WTjω·WTj+1ω

(8)

令

(9)

定義以下2個隨機變量

(10)

可知，Yj,+和Yj,-均服從高斯分布，分別記為：

因此，可以將非高斯分布的Yj轉化為Yj,+與Yj,-的函數(shù)

Yj=(Yj,+)2-(Yj,-)2

(11)

假設j尺度上的相鄰尺度積系數(shù)的閾值為ts(j)，那么這時有

(12)

由于Yj,+服從高斯分布，可根據(jù)“3σ準則”取ts(j)≥(3σj,+)2，則

(13)

從上式可以看出，閾值的選擇僅與隨機變量Yj,+的統(tǒng)計特性有關，即只要確定了σj,+的大小，就能夠確定閾值的大小。

根據(jù)式(10)可知

(14)

假設h(n)和g(n)分別表示正交離散小波的低通分解濾波器和高通分解濾波器，hj表示在h(n)的2個相鄰系數(shù)間插入了2j-1個0后的結果。同理，gj表示在g(n)的2個相鄰系數(shù)間插入2j-1個0后的結果。定義一個變量qj

qj=h0*h1*…*hj-2*gj-1

(15)

如果σ2為原始噪聲的方差，那么由文獻[11]可知，每個尺度上的噪聲方差和相鄰尺度上的相關系數(shù)分別為

(16)

(17)

由此，計算出閾值ts(j)的大小后，便可以在每個尺度上應用硬閾值濾波方法來去除噪聲，得到閾值處理后的小波系數(shù)向量為：

(18)

3.2 判斷準則

給定小波函數(shù)ψ∈L2(R)，a>1和b>0是常數(shù)。定義

ψj,k:=aj/2ψ(aj·-bk)j,k∈Z

(19)

如果{ψj,k:j,k∈Z}構成L2(R)的框架，即存在2個正常數(shù)A和B使得

(20)

則稱之為一個小波框架[10,12]。A和B分別為框架下界和上界。此時，任何f∈L2(R)可以由它的離散小波系數(shù){〈f,ψj,k〉:j,k∈Z}完全重構。

利用上述小波框架條件，令f(t)=X1(t)-X2(t)，代入式(20)可得

(21)

因此，建立航跡高頻信息相關性準則為：

(22)

(23)

那么

(24)

(25)

因此，只要給定檢驗水平α，就可以獲得高斯分布的某一門限δ，并且由式(24)可以得到

(26)

(27)

4 仿真分析

表1 目標初始狀態(tài)

表1為想定的5批目標的初始位置和速度，表2為相應的運動方式，這些目標的機動航跡將多次出現(xiàn)相交的情形。圖1給出了最終的計算結果。

由圖1所示的仿真結果可以看出，與傳統(tǒng)的加權法相比，小波分析方法的引入，確實能夠提高航跡相關性判斷的正確判斷概率。這主要是由以下2方面因素引起的：

表2 目標運動方式

圖1 機動目標的正確相關性判斷概率曲線

1) 小波分析的方法能夠有效地去除高頻噪聲的對判斷結果的干擾；

2) 小波分析的方法能夠分別從整體走勢和局部細節(jié)來判斷航跡的相關性，其中對局部細節(jié)的判斷，能夠根據(jù)目標的機動方式來確定航跡間的相關性，這在航跡間出現(xiàn)較多交叉情況時會顯得尤為重要。

5 結束語

航跡的相關性判斷是進行航跡融合的基礎，本文以小波分析方法為工具，建立了一種新的航跡相關性判斷方法。該方法首先判斷航跡的整體走勢，然后判斷航跡的局部細節(jié)，并且在此過程中還充分利用了小波變換良好的濾波特性。從仿真結果可以看出，該方法對機動航跡具有較好的適應性。

對于非機動航跡而言，本文所提出的高頻信息相關性判斷實際上是可以省略的，因為此時的高頻信息幾乎完全是由噪聲引起的。故只需要判斷航跡的低頻信息，即航跡的整體走勢相同，那么它們就是相關的，這樣將有效地降低算法的復雜程度。因此，如何識別出目標的機動，將成為后續(xù)的研究重點。

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A Method for Track Correlation Estimation Based on Wavelet Analysis

FAN Yunfeng HUI Yi QIU Lingcun

Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute, Shanghai 201109, China

Theproblemoftrackcorrelationformulti-sensorandmulti-targetisdiscussed.Thewaveletanalysis,whichhashighdenoisingquality,isusedtoanalyzetrackdata.Anewtrackcorrelationalgorithmispresented.Thetrackcorrelationcanbedeterminedwithoveralltrendandlocaldetailoftracksbyusingthismethod.Thesimulationresultsshowthatthisalgorithmiseffective.

Trackcorrelation;Waveletanalysis;Overalltrend;Localdetail

2013-03-12

范云鋒(1988-),男，湖北宜昌人，碩士研究生，主要研究方向為指揮控制通信系統(tǒng)設計；惠 軼(1974-),男，黑龍江黑河人，研究員，主要研究方向為武器系統(tǒng)總體設計；邱令存(1976-)，男，山東泰安人，高級工程師，主要研究方向為指揮控制通信系統(tǒng)設計。

TP391.41

A

1006-3242(2014)03-0003-04